ANDOVER
152. Passant à l'application des formules générales que nous venons de développer, cherchons d'abord l'effet des termes mixtes qui figurent dans la fonction générale R, c'est-à-dire encore l'effet des perturbations séculaires des éléments de l'orbite solaire.
En premier lieu, pour définir l'effet de la variation séculaire de l'excentricité s', on a
soit, explicitement, en n'écrivant que les termes utiles dans la suite au delà du second degré par rapport à s' :
+ 3oe',2 £12, -t- ?,io EV's-i', ^ • • • I ,
2 2 ib 16
Faisons d'abord abstraction du facteur n't, de soilc^ que la question revient à chercher l'effet d'un accroissement constant ve' donné à e'. Les formules générales montrent alors que les variations S/i, 8e, Sy sont purement périodiques, tandis que SN, oN,, ôNj comprennent non seulement des parties périodiques o,N, 0)N,, 8,N2, mais aussi des parties séculaires SqN, ôoN,, §0^2- Ces dernières se calculent sans peine d'après les développements du numéro précédent,
LES INEGALITES SECONDAIRES DU MOUVEMENT DE LA LUNE
et 1 on a :
— - rn'^ -=- m* '- — m*
i35 . T „ io5 . ,.1
^ ivi . /. r 9 . 753 , 4^53 1 , Q . .
- wf y -f- -^ m
SqNj = V n/e'*
9 « io5, i3i7 , 9»
D'autre part, il est manifeste que, pour trouver l'efFet de l'accroissement constant ve' donné à e', il suffit de changer s'en e' + ve' dans les expressions des coordonnées de la Lune, telles que les donne la théorie solaire. Les accroissements de ces coordonnées, calculés soit d'une façon, soit de l'autre, doivent être les mêmes ; toutefois, comme nous avons laissé de côté les constantes arbitraires introduites par l'intégration dans les formules (i) et (2) par exemple, il est nécessaire, pour être exact, de s'exprimer de la façon suivante : les accroissements des coordonnées dus à 5/2, Zt, Sy, SN, 8N,, SJN2 sont égaux aux accroissements^ que prennent ces mêmes coordonnées quand on j remplace e' par e'-f-ve', et aussi «, e, y N, N,, N^ par n-^^'n, s + ô'e, y -f- ô'y, N + a'N -+- ^o'«, Ni -+- ô'Ni -f- «ô'/ii, N2 -I- ô'Nï + ^ô'/Ja, en désignant par Ô'/i, o'e, S'y, S'N, S'N,, 8'Na des constantes à déterminer, et par S'n,, h'n^ les accroissements de «, et /la correspondant à o'/i, S'e, 8'y.
11 est clair d'ailleurs que l'on a ici 8'N = o'N, = S'INj^ <>; et par
3v.4 CHAPITRE XXV.
suite, en considérant toujours les coordonnées de la Lune comme
fonctions de /?, e. y, N, N,, jNa et aussi s', on a les relations telles que
l)^■ ^ Of . âv ^ dv ,r, -, - -, dv ,^ ., .v , àv ,^ ,, .n ,- .
dv ôv Jrii dv ôn^
dv dv dv dn\ dv dn^' ,,
dn c*N d^i dn dfi^ dn
dv dv dni dv dn^
Ji^*"dWx 11 '^^dWl Ih
dv dv d/ii dv driiX -,,
\d'l 6>iNi d-^ <^N2 '>; / '
On en déduit nécessairement, par comparaison des termes séculaires,
^ ,. /à/ii , d/>i ^, dn\ ^, à/il ^,
i a ) \ dt dn ds (/y
, / drii , dfii ^, drii ^, dn^ ^,
\ de dn de d'f
et il reste les relations telles que
/ dv . dv ^ Ov ^ dv ^ ^, dv ^ ^. dv ^ ^.
i dv , dv ,, dv ^, dv ^,
ôt dn de d-^ '
appliquées aux trois coordonnées lunàiies.
La première équation (a) donne immédiatement h'n: on voit ensuite aisément que o't et o'y sont respectivement de l'ordre de vse'-m^, v^s'^m-, de sorte que les deux dernières équations (a) sont peu propres à déterminer ces quantités. Tirons-en plutôt
oo IN 1 j— On A —r- 0 ^ -H -1- "^ Y
1 dn dz d^f
I dn
nt dt' vnte'^
LES INEGALITES SECONDAIRES DU MOUVEMENT DE LA LUNE
el de même
I drii m' àe'
ie qui confirme et complète les parties de ^^' et /i' qui dépendent tle £-, obtenues antérieurement.
