LV„ ^^...^U..+ U..3, =...+ U
dix c/io „ de^ ^r
d-L dx dx
dx dx dx
en faisant
U,2 = - 4 Xy' X| (C,2c, + G',2 £2) -+■ 4 >m àïMCis^', + G',,, s',)
-+- 8X72 )4 [Do, i-j -+- 2 E2, £1 £2 -^ D',, Ei + B:1, (Yi - Y2)»]
- 8X2 X-.-. f D2, e'i^ + 2E2, s', £2 + d:,, a'2^ -+- b:;, (y', - -'in,
Xn= XjiXPJ (3-4D)G,2£, + (9, - 4 D)C',2 ^2] -h X, X22[ (3~4D)C,.,s', -+-(2-4D)G',oS2] -+- Xt2X.][ (i--2D)D,,£-/ -t-(3 — 4DjE,2 £1 h2 -i-(i-2D)D;2£? ^ (2 2 D ) B'; , YÎ - ( 3 - 4 D) B'; , Yi T2 -^ ( I - 2D) B'; syH ] -+- X'^Â.*[ (2 — 2D)D,2£V--^(3 — 4D)li;i2£', £'2 -f (1 — 2D)D',a£'22
EQUATIONS GÉNÉRALES DU PROBLÈME
/-iX2[- (,, ;jD)C„M -+-(3 — 4D)C;,:, ]
-i- (i — 'j.]))\r.;^j •;-] —(-5 — .ii>,)B;;i7,7-i -f- ( ■' — ■'1>)b:jit::; 1 + (i- :^i> >i!;;,vr — (j — 4l))B;;^;'lV.^-(^— 2D)B:iY;f];
+ P.2(7.-72)(7i-T2) + Q.2(V2T',-7iV;,)]
Y2, = — -}-i-/:ul\^,ei-i-(y.^\-i- •^.G.,i)£i3.,
)., X3 4 U L3, s',^ -+- 1/3 , £', £'3 + i K3 1 i^^ -+- ^ IV3 1 ( y', - 7a)'J : ; Z„ = - ÀT'Àii[rPn-2Ci2)M7. + (P'ii.-G',,)£27.-(Pi2 --Qi2)^i7!i
— Ài Àa '^ [ N,2 £, ( y'i — 72 ) -^ N'i . £2 ( 7'i — ':',) M- ( Fj 2 + ■^. G, 2 ) 3', -;,
+ (Pi2 + c;,)£o7.-(r'.2-Q,2)^',72-(P'.2-+-Q'io)3;72]
-À?ÀÏ*B^2(7',-72)->^î>-2nM.2^i(7^-72)-+-M',,£W7',-72)],
ANDOYP.R -"
4lb CHAPITRE XXVIM.
Zî, = -X7iX|[-(P.,,- Qn)MYi-(P',, + Q'2,)^2Ti
Zi3 = — Ài Àj '• [Risî'i (v'i — T3 ) -;- R'i 3 e^t (t'i — Ta)],
quant aux fonctions U23, U32, . • . , elles se déduisent de lJ)2. U21 , ... en remplaçant partout les indices i et 2 par 2 et 3, respectivement.
En troisième lieu, nous écrirons encore dans les seconds membres des équations (i) et (2) les termes qui sont indépendants des X^ (/> = 1 , 2, 3, 4)5 mais contiennent effectivement A^, ou qui, en d'autres termes, ne dépendent que de la longitude moyenne du Soleil.
Il convient alors d'observer qu'en raison de la petitesse des
quantités —S on peut négliger, dans les coefficients />■', />;, tous les
termes de degré supérieur à - par rapport à ces quantités; de telle
façon que l'on ne doit retenir que les coefficients
^^=(?)-HSr ^=i ^^' ^=1'"-
on peut d'ailleurs supprimer le premier terme de b'î^ car il ne correspond dans la fonction de forces U^, qu'à un terme indépendant des coordonnées de S„ ; et au surplus, on vérifie immédiatement que le
coefficient ^^ ne figure dans les éqilations (2) que multiplié parD — ->
ce qui fait disparaître son premier terme.
