PREMIERE PARTIE DE LA DYNAMIQUE MOUVEMENT D'UN POINT MATÉRIEL

48. Frinelpes foiidamentanx. — Définition d'un point matériel, — On nomme ainsi un corps ayant toutes ses dimensions imperceptibles, de sorte que dans son mouvement les trajectoires décrites par ses divers points se confondent sensiblement en une courbe unique, et que la vitesse du point ait ainsi une signification précise.

Nous avons plusieurs fois employé la décomposition d'un corps en très petites parties nommées éléments. Ceux-ci sont des points matériels ; mais on donne spécialement ce nom à l'un d'eux s'il est isolé et en mouvement.

Dans ce qui précède nous faisons abstraction du fait que la matière à un degré d'extrême subdivision se résout en molécules. Ce fait constitue un défaut d'homogénéité, ou des irrégularités de structure dont les dimensions sont en général imperceptibles en

comparaison de celles d'un corps, et dont l'influence par suite peut être négligée en mécanique.

Il en est de même s'il s'agit d'un élément ou d'un point matériel. En réalité, on pourrait sans erreur sensible le considérer comme infiniment petit tout en lui attribuant des dimensions immenses en comparaison de l'intervalle moyen des molécules. Mais il n'est pas même nécessaire de s'arrêter à cette sorte d'approximation; en eifet, les lois de la mécanique ne peuvent dépendre de cet intervalle, dont la valeur nous est inconnue; si donc nous lui supposons une petitesse indéfinie, ces lois ne seront pas changées. Cela revient à regarder la matière comme continue, conformément du reste à sa nature apparente.

C'est à cette condition qu'on pourra, comme on l'a vu au numéro 21 pour un corps déformable, appliquer les conditions d'équilibre à un de ses éléments solidifié, par exemple à un élément ds d'un fil comme au numéro 33. De même un point matériel solide aura toutes les propriétés d'un solide théorique.

Loi d'inertie. — Nous avons admis en statique comme évident qu'un solide en repos sur lequel n'agit aucune force reste en repos. Il en est donc ainsi quand il se réduit à un point matériel.

En outre, si aucune force n'agit sur un point pendant le mouvement, celui-ci est rectiligne et uniforme. Cela résulte de la loi expérimentale qui va suivre et s'étend plus ou moins à un corps quelconque. On nomme inertie de la matière les deux propriétés précédentes.

Principe dti nwu^ement relatif, — Le mouvement relatif d'un ensemble matériel quelconque produit par des forces, étant rapporté à un système invariable animé d'une translation rectiligne et uniforme, est le même que si cette translation n'existait pas.

Supposons par exemple que le système soit une chambre dans un navire ayant une vitesse rectiligne et uniforme, sans aucun balancement ni secousse. Tous les mouvements et les phénomènes mécaniques observés dans la chambre sont alors les mêmes que si le

bateau était immobile; un corps lancé en Tair décrit la même trajectoire, en outre si l'on immobilise une boule sur un plan horizontal, elle reste immobile, conservant ainsi d'elle-même la vitesse commune de translation, conformément à la seconde partie de la loi d'inertie ; d'après cette loi également, si la vitesse du bateau s'accélère, on voit la boule reculer ; elle se déplace à droite si le bateau tourne à gauche, etc.

Par suite du déplacement de la terre autour du soleil, combiné avec celui du système solaire, la terre est affectée d'un mouvement qui dans un temps très court est sensiblement rectiligne et uniforme, tandis qu'à diverses époques de l'année sa vitesse et sa direction sont très différentes : mais il ne résulte de cette diversité aucun changement dans les phénomènes mécaniques observés à la surface terrestre.

n faut conclure de ces divers exemples que les phénomènes relatifs sont en général indépendants de la translation rectiligne et uniforme du système et par suite les mêmes que si elle était nulle ou si le système était en repos. On peut remarquer que si ce repos existait rien ne nous en ferait apercevoir, ce qui ne nous empêche point de le considérer comme un état possible, servant de terme de comparaison.

Ce que nous avons dit des effets mécaniques est vrai aussi pour les forces, en ce sens que les mêmes forces, attractions à distance, actions au contact, etc., se produisent dans les mêmes circonstances, indépendamment de la translation.

Remarques sur le mouvement d'un point matériel. — 1° Désignons par translation ce mouvement, pour le distinguer de la rotation qui affecte en général tout corps entièrement libre, et des déformations s'il n'est pas solide.

