A C BB' BC ~ AA

En effet, en supposant que les axes se rencontrent en un point très éloigné la figure est la même que le parallélogramme des forces ou celui des rotations ; il est indifférent que la droite figu-

rant nae rotation parte ou non du point de concours. La rotation OA conserve la même signification si Ton dé- .- .

place les points 0 et A sur sa direction sans changer leur distance. Dans le cas où les axes AA', BB' seraient de sens contraire et inégaux, la construction serait encore la même que pour des forces. S'ils sont égaux ou figurent des rotations de même vitesse et de sens contraire, la résultante des forces s'éloigne à l'infini, et par conséquent il en est de même pour l'axe résultant. De la sorte la rotation devient alors une translation, et tous les points du solide ont des vitesses égales et parallèles.

Premier exemple. — Les étoiles dans le mouvement diurne présentent la même apparence que si elles étaient fixées g. une surface sphérique ayant pour centre l'observateur 0 et tournant dans le sens de la flèche autour de l'axe OP allant au pôle céleste avec une vitesse angulaire constante ». Cette rotation peut se décomposer en deux autres autour de la verticale OZ et de la méridienne ON; celles-ci étant à angle droit leurs vitesses angulaires seront les projections de la vitesse n portée sur la direction OP, c'est-à-dire n cos l pour ON, et n sin l pour OZ, l désignant l'angle PON ou la latitude. En tout point du ciel la vitesse d'une étoile est résultante de celles qui sont dues aux rotations composantes. En particulier si l'étoile est à l'horizon en S, la vitesse composante due à ON est verticale, l'autre horizontale ; celle-ci est donc la projection horizontale de la vitesse de TétoDe; elle provient de la rotation autour de OZ et par suite reste la même en tout point de l'horizon. Par conséquent la projection horizontale de la vitesse apparente d'une étoile qui se lève ou se couche est la même pour toutes et résulte d'une vitesse angulaire n sin l autour de la verticale.

Second exemple. — La terre, en laissant de côté son mouvement de translation, tourne en un jour autour de l'axe OP, fixe à son intérieur, 0 étant le centre supposé immobile, et P le pôle

nord. En même temps OP tourne en 26,000 ans autour d'une droite fixe OQ faisant avec OP l'angle e = 23", 28' ; ce sens de rotation est inverse du précédent ou rétrograde; ainsi OP tourne dans le sens direct autour de OF prolongement de OQ.

Rapportons le mouvement de la terre à un système tournant autour de OP' en même temps que OP. De la sorte, dans le mouvement relatif, OP est immobile, et la vitesse d'un point de la terre provient seulement de la première rotation ; sa vitesse d'entraînement est celle qu'il aurait en étant lié au système et provient seulement .de la seconde rotation ; sa vitesse absolue étant résultante des deux précédentes sera due à la rotation composée des deux autres. Nous la trouverons en portant sur les droites OP, OP' des longueurs OA, OB, égales aux vitesses angulaires des rotations autour de ces axes. Leur résultante OC sera la vitesse angulaire réelle de la terre et la direction de son axe instantané. On a

sin AOC = -^^ sin CAO.

Mais le rapport ^ des vitesses angulaires, inverse de celui des

durées de révolution, est extrêmement petit. On peut donc remplacer OC par OA, et le sinus par l'angle, d'où

AOC = TT.- sine.

En désignant par I le point où OC rencontre la surface de la terre et par r son rayon, l'arc PI est

PI = r X AOC = ^% sin (23% 28').

On a à peu près

0 B ^ 1 jour l

Ô Â """ -26Â)00"ans " 26,000 x ^^65

d'où résulte PI = 0">,27.

L'axe instantané 01 reste dans le plan POP' et n'a pas d'autre mouvement que la rotation autour de OP' ; il est donc presque immobile dans l'espace; mais par rapport à la terre le point I auquel il aboutit décrit en un jour sur le sol une circonférence ayant le pôle P pour centre et un rayon de 27 centimètres.

44. Angles déterniliiant la position d'nn solide par rapport à un point O. Expressions de p, q, r an

moyen de leurs dérivées. — Nous considérons le solide comme ne pouvant que tourner autour du point 0 ; pour exprimer sa position au moyen d'angles, il faut la définir par celle d'un système S d'axes OX, OY, OZ, fixes à son intérieur et partageant son mouvement ; les coordonnées x, y, z d'un de ses points res- i^ tent ainsi invariables. Le sens de rotation de OX vers OY par rapport à OZ sera considéré comme direct.

