Kemarques sur lei| pertes de eharge. — P Si

l'on fait varier la charge sans changer la disposition du courant la vitesse à l'état permanent peut prendre des valeurs quelconques. Pour l'écoulement par un orifice en mince paroi nous avons trouvé

d'autre part, v étant nulle au niveau du réservoir, on a d'après la formule de Bernouilli

/ o ta fa

la perte de charge, et en général celle qui provient du rétrécissement du courant, est donc proportionnelle au carré de la vitesse. Il en est de même de celle qui est due à l'élargissement du

(D* yY

courant, sa valeur étant — ^ d'après les formules (4) du nu-

méro 131 et le rapport— restant constant.

Quant à celle qui est produite par l'interposition du disque, ou en général d'un obstacle quelconque, elle résulte de ce que le courant se rétrécit avant l'obstacle et se dilate après ; elle est donc aussi proportionnelle au carré de la vitesse. Il en est de même de la pression Q du disque, d'après la formule (4) ou

0 = gpaf^ .

C'est, en effet, pour un corps plongé dans un fluide en mouvement une loi de pression connue, bien qu'approximative.

2° Considérons un filet infiniment mince, de section uniforme ft>;

si le fluide avance d'une très petite longeur > le poids écoulé est //fw), et par suite gor^y)^^ est le travail des résistances.

Soit q en un point quelconque la valeur de la résistance ellemême, rapportée à l'unité de la masse sur laquelle elle agit. Pour un élément du filet de longueur ds elle sera çpcorfs, et le chemin parcouru étant partout ), on aura

la so|pme s'étendant à tous les éléments ds du filet. D'ailleurs il en est ainsi pour un filet quelconque où la section a> n'est pas constante, car on peut le partager en d'autres pour chacun desquels elle Test* sensiblement, et les valeurs de \L ne font que s'ajouter.

On peut en conclure que la valeur moyenne de la résistance q est proportionnelle au carré de la vitesse.

3^ Conséquence remarquable de la perte de charge due au disque, — D'après la formule (4) on a pour ce cas

fL = - - .

^ (jga

Si le liquide dans le tube avance de 1 le poids écoulé est pgaA et par suite le travail des résistances

T = pgaXfJ^ = QX .

Sauf dans l'espace compris entre deux sections normales A, A' le mouvement est régulier, et nous admettrons que les vitesses sont égales, ce qui revient comme on le verra à supposer négligeable le frottement des parois.

Considérons ensuite le même mouvement regardé comme relatif à un système invariable qui aurait une translation rectiligne et uniforme avec la même vitesse v. Il sera le même que si le système était en repos. Or dans ce nouveau mouvement le disque rétrograde avec la vitesse t;, en exerçant la même pression Q. Le liquide

reste en repos, sauf dans l'espace AA' ; la force vive n'existe que

dans cet espace, dont la position se déplace uniformément, et par suite elle reste constante. La formule de Bernouilli n'est plus applicable, mais bien le principe général des forces vives du numéro 128, et, par conséquent, les travaux des forces extérieures ont une somme nulle, en comprenant parmi ces forces les résistances passives.

Nous pouvons supposer le tube terminé de part et d'autre à une grande distance ; le travail des pressions extérieures à ces extrémités est nul. Celui du disque quand il avance de \ est QX ; celui des résistances est donc — QX ou le même que dans 1? mouvement primitif, bien qu'il ne s'agisse ici que du travail relatif.

Tout ce qui précède est indépendant de l'aire de la section et reste exact pour une masse d'eau indéfinie en tous sens.

Il faut remarquer que le travail T du disque imprime à l'ean uue force vive et le siège des résistances qui la détruisent est derrière le disque après son passage.

4^ Outre les pertes de charge mentionnées jusqu'ici, et les frottements qui nous occuperont au numéro suivant, on tient compte en hydraulique des pertes dues aux coudes et bifurcations des conduites d'eau, lesquelles sont analogues à celles qui proviennent d'un obstacle. Il en est d'autres qui échappent à tout calcul, savoir celles qui résultent des bouillonnements, ou de la rencontre brusque de masses ayant des vitesses différentes.

134. Frottements. — Considérons un courant, partout régulier, d«ns lequel les vitesses restent parallèles à une même droite nommée l'axe ; soient A, A' deux sections normales quelconques, s leur aire, l leur distance, faisant l'angle i avec l'horizon.