Quand des particules de nature quelconque tombent dans le vide, elles se meuvent verticalement ou dans la direction de la force, et toutes suivant la même loi ; or elles ont en général des mouvements de rotation différents; elles peuvent aussi éprouver

des déformations diverses provenant des circonstances initiales de leur mouvement. Par conséquent, ces rotations ou déformations n'ont aucune influence sur la translation.

Or on ne peut supposer que ce soit une propriété spéciale du mouvement de chute verticale; nous devons donc admettre que cette influence est nulle dans le mouvement quelconque dû à une ou plusieurs forces.

2^ Si A et B sont deux points d'une particule très petite, la rotation et la déformation différeront suivant qu'une même force sera appliquée parallèlement en A ou B, mais la translation ne changera pas; c'est évident si on suppose la force exercée par un fil tirant A ou B, leurs trajectoires se confondant sensiblement.

On peut aussi s'en rendre compte, du moins quand la particule est solide, en supposant d'abord que le point B, lié à la particule, en soit à une distance finie. Le mouvement.de A sera alors changé si la force agit sur B au lieu de A; mais il restera du même ordre, c'est-à-dire ne sera pas infiniment plus rapide ou plus lent. Il sera moins changé à mesure qu'on placera B plus près de A, et si lia distance AB devient imperceptible, il sera sensiblement le même.

Si plusieurs forces agissent, le point d'application de chacune est par suite indifférent pour la translation.

3® Le point matériel est une particule d'une petitesse indéfinie. Il résulte donc de ce qui précède qu'en considérant seulement son déplacement ou sa translation on peut, s'il est de nature déformable, le supposer solidifié^ et qu'en outre on j)eut regarder imites les forces qui agissent sur lui comme apjjliquées au mêtne de ses divers points.

Il en est ainsi à chaque instant, et comme il a déjà une vitesse acquise, son mouvement à partir d-une époque quelconque dépend uniquement de Vintensité et de la direction des forces agissant sur lui, et de sa vitesse initiah.

En outre, d'après l'expérience citée plus haut, fi'il n'agit qu'une

seule force de direction constante et que le point parte du repos, il se meut suivant la force.

4^ Si une particule appartient à une masse gazeuse ou en est un élément, les pressions exercées par les particules voisines sont un obstacle à son expansion indéfinie. Si ensuite nous supposons la particule isolée, mais animée de ces mêmes forces à sa surface, l'obstacle subsistera, de sorte qu'on pourra l'assimiler à un point matériel, et lui appliquer les remarques précédentes, comme à toute particule comprimée par des forces. Son mouvement sera ainsi le même que si elle était solidifiée.

49. Mouvement d'un point matériel produit par de» foreewo — Voici, quand il s'agit d'un point, à quoi se réduit le principe du mouvement relatif :

Si un point matériel est animé d'une vitesse initiale et qu'en même temps une force a,qisse sur lui, sa vitesse au bout d'un temps quelconque est résultante de la vitesse initiale et de celle que lui aurait donnée la force (c'est-à-dire le mmivement produit par k( force) s'il était parti du repos.

En eifet, rapportons le mouvement à celui d'un système ayant pour vitesse de translation rectiligne et uniforme la vitesse initiale du point. Dans le mouvement relatif, la vitesse sera due à la force seule, le corps partant du repos ; la vitesse absolue du point est résultante de cette vitesse relative et de celle d'entraînement ; or celle-ci est la vitesse du système ou la vitesse initiale du point.

Partageons maintenant le temps en très petits instants 0, et supposons qu'une force constante ou variable agisse sur un point matériel partant du repos. A la fin du premier instant soit jl la vitesse que lui a donnée la force ; nous pouvons la regarder comme initiale pour le second instant. Si à ce moment le point partait du repos, la force lui donnerait à la fin du même instant une certaine vitesse |S, et d'après le principe précédent la vitesse sera en réalité la résultante de a et .S ; on peut la regarder comme vitesse

initiale pour le troisième instant ; si le point partait alors du repos, la force à la fin de l'instant lui donnerait une vitesse y ; mais elle sera en réalité résultante de- y et de la vitesse initiale, ou de ex, (3, y et ainsi de suite.

Par conséquent, au bout d'un temps t quelconque h vitesse est résultante de a, jS, «y, etc., que nous nommerons les vitesses etémentaires dues à la force ; chacune d'elles signifie la vitesse que la force donnerait au point à la fin d'un des instants, s'il était parti du repos au commencement du même instant.

