Af" = ^T"- - (^T« + ATp

OÙ

AT,« = (s, - T, - -^ F,) - (s. - T, -A F,) + g^MZ + ATa .

Évahiatian des termes correspondant à G^, C^. — Nous désignerons par G,, G, les centres de gravité des volumes C,, C, : par Pii Pt l^s pressions en ces points; par -s^,, -sr, leurs ordonnées ; par y,, y^ leurs ordonnées piézométriques.

Comme C^ est une tranche infiniment mince la pression varie dans toute son étendue suivant la loi hydrostatique, puisqu'il en est ainsi sur le plan E ; on a par suite

P = Pi -H flfp(« — «i) .

Or nous avons supposé T^ = ipv , la somme s'étendant au volume C, ; G, étant son centre de gravité on a

et de la sorte T, se réduit à

P IX étant la masse totale

La somme S, = img^f s'étend au même volume ; on a donc

S, = gïàmz == g^z^ ,

et par suite

puisque y, est l'ordonnée piézométrique du point G, .

La force vive F, correspond à la même masse p, et par suite F^ = fxV, V* étant une valeur moyenne des carrés des vitesses sur la section E. H en résulte

En remarquant que le volume C, contient la masse f*', on trouverait de même

V" étant une valeur moyenne des carrés des vitesses sur la section E'.

En substituant ces valeurs dans les relations trouvées elles prennent la forme

(A) ( ATm = (l'^P' — \isgP + 9^MZ + ^^a ,

Ces expressions semblent dépendre de la position du plan fixe d'où l'on compte les 0, mais ce n'est qu'apparent. Si l'on élève ce plan d'une hauteur h, Z augmente de h^ et il en est de même des ordonnées piézométriques, ou de P et P'. De la sorte aT,^ augmenterait de

or d'une époque à l'autre la masse p s'ajoute à M, et ix s'en

retranche; on a donc aM = (ji — jx et par suite aT^ n'est pas changé.

Imaginons qu'on ajoute les valeurs de A (-^ F) et de aT^ correspondant à plusieurs instants successifs infiniment petits, pendant chacun desquels s'écoule la même masse p à travers le plan E.

Les accroissements désignés par A, qui ne correspondaient qu'à l'un de ces instants, ne feront en s'ajoutant que s'étendre à la durée totale, et pourront continuer à être désignés de même. On n'aurait donc qu'à remplacer dans les formules ix'gV — p^P par

mais on peut dans cette expression regarder P, F comme des constantes, en leur attribuant des valeurs moyennes convenablement choisies ; elle devient ainsi

Ensuite nous remplacerons 2a, i/, par ,a, a' qui représenteront les masses totales d'eau écoulées simultanément à travers les plans E, E', pendant une durée quelconque, et c'est à cette durée que s'étendront les accroissements A dans les formules (A) qui resteront exactement les mêmts. Quant aux points G^, G, dont dépendent P et P', ce sont toujours par définition les centres de gravité de la masse infiniment petite qui va s'écouler à la fois à travers la section E, ou vient de s'écouler à travers E'. Mais en réalité ces points G^, (?, peuvent être choisis à volonté sur les sections E, E' ; en eflfet ils en sont infiniment rapprochés, et par suite on peut les supposer sur ces plans eux-mêmes. Or comme la pression y varie suivant la loi hydrostatique, les ordonnées piézométriques y,, y, restent les mêmes dans toute l'étendue des sections. En particulier si le courant L est dans un canal découvert, en prenant G, , à sa surface libre, la pression y sera nulle et y, se

réduira à l'ordonnée z de ce point. La même remarque s'applique à «/,.