La portion intermédiaire sera décomposable en filets infiniment minces, parallèles à Taxe, ayant chacun une section constante co, et par suite une vitesse partout la même. Voici les principaux résultats de cette disposition.

l^ Emploi de la formule de BernouiUi. — Au numéro 130 nous avons trouvé pour Tenserable du courant la formule rigoureuse

les sommes i s'étendant aux filets, et ^ étant pour Tun d'eux une petite masse écoulée. Puisqu'on a pour chacun v' = t;, il en résulte V = V'*, d'où

Il en est ainsi pour le courant et pour chaque filet, la charge k restant la même.

2° Emploi du pnncipe du mouvement du centre de gravité. — En prenant pour OX l'axe du courant on a trouvé au numéro 1 31

- = SX, ou s = IW-r-

at at

la somme S s^étendant aux éléments m du liquide compris entre A et A'. Or la vitesse de chaque élément étant uniforme, on a

dS d*x

"37 = Swi -TT = 0, d'où SX = 0 . at dr

L'évaluation de 2X, déjà faite au numéro 131, doit être recommencée dans le cas actuel, où elle est tout à fait rigoureuse.

Parmi les forces extérieures considérons d'abord la pesanteur et les pressions en A, A'. Pour un filet de section a> supposons que ^,p correspondent à A, et /, p' à A'. Son poids est gptol^ et pour sa projection sur OX, ou le terme correspondant de 2X, on a

gpiùl sin î, ou gp(ù(z' — z) .

Les pressions en A, A' sont ^a>, — p'oj^ et l'ensemble de ce& termes

ou <7.ooi)^, d'après les formules (2) du numéro 130; en Tajoutant pour tous les filets, h restaïkt le même, on trouve pour la masse totale gphs.

Puisque 2X est nul et qu'on n'y doit comprendre aucune force intérieure, il doit agir sur la surface qui limite la masse une autre force F de sens contraire à OX, et telle qu'on ait

(5) F = gphs.

Celle-là ne peut être que le frottement des parois mouillées.

Comme dans une autre portion du courant, pareille à la précédente et de même longueur, les vitesses sont les mêmes, il en est ainsi pour F et par suite pour h et 4^. Par conséquent pour chaque unité de longueur du courant, comptée sur son axe, h est le même et se nomme la charge par mètre courant,

3^ Si nous répétons ce qui précède pour une partie seulement des filets, c'est-à-dire pour une portion du courant, formant ainsi à part un courant régulier de section S', nous aurons de même

F' = pghs\

valeur d'une force qui s'exerce nécessairement sur la surface convexe du courant, et qu'on nomme le frottement du liquide sur luimême.

Sans l'existence de cette force le nouveau courant, se mouvant comme dans un tube sans frottement s'accélérerait de même que tout corps pesant ; c'est pour cela que l'hypothèse de la permanence du mouvement entraînerait une impossibilité.

De là résulte par exemple que dans un courant découvert de large section , si l'on partage la masse en tranches minces parallèles à la surface libre, chacune est frottée en sens contraire par celles qui la touchent au-dessus et au-dessous. Le premier de ces frottements, à la surface libre, est nul ; le dernier est celui du fond.

Aussi la vitesse décroît comme on l'observe à partir de la sur-

face libre ; dans quelques cas ce décroisseraent est proportionnel au carré de la profondeur, mais ce n'est point un fait général ; le décroissement de la vitesse dans une conduite d'eau du milieu du tube jusqu'à sa paroi est aussi mal connu.

Nature du frottement. — Le frottement du liquide contre une paroi provient en tout ou en partie des rugosités de celle-ci. Dans le frottement de deux solides, si la vitesse augmente, la pénétration des saillies de l'un dans les rentrants ou cavités de l'autre diminue, et par une sorte de compensation, comme nous l'avons vu, le frottement n'augmente pas ; il en est autrement pour un liquide, qui remplit constamment toutes les cavités. Le frottement revient donc au fond à la résistance de petits obstacles, et doit varier à peu près comme le carré des vitesses, ce que l'expérience-vérifie.

