Coordonnées polaires
Fig. 49-
MOx = 0, MQP = ^.
tt X
iOS, 106. Formules pour passer coordonnées rectangulaires à des coordonnées polaires, et réciproquemeiB.^ :
X— rcosO, j=^ ^sinOcos^^, z^ rsinOsin^'.
r ---r. ^x^-^-jr^-r 3^ tang^^ = -, cosô = -====. i07 à iii. Volume, poids, centre de gravité d'un corps mM\
PORTÉ A DES coordonnée^ POLAIRES.
Px,
Pz.
: C f Cpr^àinQdrdBfi^, : I I I pr*&m^cosBdrdBd^, : C C Cpr^sm^Ocos^drdBd^, : f C Cpr*s\n^0sin^drdBd4f.
NEUVIÈME LEÇON
ATTRACTION DBS CORPS.
ii2. Loi de l'attraction, fi et fi' étant les masses de deux inol^ cules, u leur distance, / un coefficient constant : rattracUon iP^
tuelle de ces deux molécules est représentée par iJ^»
113 à ii6. ÀTTRAcnoN DES SPHÈRES. — L'attractIon d*ane couche ^hérique homogène sur un point matériel placé dans son intérieur est nulle.
117. L'attraction d'une couche sphérique homogène sur un point extérieur est la même que si toute la masse de la couche était réunie à son centre.
418, 419. Les résultats précédents 8*étendent au cas d'une enceinte composée de couches sphériques dont la densité varie de Tune à Tautre, mais reste la même dans toute l'étendue d'une même couche.
420, 121. L'attraction exercée par une sphère sur un point intérieur est proportionnelle à la distance de ce point au centre. — Si le point est extérieur, l'attraction est la même que si toute la masse de la sphère était réunie à son centre.
122. Deux sphères s'attirent comme si la masse de chacune était réunie à son centre.
423, 424. Formules céNéRÂ LES. A, B, C composantes de l'attraction exercée sur un point 0(a, <), 7) dont la masse est fi par uo corps quelconque dont l'élément de masse est dm.
Fig. 56.
tf est la distance OM.
4fô. RÉDUCTION DES INTÉGRALES A UNE SEULE. — Si l'OD pOSe
on a
426, 127. Propriétés de la fonction Y. — Si le point attiré est eoLtérieur, on a
^ ^ rf^ do^ "^ d&^ df '" ®' Stoui. — Mie.^ \. 18
2j4 TABLE Â>ALVT1QUB
si le point attiré est intérieur,
p^ étant la densité du corps attirant au point où est placée la cule attirée.
DIXIEME LEÇON
ATTRACTION d'uN ELLIPSOÏDE SUE UN POIITT IITTÉEIBUE.
428 à 436. Foemules eelatives a l'ellipsoïde.
ONZIEME LEÇON
SUITE DE l'atteactiou des ellipsoïdes.
437 à 141. RÉDUCTION aux fonctions elliptiques des
SANTES DE l' ATTRACTION.
442, 143, 144. Démonstration synthétique de ce théorème Newton : Une couche fiomogène d^une épaisseur quelconque coi prise entre deux surfaces ellipsoïdales semblables et semblahlem^^'^ placées n'exerce aucune action sur un [Mint intérieur.
145. Théorème d'Ivort. — Deux ellipsoïdes ayant leurs ax« a, by c et n\ b\ c' dirigés suivant les trois mêmes axes rectang'ft^ ^ laires et leurs sections principales décrites des mômes foyers, appelle \iO\nis correspondants deux points dont les coordonnées proportionnelles aux demi-axes auxquels elles sont parallèles.
Si Tun de ces points est sur la surface du premier ellipsoïde '^ l'autre sera évidemment sur la surface du second.
Si l'on prend sur les deux ellipsoïdes deux points queiconqiM^^-^ Fig. 58.' nt (x, 7, z) , fx (a, 6, 7) ei lee^^^
correspondants ni' (x\ ^, »' ) *
J* '/ (*'» ^'1 7')» ^^^ distances f*
et ii'fn\ sont égales.
146. Appelons A, B, C composantes de Tattraction premier ellipsoïde sur le point f* Nommons A', B', C les composantes de ratlraclion que le soca**^
DES MATIÈnES. 3^5
ellipsoïde eierce Ftfr le point fi' correspondant de p, on aur^
oc fie ab
Donc V attraction d'un ellipsoïde sur un point extérieur p est ramenée à l'attraction d'un ellipsoïde Itomofocal sur le point yJ cor^ respondaïU.