Conséquences des formules (A). — Si le mouvement est varié, d'une nature quelconque, la valeur de aF est exacte, mais une seule équation ne suffit pas pour connaître le mouvement. Bornonsnous maintenant au cas où il s'agit réellement d'un moteur hydraulique, dont le mouvement régulier a une forme périodique. L'équation

accr» -L F' = A.Tm - ^AT„ + ATp)

coïncide . avec la relation analogue qui exprime le principe des forces vives pour une machine ordinaire, en admettant que F soit sa force vive, A . T,„ le travail moteur, et aT„, ATp les deux parties du travail résistant, c'est-à-dire, comme dans le cas actuel, le travail utile et celui des résistances passives.

Quand il s'agit de l'eau, c'est celle que contient l'espace C, constamment renouvelée, qui est assimilée à la machine, et en attribuant au travail moteur la valeur de aT^ il en résultera le principe de la transmission du travail sous la même foime qu'au numéro 110, le mouvement de l'eau étant périodique en même temps que celui de l'appareil hydraulique.

Par conséquent si aux deux époques que l'on compare la masse d'eau est en repos, aF = o, et le travail moteur se convertit entièrement en travail utile et en travail perdu ; il en est de même si aux deux époques F reprend la même valeur.

Si l'eau est en repos à la première époque et à l'état de mouvement régulier à la seconde, il a fallu un excédant de travail moteur pour lui fournir sa force vive F, et celle-ci joue le rôle de travail emmagasiné, qui lors de la cessation du mouvement se répartit entre T„ et Tp.

Il faut remarquer que le travail T^ étant appliqué à l'appareil hydraulique ou au récepteur^ devient pour lui le travail moteur.

auquel correspond de nouveau un travail utile et un travail perdu, différents de T„, Tp qui concernent la masse d'eau.

Toute la question est réduite à l'évaluation de aT^. On n'en peut rien dire de général si la durée que l'on considère est celle où commence ou finit le mouvement ; dans le premier cas, par exemple, il se peut que l'espace C se remplisse partiellement, que le courant L' n'existe pas, etc. Il nous reste à examiner le cas principal où les deux époques que Ton compare appartiennent au mouvement régulier.

137. Travail moteur pendant le mouvement périodique. — Nous avons désigné par aT^ le travail de la pression de l'air sur Teau dans un espace fermé : si 2 est l'ordonnée du niveau de l'eau, r^ son aire, le travail élémentaire est pj:>dz\ mais o) est une fonction de ^ ; il en est de même du volume occupé par l'air, et par suite de sa pression 'p ; j>a;d^ a donc la forme f{z)dz ou rf.F(^), f{z) et F(^) étant des fonctions connues. L'accroissement ATfl est donc le même que A . F(^).

Nous admettrons maintenant que l'on compare deux époques comprenant un nombre entier de périodes; l'eau et l'appareil hydraulique à ces époques ont alors la même position et les mêmes vitesses ; z et F(^) dans ce qui précède et en outre F, M, Z reprennent les mêmes valeurs ; on a donc

A.Ta=o, AF = 0, A.MZ = o.

Puisque M n'a pas changé les masses d'eau qui sont entrées et sorties sont égales, ou a = a. Les formules (A) en remplaçant aT,^ par sa valeur donnent alors

0 = ^^{y - P) — L^u — AT;, ,

Bien que y,, y,, V, V représentent des valeurs moyennes pen-

dant une période, nous pouvons assimiler y, — y, h la charge de h du point G, sur G, ; en remplaçant P' — P par sa valeur dans la première équation et la divisant par ^, poids total de l'eau écoulée, nous aurons

en remplaçant

par Ttt , — - par (j> .

De la sorte T„ et \(^ représentent actuellement le travail utile et celui des résistances passives par kilogramme d'eau écoulé : X est donc la perte de charge.