Par suite, modifiant un peu la définition des ]Xp^^, en prenant maintenant
^P''~ i{m-\-mp)
ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU PROBLÈME
nous aurons simplement
bi
et ropération D appliquée à l'un quelconque de ces coefficients sera
équivalente à une multiplication par —
La partie actuellement utile de V"^, se réduit alors à
^- I^/>o(À;i -+- 7^=0 >^g— 4 Ào) I ^-T-P-^J (•,>— To)2 M- • • • ,
les termes qui manquent étant les conjugués de ceux qui sont écrits. De même, pour la fonction V, la partie utile est
3 Ko co Âo( Y — v^) (-/• — ■/„) Kof à;-;
Il en résulte que les équations (3) et (4) sont à compléter comme il suit :
-^^- = . . . - 6 (ipo ( £0 Ào -^- ^0 >>ô' ) — 1 8 ta^o ( -4 ^'-^-^ ^0' ^ô * J .^ v-p'^y ~/>'u) ^^ '/j '>o J
— ~ \^pf){'{'p''a -+- V'/i"'''-»*)!
IJi^oî/?(ïo>^o+ î'o^-o'j — — :V'0-/'('*^ii^— ^f/.o' +7 ^0^0^)'
■ -+■ - K/'O (' ",'/' — To) ( £0 Ào -H ï'o Àô ' ) — r l^y 0 ( T/' — To) ( ^^'ô '"^ — ^0 /■ 0 ' -t- 7 '0 ^^ 0 ^ ))
-J-' =.. .-4- 3Ko(y— Yo)(eo>o+en>-ô')— Ko(y'— 7'o)(>-ë-— =nÀïï'-^-7^'o>>ô')ax
En quatrième et dernier lieu, enfin, il nous reste à écrire les termes généraux des seconds membres des équations (2), qui ne rentrent pas dans les classes que nous venons de distinguer; mais alors nous ne dépasserons pas le premier degré par rapport aux excentricités et inclinaisons. On a ainsi, pour compléter définitivement les équations (3), (4), (5) les noviveaux résultats suivants, d'où l'on devra naturellement exclure, si ce n'est déjà fait, les termes qui figurent dans les équations précédentes :
di-j-p d-.
di
— 25 H f- L) U>;- l,, ÀJ/a,."'
+ X ii;„j ( 2 - 4 D ; 6| X;, À--^ ( 5 î^ o )
-f- S p.;,,/ ( 3 - 4 D ) (^ 2 s^'-- d) bj ip ^t ' ''ûi' {s 9^0)
\})biz,\],\'^-^^^
S,V,(2-4D)( 25 -^.^\))bj 3'/a;' V'* ^-
EQUATIONS GENERALES DU PROBLÈME
di,
dl
h\bV^'p'y^'
4,2 s + --\n\bji„\),l7/
4s2^-25__ ^02Uï,^).^-l>.^.v^l
4 5' - T -+- 4 5 1 > 4- Dî ) è| s; x;r ^ x^-- ' -4- . . . ,
V , , Aï .,,' ) c 2 )-*
rfT
452+75—^ 4,.D+4T)-D2j6«£;,/.;r2Ày' (^F^o)
Nous avons déjà dit commenl, dans les divers lernies des équations que nous venons d'écrire, on faisait apparaître les inconnues u eta^. On vérifiera en particulier que les coeflicieuls A^,, B^,, B^, étant supposés calculés avec les valeurs «", //^; attribuées à «^, n leurs véritables valeurs seront
4m chapitre XXVIII.
quant aux coefficients généraux [J-,„/f^", ils sont, dans les mêmes conditions, à multiplier par
et les Ky sont dé même à midtiplier par i — Sa^ -h . . . .