Rapportons la position à un axe principal OL et un axe polaire OL'j perpendiculaires entre eux et fixes dans l'espace. Soit DOD' l'intersection du plan L'OD perpendiculaire à OL et de celui des xy; nous choisirons à volonté OD ou OD' pour définir les angles, par exemple OD. Les angles seront :

P L'angle polaire \|; compté de OL' à OD, dans le sens direct par rapport à OL ;

2° L'angle polaire 6 compté de OL à OZ, dans le sens direct par rapport à OD ;

3^ L'angle polaire cp compté de OD à OX, dans le sens direct par rapport à OZ.

Ces angles déterminent la position des axes S; mais pour

l'exprimer complètement, il convient d'en déduire les coordonnées Ji.iJ^sl de tout point du solide par rapport à un système S' d'axes fixes, en plaçant OZ' sur OL, OX' sur OL' et 0 Y' sur OL" de façon que le sens de rotation de OX' à 0 Y' par rapport à OZ' soit direct. Soit ensuite S" le système d'axes déduit de S' en le faisant tourner de l'angle \ autour de OL, OX' venant de la sorte sur OD ; soit aussi S'" celui qu'on déduit de S" tournant de l'angle 0 autour de OD, de façon que OL ou OZ" vienne sur OZ ; en faisant tourner le système S'" de l'angle 'f> autour de OZ, il viendra coïncider avec le système S. En désignant par des accents les coordonnées relatives à S", S'", leurs formules de transformations successives sont

X = jj" cos ^ — y" sin {«, y' = x' sin 'f* -f- y* cos ^^ z = z" ;

x" = x'\ y" ■= y" cos 6 — z" sin 6, z" = y" sin 6 + z" cos 6 ;

x'" = x cos y — 1/ sin '^, y" — x sin y -}- y cos y, j*' = z.

Par une série de substitutions on en déduira des valeurs de la forme

X = ax-^ by -\- es, y = ax + ^'v + c'z,

en particulier

a" = sin 6 sin fp, h" = sin 6 cos '^, c" = cos 6.

D'après les théorèmes du numéro 4 il est clair que a", V\ c" sont les cosinus de la droite OZ' par rapport à OX, OY, OZ, et les coefficients a^ b, etc., ont une signification analogue.

Pour un point M du solide, x, y, z étant constants, les projections

, , . , , de la vitesse contiennent trois groupes de termes

ayant en facteur les dérivées -^ , -tt, -J que nous désignerons

par \|^', 6', cp'. Le premier groupe représente la vitesse dans l'hypothèse où 6 et cp resteraient constants et il est clair qu'alors le solide tourne autour de OL ou OZ' avec la vitesse angulaire \|/',

la rotation est alors figurée par une longueur ^' portée sur 0Z\ De même si 9 varie seul les vitesses sont dues à une rotation figurée par une longueur 9' sur OD, et si cp varie seul c'est une longueur rp suivant OZ.

Les projections de la vitesse sont la somme des trois groupes de termes, et par conséquent la vitesse est résultante de celles qui correspondent aux trois rotations ; ainsi elle provient de la rotaton 01 obtenue en les composant.

Désignons comme au numéro 42 par p, q, r les projections de 01 sur OX, OY, OZ: elles seront les sommes des projections des composantes 4''^ ô', ^'. La première étant dirigée suivant OZ', ses cosinus, comme on Ta vu, sont a'\ 6", c" et ses projections

^' sin 6 sin cp, îj>' sin 6 cos rp, (]>' cos Q ;

6K est dirigée suivant OD qui fait avec les axes les angles cp,

<f -}- ^-TT et ^TT] ses projections sont ainsi

6' cos y, — 6' sin "f, o ;

cp' étant dirigée suivant OZ a de même pour projections o^ o, cp'.

En ajoutant les projections homologues et remplaçant \}/', 6', cp' par leurs valeurs, on trouve

p = siii 6 sin © ,- + cos œ -j-

d^ . db q = sin 6 cos œ — ^ — sin œ -r- ^ ^ dt ^ dt

r = cos e / + -,— dt ' dt

Remarque sur les formîdes précédentes. — Les valeurs de ir', y, ^ en fonction de x, y, z sont des relations purement géométriques, d'où l'on peut déduire par l'analyse les principaux résultats des numéros précédents. Les projections ^^ ^^ , ~r- de la vitesse d'un point en fonction de jj* , ^, -^^ s'en déduisent, en re-