La forme usuelle de l'équation est la suivante :

(B) T„ = -X2^, où H = ft+^;

H se nomme la hauteur de la chute. Voici d'où provient cette expression : supposons le courant L alimenté par un réservoir où l'eau soit entretenue à un niveau constant N ; en négligeant l'inégalité des vitesses sur la section Ë, appliquons la formule

à la masse contenue entre cette section et le niveau N ; nous aurons sensiblement v = o en N ; en remplaçant v' par V vitesse en E, et A, \(/ par h\ \|^', il en résulte

h' est la charge de N sur E ou sur 0^ ; 1' est la perte de charge, qu'on peut rendre insensible en évitant toute dilatation du courant, et prenant la portion L assez courte pour que le frottement soit négligeable. Alors 1' le sera aussi et l'on aura

Or h est la charge du point G, sur G, ; par suite H sera celle de N sur G,, et si tous deux sont à Pair libre, ce qui arrive communément, H sera la différence de niveau entre le point où Teau sort de l'appareil, et la surface du bassin, nommé bief d'aval, dont elle part sans vitesse.

D'ailleurs indépendamment de cette signification de H, qui n'est pas toujours rigoureuse, c'est une hauteur, donnée dans chaque cas, dont dépend uniquement l'effet qu'on peut faire produire à la chute, car la vitesse de sortie V, et la perte de charge ^^ résultent de la disposition de l'appareil hydraulique.

D'après l'équation (B) c'est quand V et -^ seront négligeables que T„ aura sa plus grande valeur H. Supposons qu'un appareil idéal remplisse cette condition, et soit n en kilogrammes le poids de l'eau écoulée par seconde ; T^ étant le travail par kilogramme écoulé, le travail par seconde sera nr^ ou HH. Ce produit se nomme la, puissance de la chute j ou son travail disponible; il équi-

riH vaut en chevaux dynamiques à — . C'est donc pour tout moteur la

limite du travail par seconde qu'il peut produire, et on nomme

rendement le rapport de son travail à celui-là, c'est-à-dire ~y

dont la différence à l'unité, ou

e3q)rime la proportion de travail perdue.

Application de la formule (B) aux rotœs en dessous. — Cet appareil, d'un emploi fréquent à . .

cause de sa simplicité, se compose l -^ .Z^7rrTr\\ l' d'une roue verticale, dont les palet- '

tes planes sont mises en mouvement par un courant horizontal LL'. Les palettes sont contenues dans un coursier^ canal découvert qui dirige l'eau contre elles ; V est la vitesse du courant L, V celle de L'; V est aussi la vitesse moyenne des palettes.

L'eau éprouve contre Tune d'elles uoe sorte de choc réduisant sa vitesse V à V ; au numéro 131 nous avons vu que dans la dilatation d'un courant, où cette même réduction s'effectue, il en

(V — V')* résulte une perte de charge égale à ^^ — ^ — -, valeur conforme à la

règle générale énoncée à la fin du numéro 107. Nous admettrons encore, sans recourir à un calcul direct, que dans le cas actuel la même règle générale soit applicable ; on aura donc

comme on le suppose communément. En outre h = o, les deux

courants étant au même niveau ; par suite H = y-, et l'équation (B) se réduit à

y. ^ Y^ ^ (V ■-, YY ^ v'(V — V) ""^Yg 2^ 2(7 g '

La vitesse V est donnée, et suivant la forme et les dimensions de la roue on peut faire varier Y' à volonté. On aurait T^ = o soit si Y' = 0, soit si V = V ; on doit choisir V de façon .que T„

soit le plus grand possible ; or V'(V — V) devient maximum

pour V = -^ V, ce qui donne

V« \ Tu = -.- = -^ H.

Le rendement serait ainsi 0,50. Mais on a constaté par expérience que la valeur de V' donnant le rendement maximum est

-"- V, et que ce rendement est 0,30. Celui-ci ne résulte pas t)

d'ailleurs de la formule

qui pour V = -^ V donnerait

On voit par cet exemple qu'il existe dans chaque cas une certaine vitesse à donner aux pièces mobiles recevant Faction de Teau, de façon à avoir le rendement maximum. Celui-ci et la vitesse peuvent en général se déduire de la théorie, mais leur différence avec les valeurs qu'indique la pratique sont souvent notables, vu la difficulté d'évaluer les pertes de charge.