166. La partie constante de la déri\ée —.-' doit élre nulle, et celte
condition détermine la partie constante de a,,; pour faire en sorte que celte partie constante soit exti-i'ineiiKuil petite, et nous procurer en même temps d'autres avantages que la lecture des équations suffit à mettre en évidence, nous choisirons les indéterminées /^ (/> ^ o) de façon que les quantités A soient nulles, du moins quand on y remplace les a , par les aj,; et nous prendrons en outre x,, = •>. Pour résoudre les équations
ou
on p<ut procéder par approximations successives très convergentes, en prenant d'abord pour les a^, et a^ les valeurs déterminées par les
relations telles que
inlfal-fii» -r- i»,,)-
et 1 on trouve ainsi
x-i = — o.oooC) )0()7,
•/-a = — o.ooo 1 79 8o,
et par suite, il vient d'une façon définitive
" *2 — " [ " 3 O?'-*- 97 '•^- ^ J > (■/!{ = a [ 1 , I7'ji7(>()> |, «';) =r a [ 1 ,4.iiooo;} J, al = a [4,0373437].
ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU PROBLÈME. ^ii
Voici alors les valeurs des dilTérenls nombres nécessaires pour former effectivement et intégrer les équations du numéro précédent. On a d'ai)ord en radians
ng= 0,3764862 = [1,575749], n^ = 0,001 45o2 = [ ), 161 4'^''],
et l'on doit remarquer la relation suivante, rigoureusement vérifiée par l'observation,
c'est en raison de la petitesse de cette quantité que nous avons distingué spécialement les termes des équations (4), qui, comme ceux des équations (5\ sont à longue période, comparés à ceux des équations (6). En fiiisant pour un instant
on a ensuite
puis
K„ = [8,i8428], K| = [G,6i53o], K, = [7,761 ^5]. K3 = [7,<>'>i35], Ki = [8,66682], K' = [6,71692].
On a aussi
;^io= |7i47i'^']- [^20 = [7)773-<«2], Fi;io= [t'-0778î], [^40= (<>, 44568],
en prenant simplement comme nous l'avons dit, pour les coefficients b^ correspondants,
Il ' î -i 3 5
Pour les autres coefficients ù" et leurs dérivées, afin d'éviter toute confusion, nous reproduirons, avec plus d'extension d'ailleurs qu'il n'est nécessaire, ceux qui correspondent à chacune des valeurs
. r4.).oii
des p.„y, au nombre de douze (puisque l'on a ici <y^o). Nous
représenterons ces nombres par leurs logarithmes, et il va sans dire que la dernière décimale n'est pas assurée d'une façon absolue.
l)ft2 = T,8583(v2 r>''^;--=: 0,1 58166 K'Z^f, = 0,796338
|) ij = T.S'ïS;; \>- h-^ = u .oo')i)3() 026^ = 0,760129
I)/;-' = 7,617395 I>ï6j = o.i87(iîi D-'î 6^ = 0,848341
6,-J = o , ooo5 ")6 O 6;*, =: 0 , 7 ■)() 1 1 i
6] = ().o85iii I>6'{ = o,78363o
bl = I ,()47486 06V = 0.53525I
A Jl
!-ii3= 5,949289,
/>;■) = T, 81 5882 062 = 7.586699 1>26;^ = 1 .561678 O^'ôg = 1 ,8679^
^>î = 3, 902455 06^ = 2,473378 026'f = 7.060119 036f = T,67iii7
è|=2, 593072 D6?, = 7,oi6384 0»6'^ = 7. i(io8io 0361=1,941973
è?,= 2,ii0962 062 = ^,6747.48 Oî6|; = 7.249360 0'>6|= 1,843373
II 1 1 6^=3,649426 D6^=2,3i8ii3 0267 = 2,994353 036î= 1,681901
ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU PROBLÈME. 423
b'j — I ,30>.73i DiOf = I .80704-
^1 = ■>. .98G198 D6| = 1 ,(Jof>4G
