AB

(•<-41.))C;.,iri:;-

(ï - î n > < ::;oïi2— (3 - 4 0) (7,, y,;, + (n, +- ;^ ABa") -q-i,

il l'on peut ajouter la valeur dOidr

l»-ll,2^i-(i-'l>'";3^^

168. Une fois en possession de la solution particulière que nous venons de déterminer, changeons les quantités s^,, s'^,, 7.^, en -^^,-1- (e^,),

'^ip+i^'p)^ l^!>-^(^l>)- Les équation'

Millciidront |)lus aucun

terme iiulcpciulant «les uoiivcllcs iiicoiimirs, (pii sont les (a^,), Tp,

(tj,), (î'„), 7/,, Y„. y. y', dans leur ensemble; et si on les réduit à la forme linéaire, elles formeront deux systèmes distincts, que nous allons écrire successivement.

Le iiremier de ces systèmes sera :

(d-r- B, )(£,)- l5,,(£,)-H,3(£3J-Bu(^.0-^t>lî(<)

di>

(D',, -^ D,, ) (£2) -f- E23(^;) + (A:,, + A,3) cç -+- r,-

-^(rf-vBOOi)- ini(^i)- I5.i2(e.)- l5;3(î:',.)-^-r,4^ -^...= o,

^-4A,.>['>'^r,,<p-(£,)^(^',)]-4A„['ir.,«-(E,) + (E;)]+...= o,

/ ^— - -^ « A-.., I 'i-^, o- (£,) + (e',)j + « A, , [■ir,^^- (t^) - (e',)] («) \ — .iA,3lv.r,2'f ^(îîj — (£2)]— iA:,:, [-ir^iO -+- (£3) - (e;,)! + •••=<» .

"ITT"

-+-8 A32I '>.-V,Cp -^ (Ej) - (£'2)1 + 8 A'3, ['2r,3Cp -f- (;£3) -(£';,)] -+-... = O,

n2-i-f,]U)('-ii)

7F' ^(^"' ^■'»'^')^«')-[^^I^. + AB,)r,,+-(3-.iD)C,2][(e.)-f-(£',)l

-(ci-4D)(':, ,[(£,) + (£',)]-+-. ..= 0, d^i d-. \-i

-[(■in24-AB,)r., + (3-4l>)G,,-(3-4-l)jG,3KE,:n-(£2)]

^ -i-('^;/3-i-4B3)(«3)-[('^»534-AB3)7.3-(3-4D)G',,][(£3)+(V3)l

\~3^ H- (-'«v-+-4Bi j(a4)+... = o;

mais l'on doit taire à son sujet les quelques observations qui suivent.

Les quatre premières équations doivent être redoublées, en permutant les Zp avec les e' , en même temps qu'on change le signe de C5, 'i;, t; les quatre équations suivantes ne contiennent aucun terme en (ocp), et les quatre dernières ne contiennent aucun terme dépendant de la combinaison es, en dehors de laquelle les o-y, ne figurent

1 Ci- ■ 1 1 , ■ , dit,) d<h

pas; les coetticienls des dérivées —j — , -£'••' sont tous exacts; on a

négligé les coefficients des (a,,) qui sont d'ordre supérieur à -, ceux

des (£;>), (s'n) qui sont d'ordre supérieur à i, et ceux de ç qui sont

ni ' • .3 (■ • 1 1 1 1 d(y.p)

d ordre supérieur a - ; toutefois, dans tes valeurs des ,' ; on a porte

l'approximation plus loin, en prenant les coefficients des (e^»), (e' ) exacts jusqu'à l'ordre -. et ceux de '^jusqu'à Foi'dre 2, inclusivement. Quant au second système, il ne dépend que des y^, v^, y, y', et s'écrit

-^ ^- (r/ - P>,) T . + '^'i •' Tî + '^'i ;. ï^ + K 4 Y^ + I^'i T

15oiT;~+- BoY

(9) dj.

dy?, "d-

dju ch

+ B^ , (yf. - y;) + jj;, (y; - y;) + • • .- o, {d - w) Y3 + w., , Y, + b; , y2 + b;, , Y4 + \y, y

{d-^ f3,,)Yi4-B', ,Yi + B'4,Y2-i-B;:,Y3 + B'4Y-^-= ^N

(r;?— K') Y -+- KiYi-!- KîTî-i- KaYs-i- K^Yi ■+-•■•= "•

Gomme ci-dessus, ces équations doivent être redoublées, en permutant les lettres y, y' et changeant le signe de t; les coefficients des inconnues sont exacts jusqu'à l'ordre i , inclusivement.