La faiblesse du rendement dans l'exemple précédent provient de ce que Teau aborde les palettes par un choc, et que la vitesse de sortie n'est pas très faible. Par diverses modifications on peut améliorer le rendement, qui reste toutefois bien inférieur à 0,50 tant que les palettes sont planes. Avec des palettes courbes, et d'autres dispositions assez compliquées, Poncelet est parvenu à rélever à 0,60.

Atdres appareils hydrauUqiies. — Nous nous bornerons à une description succincte des plus usités.

Dans les rôties de côté l'eau atteint les palettes peu au-dessous de l'axe de la roue, et parcourt un coursier circulaire. De la sorte elle aborde les palettes plus ou moins tangentiellement et avec une vitesse faible si la hauteur de chute n'est pas considérable. Le choc est ainsi évité ; aussi peut-on atteindre un rendement de 0,80, qui paraît même avoir été dépassé.

Dans les roues en dessus il n'y a pas de coursier : les palettes sont courbes, et l'intervalle de chacune à la suivante est fermé latéralement de façon à former une sorte de vase nommée auget. L'eau arrive par la partie supérieure de la roue avec une vitesse faible et remplit les augets qui font ensuite tourner la roue par leur poids. Le rendement peut aller jusqu'à 0,80 pourvu que la roue tourne lentement, sans quoi il est très inférieur ; les augets

se vident partiellement avant d'atteinâre le point le plus bas, ce qui occasionne une déperdition de travail.

Les turbines sont des roues à réaction, c'est-à-dire que l'eau fait marcher les aubes par un effet de recul, et sort dans une direction opposée à la vitesse de Taube. Voici leur principe :

En projection horizontale la turbine T se compose de deux plateaux annulaires, compris encore les circonférences C, C de centre 0. Ils sont réunis sur tout leur pourtour par une série de cloisons verticales AB, A'B', etc., en forme de spirale. Chacun de leurs intervalles forme ainsi un canal ouvert aux deux extrémités AA', BB'. Cet appareil est mobile autour d'un axe vertical élevé sur le centre 0.

Au niveau du plateau inférieur se trouve un autre plateau annulaire P, compris entre les circonférences C, C de centre 0. Il est fixe, indépendant de l'autre, et sert de fond à une cuve où l'eau arrive du bief ou bassin supérieur. Il supporte des parois verticales fixes DE, D'E', etc., en forme de spirale, de sens contraire à celles de la turbine, et formant de même des conduits ouverts en EE' sur la circonférence C. Ceux-ci dirigent les filets d'eau dans la turbine, et sa vitesse doit être telle que la trajectoire des particules d'eau dans chaque conduit ABA'B' soit le prolongement de celle qu'elles suivaient dans les conduits fixes DE D'E'. L'eau pénètre ainsi sans choc dans la turbine et sort par les ouvertures BB' dans le bassin inférieur où la turbine est

immergée.

■ ■ ■ Dans un autre système les conduits fixes et

// / mobiles sont placés les uns sous les autres, de ^ ^ ^ façon que les coupes verticales des cloisons sont

encore des spirales de sens contraire.

Les dispositions précédentes évitent soit le changement brusque

de vitesse à l'entrée de Peau dans le récepteur, soit les bouillon-

nementsqui se rencontrent clans les roues hydrauliques; d'autre part il s'y produit des pertes de charge dues aux frottements, aux dilatations des filets et à leurs changements de direction; aussi le rendement est seulement de 0,70 à 0,75. D'autre part, grâce à l'excessive rapidité de la rotation^ elles ont l'avantage de pouvoir réaliser une grande puissance avec des dimensions très inférieures à celles des roues ; en outre la chute peut varier entre certaines limites sans que leur rendement soit fort diminué.

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