T,<)HX

Zv=- |J,93()"JZ-

D'après les résultats de M. Sampson, on peut d'ailleurs prendre,

d'une façon au moins approchée, successivement

7.1 =-[4,3-7], /.o = [3,6ii|, /3 = [3,i(r2], y. :=:[!, -,75], x = [5,432].

Ces nombres suffisent à montrer que l'équate'ur de Jupiter conserve une inclinaison à très peu près constante, égale à S",}© environ, sur le plan fixe de référence, c'est-à-dire sur le plan moyen de l'orbite de Jupiter à l'origine du temps; de plus le mcud ascendant de l'équateur de Jupiter sur le plan fixe a un mouvement rétrograde très lent défini par la valeur A'= — [8,()o], et par suite égal à 3'',o par an : c'est le phénomène qui correspond à la précession terrestre.

Et sans entrer dans le détail d'interprétations géométriques inutiles en fait, nous pouvons ajouter qu'il ressort clairement des nombres ci-dessus que les satellites S„ s'écartent toujours fort peu de l'équateur de Jupiter.

Il sera facile maintenant d'intégrer plus exaclemenl le système (9) : en particulier, on aurait immédiatement les valeurs a])prochées des coefficients y', qui résultent des calculs effectués pour obtenir les y .

171. Pour achever la solution du problème, il ne reste plus qu'à compléter les équations (8) et (9), en écrivant dans leurs seconds membres d'abord les termes de degré supérieur au premier par rapport aux (e,,), (s^), (a^), cr^,, y^,, y'^, y, y', puis les termes qui proviennent de la considération des équations (5) et (6), en ayant soin de tenir compte des changements de variables que nous avons été amenés à efléctuer : c'est-à-dire que l'on doit prendre les seconds membres des équations (5) et (6), en y remplaçant s,,, e'^, y^, y^, par

et de plus, les seconds membres des équations en -rf > -^'> —- doivent être multipliés par e-"^'-'^-'*'''-?'^ tandis que ceux des équations conjuguées doivent l'être par l'exponentielle conjuguée ,o'(^i-2Nih-'J/

On sera ainsi amené à intégrer des équations linéaires non homogènes à coefficients constants, dont les seconds membres ou bien sont immédiatement connus, ou bien peuvent être facilement déterminés par des approximations successives; et comme on connaît déjà la solution générale de ces équations privées de leurs seconds membres, il suffira de déterminer les solutions particulières qui

446 CHAPITRE XXiX.

correspondent aux dliréreuls termes des seconds membres. La méthode des coefficients indéterminés y conduira facilement, sans qu'il soit nécessaire en général davoir recours à des approximations successives; mais on devra tenir compte des petits changements que celles-ci pourront apporter aux coefficients mômes des inconnues dans les premiers membres des équations (8) et (q).

On ne rencontrerait quelque difficulté dans l'application de cette méthode que si l'on cherchait la solution particulière qui correspond à des termes des seconds membres dont la période serait ou bien très longue, on bien très voisine de celle des arguments G ou II (la libration étant exclue ) : ce qui correspond au phénomène l)ien connu de résonance. Le second cas ne se présente pas, si on laisse de côté les termes qui dépassent le second degré par rapport aux (e„), (s' ), . . . , ce qui est évidemment légitime : il suffira donc d'examiner de plus près le premier cas, celui des inégalités à très longue période.

Supposons, ainsi qu'il arrivera le plus souvent, que les quatre dernières é([uations (8) seules comportent des seconds membres de la foi-me iJ-pe'^'\ G' étant un argument linéaire par rapport au temps, dont la vitesse i^' est fort petite; <^t mettons la solution correspondante sous la forme

en posant encore On aura d'abord

mais il serait inexact de déterminer ^,, ^^.^^ ^d de la même façon.

Il faudra procéder comme dans l'étude de la libration : les vp(yt) = i, 2, 3) étant pris comme inconnues principales, et l'ordre de g' étant supposé égal à /r, on voit. (|uc l'on devra regarder ^ comme

de l'ordre 2 A" ; 5 les ç^, — z,'p comme de l'ordre 2k — i, les m^

comme de l'ordre k.

