AS : D

•> AH r- I )

L'opération

appliquée à la fonction Vpq, équivaut d'ailleurs évidemment à l'opération

d'après la façon dont [t-pq dépend des rt^.

Dans les formules précédentes, les variables e^, y^, ..., qui sont de petites quantités, sont en évidence : mais il n'en est pas de même des (7p, cLp. 11 est aisé de faire apparaître les o-^, puisqu'on a

= ei'^v ( I -H cr^, -h -^ -4- . .

Relativement aux a^^, on observera les règles évidentes suivantes : les coefficients des seconds membres des équations (i) et (2) étant supposés calculés avec les valeurs a^, w" attribuées à a^,, rip^ on aura leurs vraies valeurs en les multipliant par les facteurs suivants, d'après le cas : pour la partie de V qui contient niq^ le facteur sera e"^*'» ; pour les trois parties successives de V„^„ les facteurs seront respectivement

enfin, pour V^,^, le facteur sera

165. Récrivons maintenant les équations du problème d'une façon plus explicite, en laissant de côté celles qui correspondent à s'^, y^, y', puisque ces quantités sont respectivement conjuguées de s^,, y^, y, et en négligeant tous les termes qui dépassent le second degré par rapport aux excentricités et inclinaisons.

Nous partagerons les seconds membres en plusieurs parties. En premier lieu, nous écrirons leurs parties séculaires, c'est-à-dire indépendantes des \q. En se souvenant des relations

ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU PROBLÈME

la partie séculaire de V„ est

•ApHp i{\-\--Ap)npa^- ,

"^^ 6a^ [' + 6g/'V>-Q(ï/>-T)(Tp- Y)]

"^ loa* ^' "^ '^OEpE^,— 20(Yp— Y)(y^,- y )]

-f- s f^/„/^)g + 2 !A;,9 6U'/'=/^+ e<?4~ (Tp~ Ï7)(ï/' — '('qïl

et celle de V est

-^ Km^nl{i -4-x^) , ,

Posons alors

■i}() -i- y,p)npa^ 2 J' ( r 4- y.p) rip a^

S[jt/,^(2 — 4D)è?,

g, J ( I + /Cp ) n^ g^ 2 J ( I -+- -/.p ) np <

.g, i2J(i + v.p)npa'>- 4oJ'(i + y.p)npi

ABp= AB;„ H- 2(2-4 0)6;,^,

on entend ici par DB' la quantité ^pqY)b'\^ et il en sera de même 1 dans les cas analogues.

Dans ces conditions, on aura

/ da.p

■dr= "'

-^ =- -"?,ap+ gn^a2 + ...-f-A,.-f-(2Bp + ABp)(e/,£;,-Y/,Y'p)

(3) ( +(b;,4-ab'p)(t,-t'+ï'/.t)-ab'/,.yy' + .--,

-7- — — Bp £/, + E J}p^ ï^ 4- . . . ,

de dx

^-^ BpY,>-SB'p,Y.-in.T-+---.,

dj d-

4l4 CHAPITRE XXVIII.

En second lieu, nous allons écrire dans les seconds membres des équations (i) et (2) les termes qui dépendent uniquement des combinaisons )v|)v~'-, li'k^'^, ainsi que de leurs puissances positives ou négatives et de leurs produits.

En prenant les termes de cette nature, on a

+ Qi:;^i(YiT;;-T:;Ti) -^ <J'i 2^:!^T.t'i - Vi 7^) 1

les termes manquants étant conjugués de ceux qui sont écrits.

Pour la fonction V^ai, on aura le même développement, en changeant C,2, C',2, . . . en C21, C!,j, ... ; pour V^s et V32, on auia encore les mêmes développements, en remplaçant partout les indic( s i et 2 par 2 et 3 respectivement.

De la même façon

et pour V3, on a le même développement en changeant K,3, K'^^, . . <^nK„,K;,

ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU PROBLÈME. 4l5

Les différenls coefficients de ces formules ont pour valeurs :

^ -D\hh

.J-lz

i5i ,, ,^,\ ih

D',2=[^i2 -7^ i-i,iD-l-DMè|,

li:i'2=ix,2(- ^ — i'2D— D^)^:^,

Mii__^>i)5 ij,.. ,,:A4 p',,^;..,J 14!!2 + 12;îZd + -^d=

1)3 )Ai

?2i..î2J„.f».-.D.)4, ,,„ = ,„(- «S! -f,.-?iD>

B';.j = \Wibl,

Mi-.'= !-<-iî Ni 2= \>-vi

DUï,

(^„=i;x„( Z Ki))(4 4). Q;^=i^„(2 D^(4 4),

H'. 3= 1^13 ( ^-hl>)6i.

Les G23, C,,, ... se déduisent des G, 2, C',., ... par le simple chan-

4l6 CHAPITRE XXVIII.

gement de ij-io en 0.03; de même les coefficients Cj) , C',, j, ... ou G32, G3.,, ... se déduisent des Cio, C',.,, ... ou Co», C',3, .... par le changement de pi|2 ou {JI23 en p.24 ou ^321 et en outre de D en — D; enfin les Kg,, Kg,, ... se déduisent des K,.,, K', ,, ... par le changement de pi, 3 en tjis,, et 1) en — D. Ceci résulte clairement des propriétés du développement de V^^; et en réalité, on a généralement les relations telles que

\ sauf pour les coefficients qui dépendent de b'^ ou bl), puisque les fonctions V^^ et Yqp ne diffèrent que par les facteurs ^pq et ^j-qp (sauf pour les termes exceptionnels que nous venons de dire).

En revenant maintenant aux équations (3), on voit qu'on devra les compléter de la façon suivante :