Quant au frottement du liquide sur lui-même, il faut remarquer que la surface de séparation de deux filets ne peut être rigoureusement invariable, comme le suppose la théorie, et si leurs vitesses sont différentes, il doit se produire entre eux un mélange partiel, accélérant le mouvement de l'un et retardant celui de l'autre. Le contact de petites masses de vitesses différentes entraine en même temps une perte de charge. Telle est sans doute la principale cause du frottement dont il s'agit, et dont la loi est d'ailleurs mal connue.

Il en résulte, en outre, que le parallélisme des vitesses est souvent imparfait.

Par suite de l'insuffisance actuelle de la théorie et de l'observation, la seule des propriétés mentionnées plus haut dont nous ayons à faire usage est la formule (5), basée sur le mouvement du centre de gravité et non sur la permanence rigoureuse.

Il est évident, en effet, d'après sa démonstration que malgré les irrégularités indiquées ci-dessus on aura toujours, du moins en moyenne,

Le frottement F doit être ane fonction de la vitesse contre les parois, laquelle est inconnue; mais poar les applications on a plutôt besoin de sa relation avec la vitesse moyenne u^ seule observable. Celle-ci correspond au débit D, c'est-à-dire au volume liquide écoulé par seconde, de sorte qu'on a D = e^. L'expérience donne u pour diverses valeurs de la charge h par mètre courant, et l'on en conclut celle de F, et du frottement cp en kilogrammes par mètre carré de surface frottante.

S'il s'agit du mouvement de l'eau dans un tuyau cylindrique on trouve ainsi pour la valeur de cp en fonction de u des expressions peu concordantes entre elles, même pour des tuyaux de fonte vieille, où l'eau a déjà fait des dépôts, et où par suite ç prend en réalité une valeur bien déterminée ; toutefois pour ce cas, le plus important dans la pratique, la formule

y = 0,625 tt« = 4* "'

paraît représenter l'expérience d'une manière fort approximative. Pour des canaux découverts, où la nature du fond est plus variable, il est clair que l'indétermination est encore plus grande ; toutefois on emploie fréquemment la formule approchée

u étant encore, en mètres par seconde, la vitesse moyenne correspondant au débit, et <p le frottement en kilogrammes par mètre carré de surface frottante.

135. Applications. — Bornons-nous au cas examiné au numéro précédent, celui où toutes les vitesses, bien qu'inégales, sont parallèles à l'axe du courant, et la section s de celui-ci constante ; ^ et F étant la charge et le frottement par mètre courant, nous avons vu que h était constante et qu'on avait

F = pghê .

Jusqu'ici nous avons laissé à la densité o sa généralité^ même dans des cas où le liqaide ne pouvait être que de Teau ; il convient de remplacer à présent pg, poids de l'unité de volume ou d'un mètre cube, par 1000 kilogrammes. En outre soit c le périmètre mouillé, c'est-à-dire la portion immergée du contour de la section s; c'est aussi la surface frottante pour un mètre de long et par suite F = Cep, V étant le frottement par mètre carré ; on trouve ainsi

Cf = 1000 hs ,

et c'est de cette relation qu'on a pu tirer par expérience la valeur de a> en fonction de u.

1® Si le courant est dans un tuyau cylindrique de rayon r, on a

C = 27rr, s = irr*, et comme on l'a vu <p = -^ u*. En outre, si h doit désigner la charge pour la longueur totale l du courant, et

non plus pour 1™, on doit remplacer h par -j- ; on trouve ainsi

, 800 Ar

La vitesse u et le débit sont ainsi connus si la charge h est donnée ; si en particulier la pression est la même aux deux extrémités h se réduit à leur différence de niveau if — -sf, et il est clair

que — = sin i, i étant l'inclinaison de l'axe du tuyau sur l'horizon.

Supposons maintenant que l'eau s'introduise dans le tuyau en sortant d'un réservoir entretenu à un niveau constant N ; nous avons vu au numéro 132 que la veine se contracte en A , et que le mouvement devient régulier un peu après sur une section A'. En outre, en tenant compte des pertes de charge du rétrécissement du courant et de sa dilatation, nous avons trouvé

2oH = 1,4930 t;'^

H étant la charge du niveau N sur A', et t/ la vitesse en A' ; nous pouvons assimiler celle-ci à u ; nous aurons ainsi

igtt = 1,4930 u\ H = ^^^ !«• .

