DE JUPITER

Ib

167. La ihéorie des satellites de Jupiter est dominée par les faits piirticuliers suivants, que l'observation suffît à mettre en évidence :

1° Les inconnues ô^, î' , v^^, y' v, v' sont toutes fort petites;

2" Les différences /i" — ^2/1", /?!,'- 2 /i" sont petites par rapport aux moyens mouvements eux-mêmes /i". /;!,', /z";

3° De plus, ces deux différences sont rigoureusement égales, et comme nous l'avons déjà dit, leur valeur commune est

f/ — 0,0 r>,9()68 =[ i^,i 10820] ; 4° Enfin, on a encore avec la iiumik' rxactiludr I'('^alité

de sorte que les arguments N, , N2, N3 vérifient constamment la relation

\l — 2N,= No— 2N3-4--, ou

N,— SNs-f- ■> N3 = 7t.

Dans ces conditions, il est clair que, procédant par ap])r()xiinaiions successives, et nous inspirant des principes généraux développés au Chapitre XVlIi, nous pouvons limiter d'abord le problème à l'intégration du système formé par les équations (3) et (4), en réservant la considération des termes complémentaires fournis par les équations (5) et (6) pour une approximation ultérieure : d'une part en efFet, la petitesse de la différence d ne permet pas de se contenter d'une solution des équations (3) comme première approximation, etil faut leur adjoindre les termes des équations (4) qui dépendent des

arguments à longue période N, — aNo, N^ — aN;, ; et, d'autre part^ la petitesse des coefficients des termes «des équations (5) permet de les laisser d'abord de côté, bien qu'ils dépendent de l'argument à longue période J\o, tout aussi bien que les termes des équations (6) qui ne dépendent que d'arguments à courte période. 11 va sans dire que la longueur des périodes est estimée ici par rapport à celles des arguments primordiaux ]N„.

Nous supposons de plus que, négligeant les perturbations du mouvement du Soleil, on preinic «,'„=== y^^^o, d'après la façon dont on a choisi le plan de référence.

La méthode étant ainsi fixée, et le problème réduit d'abord à la considération du système (3), (4), nous remplacerons les variables t^y

■pi ,i>:

ou encore

en faisant

(7,— 72— '^.crs):

on se souviendra d'ailleurs, toutes les fois qu'il sera nécessaire, que l'on a

d'a|)rr> les hypothèses faites, l^a même transformation s'applique aussi à Y et y'.

l'^n posant encore

cf = - (a, — 3(j2-i- 2a:j),

on véxùfie immédiatement que les équations (3) et (4), où l'on considère les £ , s' , v^^, y' comme ayant leurs nouvelles valeurs, subsistent entièrement aux simples conditions suivantes :

A Ti r f/î/" f^^'ii dy„ dy'n . ^ ,

i" 11 tant augmenter -p, —p, -—, -~^, respectivement des quan-

2" Il faut remplacer \^\~^'^ ^^2^\t' respectivement par e?, — e ?.

En tenant compte des vraies valeurs des coefficients qui dépendent des «^„ les nouvelles équations, aux 26 variables a^, o-^, s^^, s' , T/" Tp'' Y' T' *^cï'**iit à coefficients purement numériques, et par suite, bien faciles à intégrer par approximations successives, puisque ces variables ne prennent toutes que de petites valeurs.

Il est manifeste tout d'abord que ces équations admettent une première solution, indépendante de toute constante arbitraire nouvelle, dans laquelle les inconnues t„, v , v' y, y' sont nulles, tandis que les a^^ prennent des valeurs constantes [i„, et que les î^^, t prennent de même des valeurs constantes respectivement égales, que nous appellerons r,^,.

Si l'on néglige l'effet des constantes extrêmement petites j3^,, on a immédiatement les équations suivantes pour déterminer les y,^, :

I {d -+- B,)-ri,= BiïT,., -(- Bi3-ri3-4- BiiYiv— Cii— D|,r;,— Ei-.riî

! — -{F,.,+ 3H,2— /,G,2)rJ— (Gi,+ l,,+ 2J,,)r,,ïij

— ('G',j-{- r,2 + 2J'ia^'''i2 — Ki:ir,î — i^uiQi'ns

— - '^ I :i '^^ :t • • • ) (,/- B,)Y),= B,,ïi,+-B,3r.3+ B,..r,v-C2,-f-C,3— IV'i^/i — (t);.t-^t>-'3)r,2