Étudions en premier lieu le système (8), du seizième ordre, et remarquons que nous en connaissons à l'avance six solutions particulières, dont il n'y a pas lieu de tenir compte; en premier lieu en effet, on peut donner aux o-^ des valeurs constantes arbitraires liées

par la relation ç = o, toiiles les autres inconnues étant nulles; en second lieu, on peut encore donner aux t^, des valeurs de la forme 0-^,-7, les u" étani des consiiiulcs arbitraires vérifiant la relation 7" — a-(7^-|- 20-3 = o, et Ton en |)eul manifostenient conclure pour les autres inconnues des valeurs constantes, telles que l'on ait (ep) = (e'^). Mais ces six solutions sont en réalité superflues, les constanles ([u'elles introduisent allant se fondre, dans les expressions des coordonnées ou des éléments, avec celles (pii définissent les arguments Np, cest-à-dire /ip et /".

Pour déterminer les solutions nouvelles des ('(juations (8), nous devons poser, conformément à la théorie générale des équations différentielles linéaires homogènes à coefficients constants.

( V. ) = ^p e-i^, ( £;, ) = ^;„ e-'S ( OL,, ) = co/, e-''-, ^,, = l,, e-'C,

en désignant par ç^, ^' , (o^, X.p des coefficients constants, et par G un argument de la forme gt-\-Gai S' et Go étant deux autres constantes dont la dernière est arbitraire. En portant ces valeurs dans les équations (8), nous aurons seize équations linéaires homogènes entre les seize inconnues \p, T,, o>^, !^^, et en écrivant qu'elles sont compatibles, nous obtiendrons une écpiation finale |)ro|)re à déterminer la dernière inconnue g : une fois obtenue la valeur de g^ les rapports mutuels des ç^, q' , to^^, ^^^ en résulteront, et l'une quelconque de ces quantités pourra être choisie arbitrairement.

L'équation en g, du seizième degré a prioii , ne sera en réalité que du dixième degré, d'après ce que nous avons dit des solutions déjà connues; il est clair d'ailleurs qu'elle ne contiendra que les puissances paires de g-, car, d'après leur forme même, si les équations (8) admettent la solution que nous venons de définir, elles admettront aussi la solution

c'est-à-dire la solution conjuguée de la première, l'expérience montrant que les valeurs de g^ et par suite des coefficients ^^,, ..., sont toutes réelles. On voit par là comment ces nouvelles solutions introduisent les dix nouvelles constantes arbitraires nécessaires.

En raison du grand nombre des inconnues, il ne paraît pas simple de procéder aux calculs que nous venons d'indiquer autrement que par approximations successives, purement numériques de préférence :

mais ici, nous ne pouvons qu'amorcer ces approximations, sous forme partiellemenl analytique.

L'examen le plus supciticicl montre que la quantité i,' est nécessairement petite; supposons-la d'abord d'ordre supérieur à -5 et en

fait, comme le montie un premier calcul rapide, d'ordre -; regardons

aussi '^1, ^2? >^.i comme les inconnues principales, c'est-à-dire d'ordre zéro, et posons

en même temps que

d-r li,

Les inconnues ç,, c^, ç, sont d'ordre -j et avec une erreur d'ordre supérieur à 1 , on trouve sans peine

2 \. = 7/2(1^ gi^ i'.V)r -r- r.,^"-î( I -^- ^2) r , ■•i ?:; = -^ '; ( > -^- ^:i + ^' ; ^ -^ T1 3 g:. ( ' "^ A'a ' T-

en appelant r/,, r/, , fj^, les expressions précédemment obtenues pour Tj,, 'i\.^^ Y|:i, où l'on a changé le signe de a-x-i et «'.,., ; quant aux valeurs de ç, , ^'.,, çj,, elles se déduisent des précédentes en changeant le signe de v, ^', g. Ceci résulte immédiatement de la comparaison des équations (8) et des équations (j i, mises sous la forme spéciale que nous leur avons donnée en dernier lieu. Si l'on fait encore

'n — 'il

de sorte que

//■( — 2 ( Z>i2 -f- «1 î ) «23 + ■>■ ^13 «îi 2 — ^l'i A'i ,

-r, 2 = 2 ( H- <, , -T- f/sS ) « 23 -V- '.i ( 1^2:1 -+- «'•23 ) «3 'J — '12 ^ii .

7)2 = 2(1-4- f/ï 2 1 -+- dri)a'.,i + '2(/^2,-)- «21) a, 2 — y/a^^,

■^':t'= 2(^32-+- «32) «2 1 ^ 2 63,rt,i — '^'i^riiî

les dernières équations (S) donneront, avec une erreur d'ordre supé-

44o CHAPITRE XXIX.

rieur à 2.