D'autre part, A" étant l'extrémité du tuyau, et h la charge de A' sur A", nous avons trouvé

800 /ir ^ te*

tt* = : — . n =

On a H + A = H' 5 H' étant la charge du niveau N sur A", laquelle est donnée; en substituant les valeurs de % et H, il en résulte

"^V 9 ^mr) "'

d'où l'on tirera la valeur de u.

2^ Supposons que le courant soit dans un canal découvert ; dans

l'équation ccp = 1000 hs, nous devons, comme on l'a vu, supposer

(p = 0,4 u\ d'oii

CM» = 2500 hs .

La pression varie dans chaque section normale suivant la loi hydrostatique^ et comme elle est partout la même à la surface, elle sera aussi constante à une même profondeur ou sur un même filet élémentaire ; la charge h se réduit donc à jsf^ — ^, et comme elle correspond à 1 mètre courant, on a fe = sin t, i étant l'inclinaison de l'axe du courant sur l'horizon. On connaît ainsi h, mais non c et 5, ce qui nécessite une nouvelle relation. Celle-là provient de ce que le débit D doit être donné ; il est inutile, du reste, de spécifier de quelle manière l'eau est amenée dans le canal. On a

ainsi e^ = D, et en substituant u = — , on trouve

s cD» = 2500 hs^ ;

la forme du canal fournit une autre relation entre c et s; s étant

«onnu on en déduira u = —,

Si par exemple la section du courant est rectangulaire, de largeur a, de hauteur inconnue x, on aura c = a + 2Xj s =^ ax^ et Ton tirera x de l'équation

2500 ha^r^ — (2:c + a)D» = o .

Le premier membre ayant des signes contraires quand x est nul ou très grand le nombre des racines positivés est impair. Il n'y en A donc qu'une seule, la somme des racines étant nulle.

La même équation donne le débit D correspondant à un courant de forme donnée.

Si par exemple on compare ceux qui ont la même pente i et des sections s de formes semblables, en posant a = x ^T, x~^ \/^T, on aura

2500 ^(3t«p»«' — (2p + aW V~ = « ■

Il est clair que a, jS et A ou sin i restent invariables. Par suite il

DVT V4

€n est de même de — j~ ; D est donc proportionnel as et w ou

136. Application du principe des forces vives aux moteurs hydrauliques. — Simplification du travail des pressions, — Comme on l'a vu au numéro 128 le travail des pressions extérieures sur une masse quelconque, pendant un très petit instant, a pour valeur Ipv^ en prenant l'élément v du volume avec le signe + pour la portion de ce volume qui a disparu, avec le signe — pour celle qui l'a remplacée. La somme ne s'étend qu'à ces deux portions, et comme elles sont égales 2i; = 0 ; par suite si la pression avait une valeur constante q son travail "Lvq ou qiv serait nul. Il sera donc indifférent pour l'évaluation du tra-

vail ipv de le remplacer par i(p — q)v, ou de considérer toutes les pressions extérieures comme diminuées d'un même nombre q ; nous prendrons pour celui-là la pression atmosphérique, et par suite nous devons la supposer soustraite des valeurs de toutes les pressions, car dans le principe du numéro 128 il n'en est pas employé d'autres que les pressions extérieures.

Disposition du courant et de la masse à laquelle le principe

s'applique, — Imaginons un courant arrivant en L, faisant marcher un appareil hydraulique, et s'écoulant en L' ; peu importe pour ce qui suit que L et L' soient des veines fluides, ou que l'eau s'y trouve dans des tuyaux ou des canaux découverts, que la section dans chacun soit constante ou variable. Mais nous supposons qu'il existe dans ces deux courants une portion, à distance suffisante de l'appareil, où les vitesses soient à peu près parallèles. Menons dans chaque portion des plans E, E' à peu près perpendiculaires aux vitesses, et dont la position restera invariable. De la sorte la pression variera sensiblement suivant la loi hydrostatique sur chacune de ces sections ; c'est la seule condition que nous supposerons satisfaite dans le mouvement varié auquel nons appliquons le principe des forces vives.