gardant x, y, z comme constants, et la projection de cette vitesse sur OX est

dt ' dt dt

puisque a, a', a" sont les cosinus de OX par rapport à OX', OY', OZ' ; c'est la même projection qui a été désignée par a au numéro 42, et on calculerait de même (3, 7; ces expressions seront nécessairement identiques aux formules trouvées a ^qz — ry, etc., Py î; ^ ayant les valeurs ci-dessus, que nous avons déduites d'un calcul beaucoup plus court; 3c, |3, 7 s'annulent pour un point M tel qu'on ait qz — ry = 0, etc., ou

c'est-à-dire pour tous les points d'une droite 01 dont les cosinus sont proportionnels h 2^, q, r, et on en conclut l'existence d'un axe instantané. On pourrait alors démontrer que p, q, r sont les projections de la droite 01 figurant la rotation et déduire de là, comme on l'a vu, le principe de la composition des vitesses de rotation. Au lieu de ce procédé analytique assez compliqué, il est évidemment préférable de démontrer les mêmes principes par des relations géométriques plus simples.

45. Monvemeiit de ronlement et son applleatlon an déplaeement d^une figure Invariable* — On dit

^ qu'une surface mobile S roule sur une surface fixe S' si elle se déplace de façon à lui rester toujours tangente. Dans ce cas, nous allons démontrer que la projection de la vitesse du point de contact «^ S sur la normale est nulle. Soit M le point de la

A surface S qui viendra plus tard au contact en A.

Prenons le plan des xy parallèle au plan tangent commun aux deux surfaces en A ; menons MM' parallèle â l'axe des z jusqu'à la rencontre de la surface S' en

M' et soient x, y, z les coordonnées de M ; \x, y, nf celles de M' ; nous supposons OZ dirigé de sorte que z y 2f d'où MM' =z — z\ Les coordonnées x, y soiit toujours les mêmes pour M et M, et ^ en est une fonction donnée par Téquation de la surface S', de sorte qu'on aura pendant le mouvement

^ / (iz\ àx I dz\ dy ■~ Wï) dF '^\dy)"dT

{ fï^)y{ 'j') étant les dérivées partielles de /.

Si Ton coupe en A la surface S' par un plan parallèle à celui des xz, la tangente en A à la courbe de section est parallèle à

' dz' '

OX ; on a donc en ce point ( t- ) = o, et Ton verrait de même que ( ^ j = o; en outre - -, J projections de la vitesse de M, restent

toujours finies ; par conséquent -^ devient nulle quand M arrive

au point A. Ensuite pendant le mouvement M reste au-dessus de M', et MM' oxxz — z est constamment positive sauf au point A où elle devient nulle, après quoi elle redevient positive. Par conséquent en ce point, z — / passe par un minimum et sa dérivée

-j ^, restant finie, doit être nulle. Comme on a vu que -t-

dz

l'est aussi, il en est xie même de -j^ projection de la vitesse du;

point M sur la normale, ce qu'il fallait prouver.

On dit que la surface S rofde sans glisser si non seulement la projection de la vitesse, mais cette vitesse elle-même est nulle au point de contact. De même une courbe plane roule sur une autre située dans le même plan si elle se meut de façon à lui rester tangente. Dans ce cas on prouverait comme ci-dessus que la projection de la vitesse du point de contact sur la normale est nulle, et s'il en est de même de la vitesse la courbe roule sans glisser.

Déplacement d'une figure plane dans son plan. — Partageons

le temps en petits instants 6 et soient A, B, C..., au commencement de chacun d'eux la position du centre instantané de rotation par

rapport à la figure de sorte que le polygone ABCD... soit considéré comme en faisant partie. Soient aussi sur le plan fixe A', B', C, etc.. les positions de ces mêmes points à l'instant où chacun devient centre instantané.

Nous aurons une représentation approchée du mouvement en supposant que pendant l'instant tout entier la figure tourne autour du point A ou B ou C, etc. De la sorte A étant en A' elle tournera autour de ce point jusqu'à ce que B soit arrivé au point B' qui est sa position quand il devient centre ; elle tournera ensuite autour de B jusqu'à ce que C soit arrivé en C position où il doit être le centre, et ainsi de suite.

Le polygi)ne ABCD... étant entraîné par le mouvement roulera sur le polygone fixe, de sorte que AB viendra s'appliquer sur son égal AB', puis s'en écartera tandis que BC viendra se placer sur B'C, et à l'instant suivant CD sur CD', etc.

A la limite où 6 est infiniment petit le mouvement approché devient le mouvement réel ; les polygones sont des courbes tangentes, et le point de contact étant un centre instantané a une vitesse nulle. Par conséquent en désignant par S le lieu des cefUres instantanés sur 1 1 figure 7}iohile, et par S celui de ces centres sur le plan fixe, le mouvement de la figure consiste tmijours à accom^ pagner la courhe S roulant sans glisser sur la courbe S'.

