MP

A la limite, en remplaçant la corde MP par l'arc,

En même temps v' est dirigée suivant le prolongement de OM si elle est positive, et xl' à angle droit. Si la trajectoire est plane eZcp est l'accroissement de l'angle polaire cp.

Soient maintenant Vy v' les vitesses de deux points A, A' d'un solide, et u la vitesse relative de A' dans son mouvement relatif au point A, défini comme au numéro précédent. De la sorte ^ est

résultante de r et de u, et en projetant les vitesses sur AA' dans un même sens, on a

proj. V = proj. t; + proj. u.

Dans le mouvement relatif A est un point immobile, et comme on l'a vu ci-dessus la projection de la vitesse u sur AA' ou sur r

est . La condition que r soit constant, ou - = o, exprime donc

que la projection de u est nulle, ou que l'on a

proj. V = proj. V.

Il est donc nécessaire et suffisant que les projections des vitesses de A et A sur la droite AA, prises dans h même sens, soient égales. C'est ce que nous nommerons la condition d'invarinbilité. Si l'une des vitesses est perpendiculaire à la droite AA', l'autre doit l'être aussi ; cela comprend le cas où ja première serait nulle.

En appliquant ce qui précède à un solide tournant autour d'un axe, on peut vérifier que la loi des vitesses reste la même si l'axe, au lieu d'être fixe, est instantané, ou a une vitesse nulle à un certain instant, auquel cas on peut le considérer comme joignant deux points 0, 0', dont la vitesse actuelle est nulle.

En effet, A et B étant deux points quelconques du corps, il résulte de la condition d'invariabilité que la vitesse du point A doit être perpendiculaire '^ à la fois à AO et AO' ou au plan AOO', comme si

l'axe était fixe. Celle de B l'est de même au plan BOO'. Les direction des vitesses v, v' étant ainsi déterminées, la condition d'invariabilité appliquée à la droite AB donnera nécessairement

pour le rapport -r, la même valeur que si l'arc était fixe.

Distribution des mtesse^ dans un solide. — Premier cas : Le solide se réduit à une figure plane en mouvement dans son plan.

Supposons qu'aux points A et B les vitesses AA', BB' ne soient pas parallèles, et menons-leur des perpendiculaires AO, BO qui se couperont ainsi en un point 0 ; d'après la condition d'invariabilité la vitesse de ce point devrait être perpendiculaire à la fois à OA et OB, ce qui est impossible, à moins de la supposer nulle. Le point 0 est donc un centre instantané de rotation ; la loi des vitesses est alors la même que s'il était fixe.

D n'y a d'exception à ce qui précède que si A et B étant deux points quelconques en mouvement leurs vitesses sont parallèles ; dans ce cas elles font le même angle aigu avec AB, et pour que leurs projections sur cette droite soient égales il faut qu'ellesmêmes soient égales et de même sens. Ainsi tous les points ont alors des vitesses égales et parallèles, comme cela arrive dans un mouvement de translation. Le cas précédent rentre donc évidemment dans le cas général où il y a un centre instantané, en le supposant éloigné à l'infini.

Second cas : Le solide ne peut qiie tourner en tous sens autour d'un point fixe 0, — La vitesse d'un point quelconque A doit être perpendiculaire à OA et par suite on peut mener par OA un plan OAI perpendiculaire à cette vitesse. Il existe nécessairement hors de ce plan des points en mouvement . B étant l'un d'eux menons de même le plan OBI perpendiculaire à sa vitesse ; il sera distinct du premier, et soit I un point quelconque de leur intersection.

La vitesse du point 0 étant nulle, et celle du point A perpendiculaire à AI, celle du point I doit être perpendiculaire à 10 et à lA et par suite au plan lOA. Elle doit être pour la même raison perpendiculaire au plan lOB, et cette double condition est impossible à moins qu'elle ne soit nulle ; ainsi 01 est un axe instantané de rotation. Il en existe donc toujours un, dont la direction est en général variable dans le corps et dans l'espace, et comme on l'a

vu la loi des vitesses est à chaqae instant la même que s'il était fixe.