Quant aux égalités (b), elles sont faciles à vérifier directement, en calculant effectivement o/i, oc, ... ; et Ton s'assure ainsi de l'exactitude des formules générales du numéro précédent ; mais, en même temps, on pourra déterminer les quantités os, S'v, par exemple en comparant les termes des deux membres qui dépendent, pour la longitude, de ^^^\^'^, et pour la latitude, de y,£'jHl,. On trouve ainsi
, Revenons maintenant au problème véritable, c'est-à-dire multiplions par n't la fonction R que nous venons d'utiliser. Les formules d'intégration resteront les mêmes, avec cette même fonction R, à la condition de changer D~', D~'^, respectivement en n' / D- ' -!~ i/n D--. n' t D-- -f- li/n D-t,
Nous aurons donc deux sortes d'inégalités : les premières, correspondant aux premiers termes de ces expressions, me seront évidemment autre chose que celles déterminées il j a un instant, soit Bn, .... OoN -4- ôi N. ....
multipliées par /i'^; etpar suite, pour en obtenir l'effet, il suffira, dans les expressions des coordonnées lunaires, de remplacer partout g', n, £, y
par e'+v/i's'f (ou s'-^-z'^t), ii-[:-n t on, c + /«'/ o's, y -{- n' tù^f, et en regardant ces coordonnées comme fonctions de Ji, e, y, N, N,, N2, e', il faudra encore remplacer N par N -^ n' t OqN, iV, par N, + /?'<ôoN,,
Quant aux inégalilis restantes, qui proviennent de la subslitution de imD~-, a/mD~' à D"', D~-, on voit qu'elles seront toutes périodiques, et en fait négligeables, en raison de la petitesse de v, sauf celles qui correspondent à la partie constante de R, et qui sont t'videmment, d'après les formules (3),
oN = — -/i'/ooN, o\i =
n'f Oo -Ni
Oi\.,:
-ni OyNj.
Finalement, nous pouvons donc dire qu'à des inégalités périodiques négligeables près, on obtient l'effet de la variation séculaire de l'excentricité s', en remplaçant s', /i, £, y» N, N,, No dans les expressions des coordonnées lunaires par
N -(-i/i'<8oN, N,-+--n7 8oN,. PS'j -t- - n'^^oNj ; 2 2 - 1
on a d'ailleurs fo'/i=:OoiN, ot en fait, les variations de /t, £, y sont sans effet appréciable.
Ces résultats sont identiques à ceux que nous avons trouvés à la fin du Chapitre précédent.
Passons à l'étude de l'effet de la variation séculaire de la longitude du périgée, <p', défini par
et suivons la même méthode. Faisant d'abord abstraction du facteur n't, c'est-à-dire cherchant l'effet d'un accroissement constant v donné à cp', on trouve pour S/i, Ss, oy, oN, 5N,, SNj des expressions purement périodiques, et les accroissements qui en résultent pour les coordonnées lunaires sont identiques à ceux que prennent ces coordonnées quand on y remplace o' par tp'-f-v', en même temps que N, N,, N2 par N-^o'N, N,+'o'N|, Na-hS'xN,, on désignant par S'N, o'N,, S'Na des constantes à déterminer par les relations telles que
ài) ^ dv ^ ()i> ^ àv ^^, dv ^^, dv .,,
-r- Ort -H — lie -f- oy 4- —- oN -+- __- ^^N, -|- __ Ô>J
dv , dv ^ , âi> ^,., du ^,
qui serviront en même temps de nouvelle vérification.