.■> ' -il

n-i -h iGB|

4- (A,,//; 4- A'i ., r/.) ^ — (A, 2-^1, ^î + A'i ,,r,,^| ) :' = o, + (2A2ir;,^^*-+- 2A(,, rj2^|-4- AaaTjîA'j -+-A2 3r(3g2)Ç':= o,

■^ "=■' (2A3,r/.-4--2A'3.r,;')^-(2A32ir)2^^-+- 'A'32T^3^i)?'= O.

6 «3-+- i(iM:i

On peiil résoudre ces équalious en laissant d'abord de côté les termes qui dépendent de ^';, §'^, gl, pour en tenir compte ensuite, et l'on trouve

la période de l'argument G est par suite d(^ 21 10 jours environ.

Cette solution constitue ce que Laplace a appelé la libration des trois premiers satellites : la constante J^ paraît d'ailleurs insensible, c'est-à-dire que la libration ne donne aucun effet appréciable à

l'observation.

Si l'on s'était borné à prendre la partie principale, d'ordre - > de g'^ ,

on aurait dû négliger complètement les termes en o^, «i^, g\ dans les équations précédentes, et faire

en même temps que

\', .j = C\ .., A!, i = G2 1 , A23 = G^:) , A:j2 = Cj2 ;

on aurait eu ainsi

d'où

c'est-à-dire

;,' = o,oo38), ^^ = 0,1 33^, !;2 = — o>'^7t^i vj= 0,0-23!^, la péiiode de G étant de i63o jours environ.

C'est l'approximation dont se sont contentés Laplace, et plus l'éceniment M. Souillait : on voit qu'elle donne pour g une valeur beaucoup trop grande, en conservant à peu près exactement les rapports des coefficients î^,, X^^-, sa* Cette nouvelle expérience confirme que pour obtenir des résultats valables, il est nécessaire de porter assez loin les approximations, et de les traiter plutôt numériquement.

169. Supposons maintenant la quantité g d'ordre -> et de plus

positive, ainsi ({ue nous en avons le droit; et regardons ?(, ^i^ H3, H* comme les inconnues principales; on voit tout de suite que dans ces conditions, les coefficients ^,, ^^i Cs seront du même ordre, c'està-dire de l'ordre zéro, tandis que les autres inconnues w,, Wa, toj,

ç,, ç.,, ;.,, ;, seront d ordre -•

Nous ne pouvons ici que montrer comment on pourra diriger les approximations successives, et nous nous limiterons à cet effet à la considération des seuls termes d'ordre minimum dans les équations (8) : ce ne sera, nous le savons, qu'une approximation insuffisante, permettant cependant de se rendre compte de la façon dont se présente la solution, ainsi que des difficultés du problème, et des procédés propres à les surmonter.

Avec cette limitation, le système (8) se réduit à sept équations, et en faisant

on peut écrire :

{\h-g')h-^-n'^^- li.:. ?;; - 15.1 ?v - - ( a; , + A23 ) r - - ^-Tl, ^' = o,

(H3-^')?:,-B.i?i-IJ3.5.-H;uÇ;-+- -A;,,î

^îÇ., = — (ino('2A,,Ç,-+-2A',,Ç2-l- A.>.Tf,+ Al-^Çs), Il convient alors d'éliminer ii^i, -iTo, iÇs pour former quatre équations

ne renfermant cfue ;,, q.,. çu, ;,. liaisons à cet effet

^=^", A,2 = — Al, A;,-f- A23-=~ A,, a;,, = -A3,

puis

G', = 3 «1 A 12 -+- (in.jAji,

G., = 3«i Ai2 H- 18 //.A., , -t- ()//2 A.2;;-4-r>. /J:i A:j.j,

G3 = 9 rto A; ., -H 1 > /i;; A '; , ,

G'^ = 3 n 0 A '., .[ — i j. n ,., \ ; ., : on aui'a pour les quatre équations cherchées

{g'- B, -H 7), G', A^"+ A, G, A'"-^) 3, -- (H,,-i- -r,, G2 A'''+ A, Gj,:^"M S.^

-t- ( 1^13-+- 'fi\ ^' :!••?■" -+- A] Gs,^"-) $3-1- '»UÇV = ",

(^'H,j-y,,C,^"+A2Gî^"^)C2-^(B2i-^-ri2C',^"-'- A,G,^"\)$,

(12) / -+- I l!-2:i- :■ rrl^'i f;" -^ A0G3A'"- I l-i ; l''2V?(, = <>,'

+ ( 1532-+- ■n3<'2^"+ AaGi^''^) ^2-H ^34^.= O, (^'-H4)Çv + jBuS,-4-H42?2-f-in3b = 0. .