Troisième cas : Le solide est' entièrement libre, — Nous avons vu au numéro précédent ce que signifiait le mouvement d'un solide relatif à un point 0. Choisissons ce point à volonté, en le supposant lié au solide ; soit v sa vitesse et v celle d'un autre point quelconque; si v" est sa vitesse relative nous avons vu que v est résultante de v et v". Le mouvement relatif du solide, dans lequel 0 est immobile, ne peut d'ailleurs être que sa rotation autour d'un axe instantané 01 ; ??" est donc la vitesse due à cette rj^tation en supposant 01 immobile.

On peut remarquer que pour tous les points d'une droite 01 parallèle à 01 v" est la même, et en la composant avec v on trouve la même vitesse absolue r' ; par conséquent si on rapporte le mouvement du solide à un point 0' de cette droite au lieu de 0, tous ses autres points auront une vitesse relative nulle ; l'axe instantané sera donc OT. Soit alors v" la vitesse relative de 0 due à sa rotation autour de 0 T immobile, et commune à tous les points de 01 ; r sera résultante de if et ?/ ou de v'\ v et v\ de sorte que v" et t/" auront une résultante nulle ou seront égales et opposées. Pour interpréter ce résultat menons un plan perpendiculaire aux axes

et les coupant en A, A'. Dans le premier cas, où le

^ mouvement est relatif à 0, v" est la vitesse A'L' de

A A' tournant autour de A immobile ; quand on le rap-

porte à 0', v"' est la vitesse AL de A tournant autour

de A' immobile. Ces vitesses étant égales parallèles et de sens^

contraire, il est clair que les vitesses angulaires dans les deux

cas sont égales et de même sens. Par conséquent de quelque

^nanière qu'on choisisse le point 0 Vaxe instantané a toujours la

même direction et la intesse angulaire est la même.

41. Relations entre deux positions quelconques ti, 1^' d'un même solide. — Premier cas : Le solide ne peut que tourner en tous sens autour d'un point fixe 0. — Nous allons démontrer qu'une certaine droite OL est la même dans les positions S et S', de sorte qu'aw moyen d'une seule rotation autour d'elle on peut amener le solide de l'une à l'autre position.

Remarquons d'abord que si un solide tourne autour d'un axe, l'angle de rotation, que nous désignerons par rx, peut être supposé <ie 180^ au plus, en le comptant dans un sens ou dans l'autre. Par suite a est au plus de 90° et diffère de o, sans quoi il n'y aurait pas de rotation.

Cela posé, étant donné un plan quelconque M, passant par l'axe et fixe dans l'espace, il existe un plan R, passant aussi par l'axe, distinct de M et lié au solide, qui après la rotation ira occuper une position symétrique de R par rapport à M. Il suffit pour cela de prendre pour R un plan faisant avec M le dièdre oc d'un côté <:onvenable, de façon que pendant la rotation il se rapproche d'abord du plan M, car après l'avoir traversé il fera de nouveau avec lui le dièdre a de l'autre coté.

On peut faire passer le solide de la ^position S à S' par deux rotations successives. En effet, D étant un point quelconque de S, venant en D' dans la position S', on peut, en faisant tourner le solide autour d'un axe perpendiculaire au plan DOD', faire en sorte que D vienne en D', et puisque la droite OD' ne doit plus changer, une rotation autour d'elle produira la position S'.

Considérons la position du solide à l'instant où il vient de tourner autour du premier axe OA et va tourner autour du second OB, et prenons AOB pour ^ ^ le plan M ; il existe un plan R, passant par OB et' distinct de M, qui après la seconde rotation ira occuper une position symétrique de R par rapport à M ; il existe de même un plan Q, passant par A, distinct de M et par suite de R, qui avant la première rotation occupait une position symétrique de Q par rapport à M. Soit 01

l'intersection de Q et R, et OL la droite symétrique de 01 par rapport à M ; 01 appartenant à la fois aux deux plans Q et R ira après la seconde rotation se placer en OL et s'y trouvait déjà avant la première ; ainsi la droite OL du solide est placée de même dans les positions S et S', ce qu'il fallait démontrer.