L'accroissement de la force vive correspondra à deux époques entre lesquelles s'est écoulée à travers le plan E une masse a considérée comme infiniment petite. L'eau du courant L qui est limitée à la seconde époque par le plan E se trouvait limitée à la première par une autre surface D^ antérieure, en général courbe. De même l'eau du courant L' qui à la première époque était limitée à la section E' le sera à la seconde par une surface D' située au delà ; par suite la masse totale qui à la première époque était comprise entre la surface D et le plan E' le sera à la seconde entre le plan E et la surface D ; c'est à cette masse et à ce déplacement que nous appliquerons le principe des forces vives.

Première forme de V équation des forces vives. — Nous désignerons par C à toute époque Tespàce occupé par leau entre les plans E et E' :

C^ sera celui qu'elle occupe à la première époque entre D et E ;

C, sera celui qu'elle occupe à la seconde époque entre E' et D'.

Le premier contient par hypothèse la masse fji ; le second contient une masse jx qui peut être différente.

Nous devons séparer d'abord les termes de l'équation qui correspondent à C, C,, C,.

Soient F, la force vive de Teau contenue dans C,, à la première époque; F, celle de l'eau contenue dans C, à la seconde; P celle de l'eau contenue dans l'espace C,à la première; P -f- AP la même à la seconde, où l'eau est en partie renouvelée. La force vive totale de la masse, désignée en général par F, est F^ + P à la première époque, F, -(- F' 4- aP à la seconde, d'où résulte

acer'(-i-F)

La pression est réduite à son excès sur la pression atmosphérique ; sur toute portion de surface exposée à l'air libre cet excès est nul, de même que le travail. La pression de Tair ne peut produire de travail que s'il est contenu dans un espace fermé, ce qui ne peut exister que dans l'appareil hydraulique et dans la région C; nous nommerons aT^ ce travail entre les deux époques.

Sur toute portion de surface limitée par une paroi immobile, la pression est normale et par suite perpendiculaire à l'espace parcouru et son travail est nul. Si des parois sont mobiles, elles ne peuvent être que des surfaces appartenant à l'appareil hydraulique. Nous désignerons par AT„ le travail de l'eau sur elles entre les deux époques, parce qu'en considérant l'eau comme une machine, il constitue le travail utile ; en même temps le travail de ces parois sur l'eau sera — sT^ .

Parmi les pressions extérieures il ne reste à compter que celle

de l'eau ; il n'en peut exister dans la région C, la masse qu'elle contient n'étant en contact avec l'eau que sur les pians E, E'. La pression s'exerce donc seulement sur la surface de l'eau qui se déplace de D en E, et de E' en D'. Ce déplacement étant infiniment petit, le travail, comme on l'a vu au numéro 128 est égal à 2pt?, en prenant l'élément de volume v. négatif là où il figure un accroissement, ou dans l'espace C,.

Désignons donc par T^, T, la somme Y/pv étendue à l'espace C, pour T,, à C, pour T, ; nous aurons ainsi

pour le travail des pressions.

Le frottement dans les régions C,, C, s'exerce sur une surface frottante qui est infiniment petite en même temps que fx ; l'espace parcouru, épaisseur de C, ou C,, est du même ordre. Le travail de ce frottement est donc infiniment petit du second ordre, et doit être négligé. Nous désignerons par — ATp , entre les deux époques, le travail des autres résistances passives, exercé seulement dans la région C.

Le travail de la pesanteur sur un élément de masse m est l'accroissement de mgz ; pour la masse entière c'est l'accroissement de imgz. Soient S,, S, cette somme étendue soit à C^ à la première époque, soit à C, à la seconde ; si on la désignait pour la région C par S à la première, par S -f AS à la seconde, l'accroissement total, ou le travail de la pesanteur, serait

aS, 4- S + AS) - (S. +S),

mais il est préférable de désigner par M la masse variable contenue dans la région C, par Z l'ordonnée de son centre de gravité; il est clair qu'on aura ainsi AS = A.^fMZ, accroissement d'une époque à l'autre. Le travail des forces autres que les pressions

sera ainsi

Sa — S, f (jfA.MZ — ATp.

D'après le numéro 128, ce travail augmenté de celui des pressions extérieures, est égal à l'accroissement de la demi-force vive trouvé ci-dessus, d'où résulte la relation

= S, — S, + ff A(MZ) — ATp -f T, — T, - AT„ + AT„ . ' "i^

que noas mettrons sons la forme