— K-.siqs— - (G..,-f-f,i-f-'.J2i)-/lî— (G'îi+i;,-*- '.J.,,)r,,r,,

, - - ( F; , + 3 h i , - 4 C. , ) ïii + - ( F03 H- 3 H,., - 4 C,3 J r,î

— (G,3-i- 1,3 -h ■iii^)y\.,r,:i

(i/-;- l!:i)-^3= F>3,ri,-l- B3.-n.-f- 1531^^4+ <^' 3 -J— K3-.'-^rJ t)';i-.''',3

-H - ( G3, -r- l3-2 + '^ Js:; ) Tnl ^- ( ^ 3 -j H" 'il ■> + '^- J '( î ) T^iî r^j

^^ -(f,,4-3h;,,-4g;,.)ti|- ;^F,3,Y,f - L;,,^i^i

(c/-4- B4)r,i= BuTr,i-i- B...2')2+ B43r,3-+-

II est aisé de résoudre ces équations par approximations succes-

sives, et la solution purement numérique sera préférable. On trouve ainsi, en négligeant les termes du second degré par rapport aux r| , avec une approximation suffisante pour le but que nous pouvons atteindre ici,

7,1= [3,317], -/;.2=[ 3,0-3—], Tj3= [4,472],

la valeur de 7,4 étant entièrement négligeable.

Il en résulte dans les longitudes p,, t^a, t'.,, respectivement, les grandes inégalités

o°,475 sin (2 Ni — '>. N5 ), i",o8o sin (2 ^^2 — :>. N3), — o",or),S si 11 CS^ — N3);

mais ces expressions aj)procliées sont légèrement modifiées quand on tient compte de tous les termes qui concourent à la formation des coefficients.

Il convient encore, en vue de la suite, d'écrire les premiers termes du développement analytique de la solution. Considérons la quantité d^ et aussi les coefficients B^,, comme de l'ordre - par rapport à la

force perturbatrice, elle-même de l'ordre des coefficients ^^q : cette façon de voir est sensiblement conforme à la réalité en général, mais est surtout commode pour le langage, en permettant une apprécialum sommaire de l'ordre de grandeur des résultats. Une première approximation, insuffisante, donnerait

et il serait facile d'aller plus loin.

Mais nous mettrons les valeurs de Yj,, r,:,, r^■^, qui sont d'ordre -j sous une forme spéciale, non explicite; posons

A, 2 = G, 2 H- 2Di.>rj, 4- 2 E12 M, A.ji = G21 -T- •/ D21 ïji -+-■./ 11]., I r,2,

A '12 = G'i2+ 2Ei2-fii 4- 2D',2T,2, a;, = C:>i-h'iEiir]i~ 2D;, /,2,

A23 = G23 — -^ l323'1-2— i f*^23 ■'13, A32 = G32 — •>. l>:;2ir,2— '^^ I>:i2 0:).

A 2 3 = G03— ïKaa'^s — 2iD'^,3r,.j, \'.^.j, — C/,., — >. ^32'^ 2 — ■^■^'m '^a\

les premières équations (^) peuvent s'écrire, en laissant de côté les

termes d'ordre 2 dans les seconds membres :

(rf-+- B,)ti, = Bii-',2-+- i>i;i7,?,— A|o - I>i2'ni-i- E,2-o-2.

(f/^ Bo)r,;; = B3i'^ii+ Bii-j'^-ri-^- A3.J-- Iv;--t,,,— DIjoT,:,;

faisons alors d'une façon générale, en désignant par T^„/ l'un quelconque des coefficients A, 2. . ■ ., E30.

il Vient immédiatemcul

r/ ^ IV-

y , = — (l -+- c/ji ) ai2-l- (^12-1- Cl,,) ( rrv; — '''j 1) -I- />\?. <'>■'. \-i,

r,:; = ( 1 + C/', ^ ) «',., -f- ( />:;. - (';j2 ) (rto;; u'.j , ) 63, «12,

r, V ^ — ^ji «12 -î- />■, 2i '''2:; — " '^ t ) -^ ^^1 ;;'"':! 2 •

et l'erreur de ces formules est d ordre au moins é<>al à -•

On vériliera encore que les valeurs des constantes ^3,, [i-^i ^3 sont

extrêmement petites, comme nous l'avons annoncé; elles sont de

l'ordre -, de sorte (pu- les se(U)nds mendjres des équations [j) sonl

exacts jiisqu'à l'ordre 2 inclusivement, et que ces équations permettent le calcul des r,., avec une erreur qui n'est elle-même que de l'ordre 2. En se boi'nant aux valeurs principales, et ('•(■il\;inl simplement n., au lieu de /?", ainsi rpic noii> le ferons toujours dt)rénavant. on a

(3-,11)jC,2-v

I 7 «2 P2 = (2 — -î IJJ < -/i r,, + ( 3 — i l> ) < -j 1 •'■,. --

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lî.