X-tV^Q, X"— tY"=:Q

i'L = S, iZ" = S" ;

l'opération

est remplacée par

d'autre part, on constate que

JS"2 '^ àP"àQ"'

ce qui n'est au surplus que la transformation de l'équation de Laplace bien connue :

fp ,n 0'- \ / \

<)\"^ -^Tri + r^z^J â'="-

11 vient par suite, en éliminant les dérivées d'ordre supérieur au second par rapport à S' :

LES INEGALITES SECONDAIRES DU MOUVEMENT DE LA LUNE. 297

Appelons actuellement /^^ et r" les longueurs des vecteurs SG et SP", puis ^,, jK), Zx, et x'\ y\ z" leurs projections sur les directions fixes des axes ; et faisons

/> 1 = ^1 -H /j^i , />" = x" -f- iy", . q^ = x^ — iy^, p"=z x"— iy\

d'après le choix des axes, on a z,=^ o, si du moins, comme il convient ici, on regarde les mouvements de G et de P" autour de S comme purement képlériens.

On a

et si l'on regarde A comme une fonction de /»,, ^,, p \ <j\ s'\ il vient

dP"\\)~ àpA^)' à(^'\\)~ àq,\\,

Soit Çf la longitude du vecteur SG ; supposons l'orbite de la planète P" autour du Soleil S définie par son inclinaison y" et la longitude 9" de son nœud ascendant, et faisons

y". = siu— e-i^", yl, = siii — e'O";

en appelant encore / la longitude dans l'orbite pour la planète P",

on il

A2 = ri -+- /•"2— rir"(i — y'i yl, )[e'("'— ")-H e-'(". - "")] — ri r" [ y"|^ e'("< + "'"> -+- y'j^, e-'("' -^ "") ] , et

s" = r"cos — (y"| e'*'" — yL| e— '''").

On constate alors sans peine l'identité

là{ iv,) 2 \ " Oi\ "" ' ' diL, J y", ôiL^ j V A/ Y", ^?

et par suite, puisque l'on a

on p»

eut écrire

iCOS

et aussi bien, en changeant l en — i et observant que S" est une quantité purement imaginaire,

0 i\\ t'-i e-"'' r ^j i/"JL " iL\ L iLl/i\

/•i cos —

On voit ainsi que, pour former la fonction R, il suffira d'exprimer

- à l'aide de/>,, ^, (ou /■,, r,), /•", r", -''[. y^,, et d'effectuer des diffé-

rcntialions de cette fonction par rapport à p,, q^ (ou ;-,, r, ), Vj, yl,. En désignant par / une fonction do la variable quelconque a?,

faisons comme d'habitude D,. /':= x -f^ ; puis posons

de sorte que

yji=riX,, 9, = r, Aj';

il en résulte

D'autre part, on a

enfin, on voit que

si donc on représente séc — par k", et que l'on fasse

D>„ i(D..,-+-D^^,)= D„ Dx.+ ^(D^. + Dvi,) = D -,,

il vient

LES INÉGALITÉS SECONDAIRES DU MOUVEMENT DE LA LUNE