En comparant les coefficients de îiîl,, ;,£, c*^, dans les deux
LES INÉGALITÉS SECONDAIRES DU MOUVEMENT DE LA LUNE. 3^7
membres de cette équation, et opérant d'une façon analogue pour la latitude, on trouvera
Revenant alors à la question posée, on voit que la variation séculaire de -p produit deux sortes d'inégalités : pour obtenir l'effet des premières, il suffit de remplacer dans les expressions des coordonnées lunaires cp' par o'-i-zt'^t, et en outre N parN-4-n'^ 8'N, N, par 1^, + n't 8'N,,'n2 par ^^-hn'l S'Na ; quant aux autres, toutes périodiques, elles proviennent de la substitution de imD~- et 2iînD~^ à D~' et D^^ dans les formules générales d'intégration appliquées à la fonction R privée du facteur n' t. Nous pouvons donner les parties principales de ces inégalités, non pas qu'elles soient sensibles, mais pour permettre leur vérification directe, obtenue en intégrant les équations générales du mouvement suivant la méthode ordinaire, sous la condition de prendre n' — o|, pour mouvement de l'argument G'.
On a :
8 (iN) = v'm (— 3e', -f- Seli),
ôEj = v'm (
-i-^Tiï-i+ ^Y-i^'i^'-^;Tr^T-i^-
ôc i, (5y, étant conjugués de ôe^, ô-^i ; et enfin
j 8(sînnT) = 8e, -f-6£i, o(jV)— S(iN)H-2 8£i — 2S£i, o(j5) = 8y, — ôy-i.
Observons encore que, conformément à ce qui a été dit à la fin du n" 149, il conviendrait, si o'N avait une valeur sensible, de remplacer partout n par n — /î'o'N, de façon à ramener le coefficient du temps dans N à la valeur n.
On aurait aussi bien pu arriver à tous ces mêmes résultats par l'application de la méthode du n" 11 ( J°), déjà employée pour le calcul des inégalités séculaires.
L'effet de la variation séculaire de l'écliptique est défini par
n'f(/.,eî).'-x,)p'»;
rappelons d'ailleurs que l'on a
et convenons de négliger la très ))etite variation de y. puisqu elle se trouverait toujours multiplio^e par le nombre x exlrêmenient petit lui-même.
En suivant toujours les mêmes principes, nous ferons dabord abstraction du facteur ii t , ce qui revient à chercher l'effet de l'attribution à l'orbite képlériennc du Soleil d'une inclinaison constante x (dont on néglige le carré) et d'une longitude du nœud y. 11 est clair qu'ici cet effet sei^a obtenu en donnant simplement à a et C7 les accroissements déterminés au n" 4oO,
5â = — th aCzi OeA-4- x i 0-' e->), OT = zi 0 e^ — y. 1 0-' (?->,
et ceci permettra d'achever la vérification des formules générales d intégration.
Revenant alors au problème véritable, on voit que la variation séculaire de l'écliptique produira deux sortes d'inégalités, et que pour obtenir l'effet des premières, il suffit de multiplier les expressions précédentes par n' l. Mais on peut éviden\ment les lai^scr de côté, à la condition de supposer le mouvement de la Lune rapporté non plus à un plan fixe, mais au plan de l'écliptique mobile inovenur. sNotons seulement que dans ces conditions, le nouvel axe mobih^ (i\ , parallèle à TX, n'est pas dirigé vers l'équinoxe mobile moyen, mais e>L tel que l'angle X'GN soit encore égal à y, si l'on appelle G^ la droite de longitude y dans le plan fixe GX^ primitif.
Quant aux inégalités de la seconde sorte, toutes périodiques, qui proviennent de la substitution de iin D - et 2//?iD ■' à D ' et D dans les formules générales d'intégration appliquées à la fonction 11 privée du facteur «'/, elles peuvent devenir fort sensibles, en raison de la présence de très petits diviseurs. Nous allons les déterminer en négligeant s', î-, v-, £■", et ne dépassant pas le second ordre par rapport à l'ensemble des quantités s, y, m : il suffira d'-ailleui's d'écrire les termes en x,, ceux en x( s'en déduisant immédiatement. Faisant
donc S=:S'= — -^'m: on trouve sans la moindre peine, à l'aide des
LES INÉGALITÉS SECONDAIRES DU MOUVEMENT DE LA LUNE
formules générales, les résultats suivants :
on
s M ■*' ni ù / '^o , 3- 5o3
II II t)oS3
^Y-i = /'/.i 0 1 ( — -7 //i — . //?* j ; et, par suite,
-- 0 1 si n m I = r/., y, (— - m 0 — { //; 0-' | -h /x, v. i ( — 4 m 0— '-* //j 0 - ' -|- S /n 6^ } ,