On peut conclure de ce qui précède l'existence d'un axe instantané pendant le mouvement d'un solide. Toutefois cette démonstration est moins rigoureuse que celle du numéro précédent.

Remarque sur le déplaeement (V un point quelconque d'un solide quand celui-ci a tourné autour d'un axe. — La droite / joignant les deux positions du point est évidemment la même en grandeur et en direction pour tous les points d'une droite parallèle à l'axe.

Pour les points qui sont à la même distance r de l'axe il est clair que les droites 1 sont égales, mais ont toutes les directions possibles perpendiculaires à l'axe, et en faisant varier r elles ont toutes les grandeurs possibles.

Second cas : Le solide est entièrement libre, — Soit 0 un de ses points, qui vient en 0' dans la position S'; nous pouvons déplacer le solide par une translation amenant 0 en 0', après quoi, comme dans le premier cas, il prendra la position S' en tournant autour

, d'un axe 01. En menant à l'axe une parallèle

A, Jo' OA et une perpendiculaire O'A, nous pouvons

supposer la translation formée d'un déplacement rectiligne suivant OA suivi d'un autre suivant AO'. Tout point du solide prendrait donc sa nouvelle position en suivant des droites égales et parallèles à OA, AO', puis la droite X définie ci-dessus, ou le déplacement résultant de la rotation ; celle-ci ayant toutes les directions perpendiculaires à l'axe et les grandeurs possibles, il existe une droite D parallèle à l'axe, pour tous les points de laquelle / est égale et parallèle à AO' en sens contraire; le déplacement de chacun se réduit ainsi à une droite égale et parallèle à OA. La droite D ne fera donc que se déplacer suivant sa direction et si l'on opère d'abord ce déplace-

ment par une translation il suffira d'une rotation autour de la droite pour amener la position S'. Ainsi le solide peut passer de la position 8 à S' en glissant le long d'une droite et tvurnant ensuite en même temps autour d'elle. Ce mouvement est celui d'un écrou autour d'une vis immobile. En supposant les positions S, S' infiniment voisines on pourrait en conclure que la loi des vitesses dans un solide est pareille à celle qui existe dans le mouvement de l'écrou, ce qu'on pourrait déduire aussi des résultats du numéro 40 ; mais il faut remarquer que l'axe jouissant de cette propriété change à tout instant pendant le mouvement sans passer par un même point, tandis qu'en employant comme on le fait constamment le mouvement d'un solide relatif à un point 0 on doit regarder celui-ci comme lui étant lié.

Troisième cas : Le solide se réduit à une figure plane glissant dxins son plan, — Nous allons démontrer qu'elle peut passer de la position S à S' par une seule rotation autour d'un point 0.

Remarquons d'abord que si a, h sont deux points de la figure S, et que par un déplacement de glissement quelconque on les amène à leurs positions correspondantes a', h' de la figure S', celle-ci sera obtenue, c'est-à-dire que la position nouvelle c' de tout autre

point c sera entièrement déterminée, car ^ ^ ^ ^.

les distances ac, bc devant rester constantes pendant le mouvement, c ne pourra se trouver qu'à deux places c\ c"; or en c" il formerait un triangle a'b'c" symétrique de abc, et qui n'en pourrait résulter par un glissement sans retournement.

Supposons maintenant qu'une droite LL dans la position S vienne ^dans l'autre en L'L', coupant LL en un point b ; ce point appartenant à LL soit b' sa nouvelle position sur L'L' ; soit y^ o \^* aussi a sur LL la position primitive du point a' ^^

de L'L' placé à la même intersection. En faisant passer par a, b' et a'b une circonférence de centre 0, ab et a'b' en seront deux

cordes égales où les points a et 6, a' et b' se suivent dans le même ordre; de la sorte si l'on fait tourner la première autour du point 0 pour l'appliquer sur la seconde, a viendra sur a' et b sur b\ ce qu'il fallait démontrer.