D'après le numéro précédent, si la force est constante de grandeur et de direction, le point se meut suivant la force ; en supposant les instants Q égaux et infiniment petits, toutes les vitesses a, (3, etc., sont égales, placées sur une même droite et se composent en s'ajoutant. Leurs résultantes, d'instant en instant, sont a, 2 a, 33C, etc., et la vitesse croit comme le temps.

Ainsi quand un point n'a pas de vitesse initiahy une force constante de grandeur et de direction produit un mouvement uniformément accéléré simple. C'est celui qui a été ainsi désigné au numéro 36, et pour lequel on a, v = at^ a étant l'accélération.

Examinons ensuite un second mode d'action de la force, celui où elle se compose d'une série de chocs. Il ne faut pas entendre par là des forces tout à fait instantanées, car 11 n'en existe pas; dans un choc la force agit avec une grande intensité, mais seulement pendant un temps très court. Non seulement ce mode d'action d'une force est admissible comme tout autre, mais il se rencontre dans la nature ; la pression des gaz entre autres parait être dans ce cas. Sous l'expression de choc, nous devons, du reste, comprendre plus généralement les périodes d'action de la force, si elle est intermittente ou cesse de temps en temps.

Or en supposant les chocs indéfiniment rapprochés, la force à la limite équivaut complètement à une force continue qui fournirait les mêmes vitesses élémentaires, de sorte que l'une et

l'autre produiraient sur un point matériel un mouvement identique.

Rien n'empêche de supposer que les vitesses élémentaires a, ^, etc., correspondent à des instants Ô inégaux, de sorte que dans chacun d'eux il y ait au plus un seul choc ; la vitesse au bout d'un temps quelconque sera encore la résultante de or, (3, -y, etc.

Supposons maintenant que deux forces f, f agissent à la fois sur un point M partant du repos ; considérons-les d'abord comme

intermittentes, a, ;3, y correspondant à /, et de même a , |3'

à f. On peut supposer que l'action des deux forces ne soit jamais simultanée ; de la sorte le point n'est jamais soumis qu'à une seule, et toutes les vitesses «, /3, y , a, /S', y se succèdent en alternant irrégulièrement. Leur résultante totale sera ainsi la vitesse du point aa bout du temps i ; or cette résultante est la même que celle de v et v\ en désignant par v celle de a, jS, etc., et par r' celle de a, |3', etc.

Par conséquent, la oifesse du point à tout instant est la résîdtante des vitesses r^ v' quil aurait arquise^ en vtant animé de la forée f seule (ru de f seule.

A la limite où les chocs deviennent très rapprochés, les deux forces sont équivalentes à des forces continues qui peuvent être quelconques. Le principe précédent, nommé Y indépendance de V action des forces, reste ainsi exact, quelles que soient les forces /*, f agissant à la fois sur le point.

Mais nous n'avons à l'employer qu'en supposant f et f toutes deux constantes de grandeur et de direction, de sorte qu'en désignant par a, a' les accélérations correspondantes, on a r = at^ r' = a't, et la vitesse v" du point est résultante de v et v'.

Pronier cas, — Si /* et /' agissent suivant la même droite, r et r' se composent en s'ajoutant, de sorte que

et en même temps fetf ne font qu'un seule force f-^f,k laquelle

correspond par suite raccélération a -f- ^*'- U ^^ résulte que l'accélération correspondant à 2/*, 3/1.., nfest 2a, 3a..., na; pour la force n'fj c'est de même >i'a', de sorte que si nf = /^/', on a aussi

par conséquent, j^oe^r ww même jmnt raccélération due à une farce

constante lui esi proportionnelle. Leur rapport — est donc pour

chaque point matériel un nombre invariable m qu'on nomme sa masse.

Second cas. — Si- f, f ne sont pas dirigées suivant la même

droite, figurons-les par OA, OB, le mobile . ^

partant du point 0; soient OC = f" leur résultante, et OA' = a, OB' = a/, OC = a' les accélérations qui leur correspondent; étant proportionnelles aux forces, elles forment un parallélogramme, et a" est résultante de a et a' ; la vitesse if du point est résultante de celles qui seraient dues h f, f séparément ou aux accélérations a, a', et d'après le numéro 38 cette vitesse résultante est celle que produirait l'accélération a", résultante des deux autres; or c'est aussi celle que produirai la force/*" agissant seule. L'effet de celle-ci équivaut donc à celui de fet f réunies.

La règle du parallélogramme des forceji est ainsi démontrée dans le ca^s où le point ejit en mouvement. Le résultat s'étend à des forces variables, car on peut les supposer constantes de grandeur et de direction pendant un temps très court.