On obtiendra en effet les même formules que dans le cas de la libration, en ayant soin de remplacer g par — g\ et par suite ^), ...

par g\ = — '^ , . . • , et en donnant aux équations finales (10) les seconds membres ^ — ^ ' '', .. • Négligeons alors l'effet des très petites

quantités o'j, ^''i^, .... et appelons ^", ^!;, ^l les coefficients î^,, 'C,.,, ^3 déterminés à propos de la iibration (quand on y fait ^= i), en employant la lettre ^o pour le mouvement de l'argument G de ce phénomène; les nouvelles équations (lo) s'écriront sous la forme simple

■~ ff l^'>-

et, en vertu de la relation donneront

.2vt)

On voit ainsi que la somme ^, — 3ua -t- aî^s ou "Ç sera d'autant plus petite que la quantité .i,'' sera elle-même plus petite; c'est-à-dire que, suivant l'expression de Laplace, les inégalités à longue période de a-,, 0-2, Us se coordonnent de façon à ne |)as troubler la relation singulière qui existe entre les longitudes moyennes des trois satellites.

iVppliquons ces résultats aux inégalités qui ont pour argument la longitude moyenne du Soleil, analogues à Téquation annuelle de la théorie de la Lune. D'après les équations (5), il faudra prendre

[J-p e'^ = — ^MV"SoÀo;

avec g'^zrio; en supposant l'exceulriciu': 6^, de l'orbite du Soleil égale à [2,()84|, et ajvpelant justement (V raiionialie mo^^enne du Soleil, on aura

172. Dans tout ce qui précède, on a fait abstraction des perturbations du mouvement képlériendu Soleil, ou plutôt de Jupiter : il faut encore dire quelques mots de la façon dont on devra en tenir compte.

Supposons d'abord que l'on prenne en considération les inégalités à longue période des éléments, parmi lesquelles on devra distinguer surtout les grande^ inégalités qui dépendent de l'argument 2 N^ — 5N'„, en appelant N'^ la longitude moyenne de Saturne. On voit tout de suite que, pour tenir compte des inégalités de la longitude moyenne No et de la longiluchj du périjove t^Tq. il suffira précisément d'augmenter

ces éléments de leurs perturbalions dans les formules primitives : et ceci est conforme à ce que nous avons déjà dit plusieurs fois dans des circonstances semblables. Les inégalités de l'inclinaison y'o 6t ^^ M longitude du nœud 9o ne donnent lieu à aucune difficulté; enfin on obtiendra l'effet des inégalités o^^/o et ô<?o du demi-grand axe et de l'excentricité en appliquant les mêmes lègles que ci-dessus, après avoir mis dans les seconds membres des quatre dernières équations (8) les quantités telles que

c'est ce qui résulte immédiatement des formules (3), en tenant compte de la vraie valeur de A^,, ainsi que des expressions des coefficients B',„, db;„.

11 faut envisager maintenant l'effet des variations séculaires des éléments de l'orbite solaire. Pour tenir compte d'abord de la variation séculaire de t^îq? '1 suffira encore de la joindre à tho dans les formules primitives. La variation séculaire de l'excentricité e^, soit e'^t, pro- (luii-a, comme dans la théorie de la Lune, des accélérations séculaires dans le mouvement des satellites; on les obtiendra en mettant encore dans les seconds membres des quatre dernières équations (8) les {{uantités telles que —6^.^606^1, et en recherchant l'effet de cette addition comme au numéro précédent, quand il s'agissait d'inégalités à longue période.

Supposons d'une façon générale que les dernières équations (8) comportent des seconds membres de la forme [jl^t, et cherchons la solution particulière cori'espondante de l'ensemble de ces équations. On aura d'abord

et pour p = i, 2, 3, on volt sans peine, d'après la constitution même de ces équations, (jue l'on peut prendre

en désignant par v' , oj^,, ç^,, ;' des constantes déterminées, dont les premières vérifient la relation

DÉTERMINATION APPROCHÉE DU MOUVEMENT DES SATELLITES DE JUPITER. 44y

landis que les Ç^ sont des constantes partiellement arbitraires, pour

lesquelles la somme ^, — S^j-f- 2^3 a seule une valeur déterminée J^;

de plus, on voit encore que si les "Ç sont d'ordre zéro, les coei-

ticients co^, ç' seront du inème ordre, les ç^, seront d'ordre — i ^ e*' s

sera d'ordre — - •

Reprenant encore une fois les mêmes calculs que pourlalibration, on a alors

et en désignant comme plus haut par ^q, ï^", î^^» ^3 les quantités ^, ^1 ; ^a, ^3 relatives à la libration, on tombe, si l'on néglige dans la détermination de ce phénomène l'effet des petites quantités g'^^. g^, gl^ sur les équations simples

d'où l'on tire

La variation séculaire de l'excentricité e^ de l'orbite de Jupiter n'altère par suite que d'une quantité constante, dont l'effet est entièrement insensible, la relation qui existe entre les longitudes moyennes des trois satellites S,, So, S3. Les accélérations séculaires ^' sont elles-mêmes insensibles.