Il faut remarquer que la loi du mouvement est en général fort compliquée, et si l'énoncé précédent semble la ramener à la connaissance de deux courbes, c'est qu'il indique seulement la forme du mouvement, abstraction faite de toute notion de temps et de vitesse, celle-ci pouvant varier d'une façon quelconque.

Quand une courbe S roule sur une autre S' sans glisser, le point de contact ayant une vitesse nulle est le centre instantané de rota-

tion de la figure S, et par conséquent dans ce mouvement S et S' sont les mêmes courbes que nous venons de considérer ou les limites des deux polygones ; or dans ceux-ci les portions telles que AD, A'D', comprises entre deux points de contact correspondants, sont égales. Par conséquent si une courbe roule sur une autre sans glisser^ les arcs compris sur les deux courbes entre les points de contact à deux histants différents sont égaux.

Réciproquement si S roule sur S' de façon que cette condition soit satisfaite, elle roule sans glisser. En effet, si on la faisait rouler sans glisser, le point de contact satisferait la condition cidessus, et par suite serait toujours le même que dans le mouvement donné. Les deux mouvements sont donc identiques.

Ce que nous avons dit des courbes planes S, S' est applicable à deux surfaces cylindriques dont elles seraient les bases, leurs génératrices étant perpendiculaires au plan. Si S roule sur S' sans glisser, la première surface, accompagnant ce mouvement, roulera aussi sans glisser sur la seconde, puisque la génératrice de contact a une vitesse nulle en tous ses points ; elle sera par suite un axe instantané. Si par exemple le roulement est celui d'une roue sur un plan, ses points à chaque instant tournent autour de la ligne de contact comme axe.

Roulement conique, — Si un solide tourne en tous sens autour d'un point fixe 0, imaginons qu'une surface sphérique <j de centre 0 et de rayon arbitraire, accompagne son mouvement. Partageons le temps en instants 0 et soient OA,OB, OC, etc., les axes instantanés au commencement de chacun d'eux, A, B, C, etc., désignant les points où chacun 7-encontre la surface -r, de sorte que la figure ABC... partage le mouvement de <7 ou du solide. Soient aussi A', B', O... les points où aux mêmes instants ces axes rencontrent une surface sphérique c de même centre et de même rayon que la première, mais immobile.

Supposons d'abord que le solide tourne pendant l'instant tout entier autour de OA ou OB, etc. Les points étant joints par des arcs de grands cercle formeront un polygone sphérique mobile

ABC... et un polygone fixe A'B'C..., et on verra comme pour les polygones plans qae le premier roule sur le second et que leurs côtes correspondants sont égaux.

Le mouvement réel résulte de celui-là en supposant 6 infiniment petit; les polygones deviennent alors des courbes S, S' tracées sur une surface sphérique. La première roule sur l'autre sans glisser, et si on joint tous leurs points au centre de manière à former une surface conique C mobile et une autre G immobile? C roulera aussi sur C sans glisser, leur génératrice de contact étant un axe instantané et ayant partout une vitesse nulle. Par conséquent tout mouvement (Vuu solide autour (Vuu point fixe 0 consiste à arcompaf/ner le mouvement <Vune surface conique de sommet 0 roulant sans (/lisser sur une autre surface conique immobile et de même sommet, La première est le lieu des axes instantanés dans le solide ; la seconde est le lieu de ces axes dans l'espace . Si par exemple on fait rouler un cône posé latéralement sur un plan, le sommet reste immobile et la ligne de contact est l'axe instantané.

Roulement de dr.ux surfaces mobiles S, S\ — On nomme ainsi tout mouvement dans lequel elles restent tangentes. En ce cas, si A, A' sopt des points en coiitact, et /v, v' leurs vitesses, les projections de celles-ci sur la normale commune sont égales et de même sens.

En effet, si l'on considère le mouvement relatif de S par rapport au système formé par S', le mouvement d'entraînement du point A de S est celui qu'il aurait en restant lié à S', c'est-à-dire celui de A' ; si donc u est sa vitesse relative /• est résultante de u et de v' vitesse de A, et en les projetant sur la normale on a

proj. V = pruj. u 4- proj. y'

Or dans le mouvement relatif. S' étant immobile, et u la vitesse du point de contact, on a vu que la projection de u sur la normale

était nulle, d'où résulte

proj. V = proj. V

On dit que les surfaces roulent sans glisser si la vitesse relative H est nulle, auquel cas les deux points en contact ont une vitesse commune.

