BG BG 0H BC~ AD7 OA

Par conséquent la position du point G sur la tringle BC est invariable "et on en profite pour y articuler la tige verticale d'une pompe.

47. Engrenages. — Dans un engrenage plan, deux roues ayant des axes fixes et parallèles, la première transmet à la seconde son mouvement de rotation au moyen de dents équidistantes placées sur la circonférence dé chacune d'elles. Nous pouvons assimiler l'appareil à une figure plane, où les dents se réduisent à des courbes. Cette figure est la section des roues par un plan perpendiculaire aux axes. Soient 0', 0 les centres des roues, qui désigneront aussi les roues elles-mêmes, et /?', ^n le nombre des dents de cha^cune. Dans un même temps, le nombre de celles qui traversent la ligne des centres est égal pour les deux roues ; si ce nombre est

nn

nn\ celui des tours qu'a faits la roue 0' est — r ou n^ et l'autre en

a fait n'. Le rapport — rdes nombres de dents est donc inverse de

celui des vitesses angulaires ; or celui-ci est assigné d'avance ; on

îl

devra donc le mettre sous la forme d'une fraction rationnelle 7,

et s'il est irrationnel ou trop compliqué, le remplacer par une valeur approchée, qu'on trouvera par les propriétés des fractions continues.

Circonférences primitives. — Le but n'est pas seulement de transmettre le mouvement ; il faut encore que la rotation de la roue 0 étant uniforme celle de 0 le soit aussi ; pour cela partageons la ligne

00' des centres au point I de manière qu'on ait' ^-= ; , puis

traçons des circonférences dites primitives, de centres 0, 0' et passant en I ; la condition sera que ces circonférences, accompagnant le mouvement des roues, roulent l'une sur l'autre sans glisser. En effet, en leur attribuant ce mouvement, soient A, A' les points qui un instant auparavant étaient en contact. Comme on l'a vu au numéro 42, les arcs AI, Al sont égaux; ils sont le produit des rayons par les angles AOI, A'O'I dont les roues ont tourné, d'où •

A'O'I 01 ^ AOi ~ 0'1~ n

en supposant AI très petit ce rapport des angles est celui des vitesses angulaires, qui par conséquent est le même à tout instant. Si donc celle de la roue 0' est constante, Tautre le sera aussi; d'ailleurs le rapport a la valeur — r, assignée d'avance.

Solution générale, — Pendant le mouvement une dent D' de la roue 0' reste tangente à une dent D de la roue 0, et c'est de la forme de ces dents que doit résulter l'uniformité ; mais on peut choisir à volonté'l'une d'elles, et nous supposerons que ce soit celle de D, de sorte qu'il reste à en déduire la forme de D'.

Dans le mouvement relatif de 0 par rapport à 0', celle-ci reste immobile ; la circonférence 0 roule sur l'autre sans glisser et la dent D en mouvement doit rester tangente à D' immobile. Il faut pour cela que D' soit Y enveloppe de D, c'est-à-dire le lieu des intersections des positions infiniment voisines de la courbe D, telles que A, B, C, car de la sorte la droite AB joint deux points voisins de l'enveloppe, et aussi deux d'une même courbe D, et à la limite devient tangente à toutes deux. L'enveloppe est donc tangente à la fois à toutes les positions de D et doit être prise pour D' ; en outre la vitesse au point de contact étant dirigée suivant la tangente, la perpendiculaire à celle-ci va passer au centre instantané de rotation, ce qui permet de construire par points la courbe dont la dent D' forme un are de faible étendue. Si I ^st le point de contact de 0 et 0', ou le centre instantané, on mènera lA normale à la position correspondante de D, et A sera un point de D'; on en trouvera ie même d'autres A', A",... correspondant aux contacts en I', F, etc.

Il reste à appliquer cette ^construction à quelques exemples.

Ca.s où la roue 0 est une lanterne, — On la nomme ainsi quand elle est formée de deux disques, ayant leurs plans parallèles, réunis par des chevilles cylindriques nommées ftiseaux. Dans la figure plane les dents sont de petits cercles, ayant leurs centres sur la circonférence primitive. On nomme épicycloide la courbe décrite par un point d'une circonférence roulant sans glisser sur une circonférence immobile ; c'est donc la ligne LL que décrit le centre C d'une des dents circulaires D, quand 0 roule sur 0' ; le centre instantané étant le point de contact I, IC est perpendiculaire à LL et l'est aussi à la dent D en A, qui est un point de D'; on en trouvera plusieurs A, A, etc., en traçant l'épicycloïde LL et lui me-

^-l-^' nant diverses normales CA, C'A', C'A",... égales au rayon du fuseau. La courbe D' se nomme une développante (V épicycUnde.