Le seul cas laissé de côté est celui où LL, L'L' seraient parallèles ou coïncideraient. Soient alors a, b, deux points quelconques L ^ y? de LL et a' b' leurs correspondants sur

L'L' ; s'ils sont placés dans un ordre inverse on amènera a sur a' et b sur b' par un^ rotation de 180° autour du milieu 0 de bb' ; s'ils sont dans le même ordre, aa' et bb' étant égales et parallèles, ce sera par une translation ou une rotation autour d'un point infiniment éloigné.

42. Projections de la vitesse de rotation d'nn point. Composition des vitesses de rotation. — En

supposant qu'un solide ait un point fixe 0^ pris pour origine, nous dirons que sa rotation est figurée par une droite 01, si la distribution des vitesses est celle qu'il aurait en tournant autour de 01 dans le sens direct, et si en outre la longueur 01 est égale à la vitesse angulaire u, ou exprimée par le même nombre. Cette droite suffit ainsi pour déterminer la loi des vitesses.

On nomme composantes de la vitesse de rotation les projections p, q, r de 01 sur OX, OY, OZ, qui sont aussi les coordonnées du point I.

Projections de la vitesse d'un point queUonque M sur les axes, , — Soient x, y, z les coordonnées de M, v sa vitesse et a, M \ ô, y ses projections sur les axes, que nous proposons d'exprimer en fonction de^;. q, r, x, y, z.

Dans la formule générale i; = r^^ on a w = 01, et r est la distance de M à 01 ; par suite v iest l'aire du parallélogramme construit sur 01 et OM. La vitesse est perpendiculaire au plan de la figure; nous pouvons la supposer dirigée en avant, en choisis-

sant convenablement le côté du plan d'où la figure est vue. Si nous menons par 0 une droite ON égale et parallèle à la vitesse dans le môme sens, ses projections seront aussi oc, (3, -y, et l'on voit de plus qu'elle est l'axe de l'aire du parallélogramme, cet axe étant défini comme au numéro 5. Pour que le sens de rotation de Taire soit direct par rapport à ON, ou le même que celui de M tournant autour de 01, il faut supposer que ce sens aille de 01 vers OM. C'est évident dans la figure, où M est à gauche de 01 ; il en est de même s'il se trouve à droite, le sens pris pour direct étant alors inversé.

D'autre part, les projections a, /3, y de l'axe de l'aire ou de la vitesse ont, comme on l'a vu au numéro 5, les valeurs

yz — zy\ zx' — xz\ xy' — yx\

dans lesquelles x^ y, z sont les coordonnées de l'extrémité I de la première droite et doivent par suite être remplacées par ja q, ;*, tandis que a/, y', / sont les coordonnées de M et doivent être remplacées par x^ y, z. On trouve ainsi les formules cherchées

a= qz'-ry, ^ = rx — pz, ^ = py — qx.

Tout ce qui précède reste exact si les axes OX, OY, OZ sont en mouvement, en admettant toujours que le solide tourne actuellement autour de 01 avec la vitesse angulaire u ou 01. En ce cas les projections de la vitesse sont encore a, /3, y, mais ne sont plus

, , ^ dx dy dz

Dans le cas où un point tourne autour de l'origine dans le plan Aesxy, on a a; = p cos cp, y = p sin cp, p et çp étant ses coordonnées polaires ; p étant constant, les projections de la vitesse, en supposant les axes immobiles, sont

dx d<p dy d^

-TT = — p sin œ . -/-, — r- = 0 cos CD . - ;

dt ^ ^ dt dt ^ ' dt

D'ailleurs -J- est la vitesse angulaire u, d'où

a = — uy, p = ux, T = ?•

La rotation a lieu réellement autour de OZ ; or pour tout point M du corps X, y et la vitesse sont les mêmes que pour sa- projection sur le plan des xy ; aussi le résultat est compris dans les valeurs générales de a, (3, y en supposant p = q= o^ r = u;r n'étant que la projection de 01, on pourrait avoir r = — ti^ le sens de rotation étant alors rétrograde par rapport à OZ. La vitesse en ce cas est la même en sens contraire, et ses projectiens ne font que changer de signe. On vérifierait de même les valeurs générales de x, /3, 7 dans le cas où le corps tournerait autour de OY ou OX.