Si plusieurs forces agissent, on les remplacera par leur résultante, et l'on n'a par suite) à chercher que Teffet d'une seule force f. Nous pouvons admettre pour cela qu'elle reste constante de grandeur et de direction pendant chaque instant 0, pourvu qu'ensuite on le suppose infiniment petit. La formule v = at donne alors la vitesse due à la force seule, le point partant du repos, et.

Ton a — = w, m étant la masse du point ; il en résulte a = — ,

et quand < = Ô ou à la fin de l'instant la vitesse est — : c'est donc

la^valeur des vitesses élémentaires a, (3, y, etc., f pouvant différer pour chacune d'elles. En outre chacune est parallèle à la force et de même sens.

Menons par un point quelconque 0 la droite OV égale et parallèle à la vitesse du point au commencement de l'instant, ou à sa vitesse initiale, et W parallèle à la force et égale à la vitesse élémentaire

— ; leur résultante OV sera !la vitesse à la fin de

l'instant. Or au numéro 37, nous avons vu qu'en supposant 0 très petit Taccélération était une droite VH dirigée sui-

vant VV et égale à - ou -^. Par conséquent, en passant à la

limite, V accélération du point est constamment dirigée suivant la

force fy et a pour valeur -. Cette règle ramène la recherche du

mouvement dû à une force, à une question de calcul et tient lieu de tous les résultats de ce numéro et du précédent, sauf le parallélogramme des forces et le principe des mouvements relatifs.

50. Équations du mouvement d'un point matériel. — 1^ Les projections de la force f sur les axes sont désignées d'ordinaire par X, Y, Z. L'accélération est dirigée suivant

la force et s'en déduit en la multipliant par — ; ses projections se

déduisent donc de même de celles de la force, et sont , etc. D'autre part, on a vu au numéro 37 que leurs valeurs étaient

c'est la forme usuelle des équations du mouvement. Elles se réduisent à deux si le mouvement a lieu dans un plan pris pour celui des xy ; elles se réduisent de même à la première si le mouvement est reetiligne sur Taxe des x.

2^ Nous avons vu aussi que l'accélération résultait de deux composantes tangentielle et normale

la force s'en déduit en la multipliant par m et sera de même résultante de deux autres

dv inv^

r = mT = m y-, N' = mN = — ;

T est dirigée suivant la tangente à la trajectoire, dans le sens du mouvement si elle est positive, en sens contraire si elle est négative ; N' toujours positive est dirigée vers le centre de courbure, et p est le rayon de courbure.

Ces formules ne sont pas propres comme les précédentes à donner par l'intégration la loi du mouvement, puisqu'on ne connaît pas d'avance la trajectoire, ni par suite T' et N' ; toutefois elles sont d'un emploi fréquent.

3® Équations du mouvement d'un point assujetti à rester sur une surface donnée. — En supposant qu'il n'y ait pas de frottement, nous pourrons considérer le point comme libre, en joignant à la force /* donnée ou directement appliquée la pression normale P de la surface sur le point. Ses projections sont Pcos a, Pcos (3, P cosv, en désignant par q(, (3, y les angles que fait la normale avec les axes ; en les joignant aux projections de la force f on aura pour équations

m - - = X + Pcos a, w -^^^ = Y + Pcos^,

dh m — = Z + Pcos Y-

Elles ne suffisent pas poar déterminer les quatre fonctions inconnues x^ y y 2, P ; mais on doit leur joindre Téquation de la surface, toujours satisfaite par x, y, z.

4° Équations du mouvement d'un point a^ssujetti à rester sur une courbe donnée. — On pourrait trouver pour ce cas des équations analogues aux précédentes, mais il est beaucoup plus simple d'employer la seconde forme des équations du mouvement. La trajectoire est donnée et par suite on connaît les composantes tangentielle et normale T' et H de la force f. En supposant le frottement nul, on peut regarder le point comme libre, en joignant aux forces T', H, la pression normale P de la courbe sur le point. En remplaçant les forces normales P, H, par leur résultante N', on aura, comme on l'a vu,

dl p

La première équation, en l'intégrant, donnera la valeur de v, ou la loi du mouvement, après quoi la seconde donnera la force inconnue P ; mais on l'emploie sous une forme un peu différente :

p w Le point étant en M, figurons dans un

plan normal à la courbe les forces P, M /^-^^^ /h h, N' par MP, MH et leur résultante

MN'. La force MF égale et opposée à P' MN' ferait équilibre à MP, MH ; par

conséquent MP' égale et opposée à MP est résultante de MF et ^IH ; on a