Engrenaffe à flancs. — On le désigne ainsi quand la courbe

d'une dent D se réduit à une portion d'un rayon de la circonférence 0. Soit OML ce rayon, et I le point de contact de 0 et 0' à un instant quelconque. Imaginons qu'une circonférence de centre 0" ayant pour diamètre un rayon de 0 roule intérieurement sur celle-ci sans glisser, de façon à avoir toujours son contact au point I ; sa vitesse en ce point sera la même que pour le point I de la circonférence 0, c'est-à-dire nulle ; par conséquent elle roulera en même temps sans glisser sur 0'. Si elle coupe OL en M, l'angle IO"M est double de lOL ; ce sont les angles au centre des arcs XM, IL, et le second ayant un rayon double ces arcs sont égaux.

Par conséquent quand le contact était en L au lieu de I, le point M de la circonférence 0' était aussi en L. Il en résulte que dans le mouvement de 0" relatif à 0, un point M de la circonférence 0'' décrit un rayon OL ; en même temps 0" roulant sur 0' ce point M, dans le plan fixe de 0' décrit une épicycloïde, à laquelle IM est toujours normale ; elle l'est aussi à la dent D ou à OL, l'angle OMI étant droit; l'épicycloïde est donc constamment tangente à D et doit être prise pour la dent D'.

On peut remarquer que si un engrenage existait entre la roue 0 fixe et une roue 0" mobile, un point quelconque M de la circonférence 0'' aurait un mouvement rectiligne alternatif.

Cas où la roue 0 devient une erémaillere ou une barre rectiligne dentée, — Dans le mouvement réel, pendant que 0' tourne, la barre se meut d'une vitesse uniforme suivant sa longueur. Ce cas rentre dans le précédent en supposant infini le rayon de 0 ; la circonférence primitive est alors remplacée par une droite primitive BB' qui roule sans glisser sur 0'. En supposant encore l'en-

greuage à flancs la dent D dans la portion tangente à D' est une droite perpendiculaire à BB'. La circonférence 0" se réduisant aussi à BB', l'épicycloïde qui était décrite par un point M de O' devient une déreloppante de cercle, courbe décrite par un point d'une droite roulant sans glisser sur une circonférence 0'. Il est clair que C étant l'origine de la courbe et M, M', M", etc., plusieurs de ses points, çorrespon- ^ 1^>Z!^ 'i^ dant aux contacts en I, F, T, etc., on a o*

ÎM = aiT IC, l'M' = l'C, etc.

de sorte qu'en supposant un fil enroulé sur 0' et qu'on déroule en tenant tendu le bout libre, le point C de celui-ci décrit la courbe.

Enfirenafie de deux développantes, — Supposons que deux circonférences 0, 0' autres que les primitives tournent ensemble dans le sens des flèches, de façon qu'un fil se déroule sur 0' et s'enroule sur 0, en restant tendu entre elles. Un point M du fil décrira sur le plan mobile de 0' une développante de cette circonférence, car en considérant le mouvement du fil relatif à 0' on retomberait sur le cas ci-dessus ; le point M décrit de même une développante de la circonférence 0 sur son plan ; le fil est d'ailleurs perpendiculaire en M à ces deux courbes CL, CL' ; si donc on les remplace par des dents en supprimant le fil elles resteront tangentes et la première transmettra à la seconde le mouvement de 0' suivant la même loi qu'auparavant ; par conséquent si la rotation de 0' est uniforme, l'autre le sera aussi et le rapport des vitesses angulaires sera inverse de celui des rayons.

La propriété précédente subsistera si l'on fait varier légèrement la distance des centres, sans changer les dents, ce qui est un avantage de cette disposition.

Engrenofies coniques. — Dans cet appareil les axes des deux roues, au lieu d'être parallèles, se rencontrent en un point C. Les dents de l'une et l'autre ont la forme de surfaces coniques ayant

leur sommet C commun. En traçant une surface sphérique de centre C elle coupera les roues et les dents suivant une figure sphérique dont la forme détermine complètement celle des roues. C'est sur cette surface, au lieu d'un plan, qu'on devra décrire les circonférences primitives, roulant sans glisser Tune sur l'autre, et Ton trouvera la forme des dents par un tracé analogue à celui qui a été employé dans les engrenages plans.