Numériquement enfin, il vient en représentant les coefficients simplement par leurs logarithmes :

--:- ( "),(i9r) — 7,97i^"+ 8.01 '1a'''V) ?:*-+- ri,i85$i = <),

C^'— 5,5'23;Çv-i- 7>^9i^i-t- 7w'i;2-+- >,<Ji->;:t= «.

^ÎÇ, = — 4,8(),S;,-(-4,177t2,

,^'-'' Ci == 4 , 95 ) ç 1 -- 4 , ■"><> I \-i — 4 ■ 1 7'*^ ;-. '

avec

Il n'est pas malaisé de prévoir, d'après la grandeur relative des nombres ainsi mis en évidence, que les diverses valeurs de g doivent annuler très sensiblement le coetliclent de ^i dans la première des équations (12), ou ])ien celui de Ç2 dims la seconde, etc. Partant de là, et procédant par ap])roximations sucesslves très simples et rapides, on obtient pour le système (it) les quatre solutions suivantes, où l'on peut regarder successivenicul ç,. \.^^ Çs, ;., comme une constante arbitraire :

"[:>,7-^'>]^ii

-[o,4v4]çi,

îl=-

[o.'uijï,,

[^,:j<'ilb,

[T,'-'-0' Ji-f.

i-.si'>,ii-,.

-LT,<'8;JlÇ,.

g' = Vu'^\\\,

îl =

[ 'J/iJ) 1 ^;.

-[^.«-il^.

[■i-84<Hç'.-

D'après les formules de M. Sampson, on peut d'ailleurs prendre, d'une façon au moins approchée, successivement

et toutes ces inégalités sont par suite fort petites.

Mais, répétons-le, ces résultats ne peuvent être considérés que comme une indication : lis montrent d'ailleurs suffisamment comment on devra s'y prendre pour Intégrer plus exactement le système (8), sans qu'il soit utile de transcrire les \aleurs approchées que l'on en peut déduire pour les inconnues ç' . to^,.

170. En\isageons maintenant le système (9) : en tenant compte de l'existence des solutions conjuguées deux à deux, nous devons en chercher cinq solutions particulières de la forme

en désignant par y,. ■/' des coeflicients constants, et par H un argument de la forme /// + II,,, h et Ho étant deux autres constantes dont la dernière esi ai biiraire ; nous convenons d'ailleurs ici cpie sous

la désignation générale v^^, il faut entendre non seulement y,, Va? Ys? jn, mais aussi y.

Comme précédemment, on obtiendra une équation en Ji du dixième degré, ne contenant que les puissances paires de /* ; à chaque valeur positive de /i, par exemple, correspondra un système de valeurs des coefficients y^, y' dont les rapports mutuels seront déterminés; et nous aurons introduit finalement les dix dernières constantes arbitraires nécessaires pour compléter la solution générale du problème.

La quantité h étant supposée d'ordre ~j et positive, regardons

les '/p comme les inconnues principales; les y'^, seront de l'ordre > et en se bornant comme ci-dessus à la seule considération des termes d'ordre minimum, le système (9) se réduira aux cin(} équations suivantes, où l'on a remplacé h par d-\-li :

( // + Bi ) / , - \\\ ., y. 2 — ]>,\ ,, /3 — ir, , ■/■ - ]i\ x = o , ( //-f- B2 ) y. 2 — Bj , yj — B2 ., •/;( — B; i / ; — \V^ y = o ,

(i3) ' (//'-f- B3) /;,- b;,,/,- b;,,/j- Bi.iXv- B', ■/ = (.,

(/<'H-B,)/.v-B';,/,-B;,y,-B;,y,B', y = o, \ {h'-\- K') / — K, /,— K., /,— K3 /ji— Kv/v = o;

les valeurs nuuiériques des coefficients ont été données précédemment. En résolvant ces équations toujours d'après les mêmes [)rincipes, on trouvera les cinq solutions suivantes, où l'on doit regarder y,, -y 21 ys, y4, y successivement comme une constante arbitraire :

Z = — [^'■^'l'îJZi:

Z3 = — [^r"'<'9jZ2.

Xv = — [5,o5'>- ]/.-',

Zl- [^377]/:„

/,= |T,i-,3lx3,

XV = — LT-'-il lZ:i:

Xi = — [l,2()1Jy..,

z = — ["^/'gsiz'.;

Z2= ["".'.MlSJz '