Composition des ritesses de rotation. — On désigne ainsi le

B .c principe suivant :

Si en laissant un solide dans la même positimi on suppose tour à tour qu'il ait une rotation figurée par la droite OA, ou par OB^ ou par OC résultante des deux autrès, la vitesse de (àaque point dans la troisième hypothèse est résultante de celles qu avait le même point dans les deux autres.

En efi'et, soient p, q, r les projections de OA sur les axes ; p\ g^, /•' celles de OB, et /', q\ r" celles de OC. Soient ausssi 3c, 3c', «' les projections de la vitesse d'un même point M sur OX dans les trois hypothèses. Les formules trouvées donnent

a = çi — r«/, a! = qz — ry, a = q"z — r"y.

D'ailleurs OC étant résultante de OA et OB, on a pour ses projections sur OY, OZ

d'où a" = a + a'. La projection de la vitesse due à OC sur OX, c'est-à-dire sur un axe quelconque, est donc la somme de celle des vitesses dues à OA, OB, et par suite la première est la résultante des deux autres, ce qu'il fallait démontrer.

43. Démonstration géométrique dn principe de la composition. Applications. — Désignons encore par y, v\ v" les vitesses d'un point quelconque M du corps dans les trois hypothèses où la rotation serait figurée par OA, OB, ou leur résultante OC, la position du solide étant la même dans les trois cas.

Menons par A, B, C des parallèles à OM, a

coupant en A', B', C un plan P passant par M et perpendiculaire à OM. La section MA'C'B' d'un prisme dont la base est un parallélogramme en est également un. On a r = ru, u étant 0 A et r la distance de M à OA ; v est donc Taire du parallélogramme construit sur OA et OM, et peut aussi s'exprimer par le produit OM X MA'. On trouverait de même

V =r OM X MB', v" =. OM X MC.

La vitesse v étant perpendiculaire au plan AOM. sa direction se déduirait de celle de MA' en faisant tourner cette droite de 90° autour de M dans le plan P ; les directions de ? ', r'' se déduiraient de même de celles de MB'^ MC ; mais il faut remarquer que ces trois rotations de 90"^ doivent s'effectuer dans un même sens, afin que les vitesses x. r', v" aient un même sens direct par rapport à OA, OB, OC.

De la sorte si nous faisons tourner l'ensemble de la figure MA'C'B' de 90° autour de M dans le plan P, les vitesses i\ v\ v" seront dirigées suivant MA', MB', MC, et en outre, comme on vient de le voir, elles seront proportionnelles à ces droites. Elles formeront donc aussi un parallélogramme. Par conséquent v" est la résultante de v et v\ ce qu'il fallait démontrer.

H est clair qu'on pourra de même composer un nombre quelconque de rotations figurées par OA, OB, OC, etc. La vitesse de tout point M due à leur résultante sera elle-même résultante des vitesses dues aux composantes.

Démonstration indirecte des formules du numéro 42. — On peut la tirer de ce qui précède en décomposant 01 suivant les axes et regardant chaque composante comme figurant une rotation; la vitesse v du point M due à 01 sera alors résultante de celles qui sont dues aux composantes.

Suivant l'axe des z, r est cette composante, en la dirigeant suivant OZ si r est positif, en sens opposé s'il est négatif. Dans les deux cas nous avons trouvé directement au numéro précédent

a = — rt/, P = rx, 7 = 0,'

pour les projections de la vitesse qui lui est due. Elles seraient de même

pour la composante suivant OY, et

pour la troisième. La vitesse v étant la résultante des trois autres, ses projections oc, |3, y sur les axes sont les sommes de celles qui leur correspondent, ce qui donne

a = qz — ry, ^ = rx — pz, ^ = py ^ qx

OU les formules à démontrer.

c Axes parallèles, — Les rotations figurées

par des axes AA', BB' parallèles et de même B* sens se composent en une seule

'b CC' = AA' + BB'

parallèle aux deux autres et placée de façon qu'on ait