Ce qui précède s'applique sans changement au cas où S, S' sont deux courbes planes se mouvant dans un même plan et roulant l'une sur l'autre, ou restant tangentes. Les projections des vitesses des deux points en contact sur la normale sont égales et de même sens ; si ces deux points ont une vitesse commune les courbes roulent sans glisser, et dans ce cas, en considérant le mouvement de S relatif à S', on voit que sur les deux courbes les arcs compris entre les points de contact à deux instants différents ont la même longueur.

Cas où il y a déformation. — Si une surface S roule en se déformant sur une surface fixe S', on démontre, comme dans le cas où elle est invariable, que la projection de la vitesse sur la normale est nulle au point de contact. Toutefois la vitesse de ce point n'a de sens précis que s'il est matériel, ou que la déformation soit physiquement réalisable ; elle est alors celle d'un plan fonnant une surface dév eloppable.

46. Tranumisfiiioiifii de moiiveuientsi. — On nomme ^insi dans les machines les dispositions au moyen desquelles une pièce ayant un mouvement déterminé en conduit une autre ou lui imprime un mouvement également déterminé. Les mouvements rentrent d'ordinaire dans Tune des espèces suivantes : rectilif/ne continu, rectiUf/ne alternatif, circulaire continu, circulaire alternatif. La pièce conductrice peut avoir un de ces quatre mouvements, de même que la pièce conduite, ce qui présente seize combinaisons.

Les principales de ces transmissions se répètent dans toutes les machines et leur description serait superflue; quelques-unes? quoique très ingénieuses, sont rarement employées; telles sont par exemple des engrenages de roues carrées, ou d'autres dont les.

dents sont remplacées par des tiges formant les génératrices d'un hyperboloïde, la transmission du mouvement d'un arbre à un autre par l'intermédiaire d'un ressort en hélice contourné d'une manière quelconque, etc.

' Nous nous bornerons à décrire quelques dispositions qui, sans être fort simples, sont d'un usage continuel. Outre les engrenages, dont nous verrons la théorie au numéro suivant, ce seront le joint universel et le parallélogramme de Watt.

Joint de Cardan ou joint universel. — Désignons par H un arbre ne pouvant que tourner sur lui-même, terminé par une fourche à laquelle est articulée en A et B une tige AB pouvant tourner sur son axe, tout en étant entraînée par la rotation de l'arbre ; le mouvement est transmis à une seconde pièce identique, un arbre H' avec une tige A'B', et les lA deux tiges sont fixées de façon à ne faire qu'un seul

:>A' solide en forme de croix.

B En menant par le centre 0 des plans P, F per-

pendiculaires aux arbres H, H', la tige OA est contrainte de se mouvoir dans le plan P et OA' dans le plan F de façon à rester

fH' perpendiculaire à OA ; l'angle HOH' des axes est çj obtus, et nous nommerons i son supplément, dièdre

aigu de P et F.

Prenons P pour le plan de la figure, coupant F suivant LOL'

et menons NON' perpendiculaire à LOL'.

Supposons la rotation de H uniforme, de sorte que OA tourne aussi uniformément dans le sens de la flèche ; 0 A lui restant ^ perpendiculaire, il en est de même de sa projection OD sur le plan de la figure, et 0 par suite OD tourne uniformément. Il est clair que si OD tourne de OL à ON, OA' décrit aussi un angle droit, et il en est de

même quand OD va de ON à OL', etc. ; mais dans Fintervalle le mouvement de OA' n'est pas uniforme. Posons

DOL = rp^ . A'OL = 'f '

de sorte que ce soient les angles de rotation de OD et 0 A' ; menons DC perpendiculaire à OL ; A'C le sera aussi et Ton aura

CI) , CA' tangç CD

= ,- -, = cosi

puisque OCA' est dans le plan P'. Soient /?, n' les vitesses angulaires deOA, OA', ou lij ^ dont la première est constante.

L'équation tang io = **"^ ? donne

^ • cos t

drf' df

n' cos- 'c'

cos* rp' cos î cos' f ' n cos i cos^ ç

On a

cos* i cos* z

sin œ , , cos- i cos- 'f

^ ^ COJ

d'où

tsinâr '!c' — - — - cos' ce — r —

^ cos « cos ^ ' ^ cos* i cos* z + siii' ç

n' cos i

n cos' f cos' ç -(- sin* 'x

Le dénominateur varie entre 1 et cos' i, et par suite -— entre COS ^ et .