En dernier lieu, nous avons à chercher l'influence du déplacemenl séculaire de l'orbite de Jupiter, et pour cela, d'après les hypothèses faites sur le plan de référence, nous devons prendre les quantités primitives •/„, y'^ sous la forme /^f^t, -/^^l, en désignant par -^o, ^'^ deux constantes conjuguées très petites. En se reportant aux équations (3), qu'il suffit de considérer, on doit donc donner aux équations (9) les seconds membres — B'p^^yote~'^^'~'^^'K le coefficient B'^^, étant remplacé par Ko quand il s'agit de l'équation en -^; et si l'on fait

;/„ = — ty^„e-'>'''- »>. ,

ces seconds membres deviennent, dans les mêmes conditions,

45o CHAPITRE XXIX.

pour les équations conjuguées, ils seront de même B' jj-^t, en appelant [a'^ la quantité conjuguée de [Xq.

On voit alors que les valeurs précédemment trouvées pour les y^, y' , y, y', doivent être augmentées d'une solution particulière des nouvelles équations (9), que l'on peut prendre sous la forme

Ip = i'^p + 'A.P ^) 1-10-+- ('^'p-^'lp')\^'o . Yp=i'^'p — l'p^) 1^0+ ('l';^ — Xp-) [J-o,

en appelant <]>^, y^, J^'^, y' des coefficients constants à déterminer. Mais les 'V^, y' sont d'ordre - par rapport aux coefficients correspondants di^, y„, et nous nous occuperons seulement de ces derniers, qui, au surplus, interviennent seuls pour donner les inégalités de caractère non périodique des y^, y' primitifs.

En substituant les valeurs supposées des inconnues dans les équations (9), on voit d'abord que les y^ vérifient les équations

Bi Xi — B', 2 7,2 — B'i 3 X.3— B', 4 /4 —B\i = B'/^o,

K'X -KiXi -K2X2 -K3X3 -K4X4=K'o;

d'après la définition des quantités B^, et K', la solution de ces équations est en évidence : on a

Il vient ensuite, pour déterminer les ^p,

Bir}/i-B',2<j;2-B;3^3-B',,f.-B',4; = i,

K'']/ — Ki^Vi — K2<]^o — Ks^^s — K4 64=i,

et il est facile de voir que si l'on appelle /i'„ la dernière valeur de h' calculée au n° 170, on a très sensiblement

^1 = ^, •]>2 = [1,998]'!', 'V3 = tî,988]-]>, '1^4 = [î,936J^,

c'est-à dire que les rapports mutuels des quantités 'iip et t|i sont les mêmes que ceux des quantités y^ et y relatives à h'^.

Désignons encore par Hq et par ^q l'argument H et le coefficient y du n" 170 qui correspondent à la racine h'^ ; nous voyons qu'en résumé, on passera des valeurs déterminées dans ce numéro pour les y^ et y

aux vraies valeurs de ces quantités en les augmentant de ^qZ d'une part, et d'autre part en y remplaçant e"'"» par e '•'» — — - ; et de même on aura les vraies valeurs des y^, y', en augmentant les anciennes de — a'-:, et en remplaçant e'"» par e'"» — T-p--

Si l'on veut prendre le plan variable de l'orbite de Jupiter comme plan de référence, il suffira de faire les substitutions relatives à e"'"» et e'"% en supprimant l'addition des termes |jioT, — a^x.

Tout ce que nous venons de dire montre bien que la théorie des satellites de Jupiter ne présente pas de difficultés insurmontables, tant que l'on suppose connues les constantes dont elle dépend : la véritable difficulté consiste dans la détermination effective de ces constantes, en particulier des masses des satellites; caries développements analytiques suivant les puissances de ces masses ne présentent qu'une convergence insuffisante. Mais nous ne pouvons aborder ici ce problème, qui nous entraînerait en dehors des limites que nous nous sommes fixées.