Ce théorème subsiste quelle que soit ia loi d attraction.
147. Pour faire usage de ce théorème, il faut calculer les valeurs des demi-axes a\ b\ c' du second ellipsoïde, connaissant ceux du premier et les coordonnées a, 6, 7, du point fx. On a
Cette équation donne une valeur positive pour a'- et une seule. Le demi-axe a! étant déterminé , on aura les deux autres par les équations
DOUZIÈME LEÇON
IfOTIOIfS PRÉLIMINAIRES SUR LB MOUVEMENT.
i48. DéFiNiTioNS. — La dynamique a pour objet Tétude des lois ^^ mouvement des corps. On considère, dans cette partie de le ^^canique, une quantité dont on n'a pas eu à s'occuper en sta- ^ique, le temps. L'idée du temps est une idée simple, qu'on ne déduit pas.
I^ux intervalles de temps sont égaux , quand deux corps identiques, placés dans les mêmes circonstances, parcourent des espaces égaui ^Os ces deux intervalles de temps, quelle que soit la loi de leui ^nouvement commun. J^ notion d'une suite d'intervalles de temps ^^Ux conduit à celle du rapport commensurable ou incommensu- ^Me de deux temps quelconques. L'unité de temps généralement ^^optée est la seconde,
i49. Mouvement uniforme. — Le mouvement le plus simple que l^^s«e prendre un point matériel est celui dans lequel ce point dé- ^^'U une ligne droite, sur laquelle il parcourt des espaces égaux ^^^8 des temps égaux. Ce mouvement est dit uniforme. On appelle '^Ouveuient varié tout mouvement qui n'est pas uniforme.
2j6 TABLE AKALYTIQUE
ISO. Qaand un point M se meut en ligne drt>ite, l'espace par- Yig, 50. couru par ce point , ou plus
généralement sa distance r k
2 5 5 £ un point fixe 0 pris sur cetta
droite, est une fonction du temps / écoulé depuis une époque convenue , en sorte qu'on a
cette équation est ce qu*on appelle Yéquation du mouvement,
i5i. La vitesse d'un mouvement uniforme est Tespace conslanft que le mobile parcourt dans Funité de temps.
On peut encore définir la vitesse, le rapport de l'espace parcou au temps employé à le parcourir.
Si Ton rapporte la position du mobile à un point 0 fixe pris su la droite parcourue et que Ton désigne par b sa distance OB à
origine ,
X = nt -^ b
sera Téquation la plus générale du mouvement uniforme.
152. L'équation du mouvement uniforme suppose qu'on ait adopE.^ deux unités, l'unité de longueur et l'unité de temps. Le nombre exprime la vitesse dépend de chacune d'elles.
153. De l'inertie. — Un point matériel en repos ne peut mettre en mouvement de lui-même et sans une cause extérieui Si un point matériel a été mis en mouvement par des cau:»e8 quel^ conques, et qu'ensuite il ne soit plus sollicité par aucune force, il devra se mouvoir suivant une certaine ligne droite, en conservai toujours la même vitesse, c'est-à-dire en parcourant sur cette lî( droite des espaces égaux en temps égaux.
i5i. Ces propriétés constituent ce qu'on appelle Vinertie de U^ matière.
Le mot inertie ne signifie pas que la matière soit incapable d'agir-
455. Vitesse dans le mouvement varié. — On appelle vitesse d'un mobile au bout du temps /, la vitesse du mouvement unifonxi^ qui succéderait au mouvement varié si , à cet instant, la force no-* trice cessait d'agir.
156. Quand un mouvement n'est pas uniforme et rectiligne, 1^ vitesse varie à chaque instant et d'une manière continue soit grandeur, soit en direction. Il n'existe pas de force qui puisse, un instant indivisible, changer brusquement la grandeur ou la dire^' tion de la vitesse d'un corps ou imprimer subitement une vil finie à un corps en repos.
DES M ATI EUES. 377
IST? à 159. Soit M un point matériel qui se meut, d*un mouvement varié, sur une droite Ox. Appelons x la distance OM de œ PI ^ mobile à un point quelconque
de la direction 0 x, et / le temps
j;— • • — ' ^ compté à partir d'une époque
quelconque, temps au bout du* ^e1 le mobile est en M ; soit c^ la vitesse inconnue qu*il possMe à ^et instant. La formule
<iODDe la vitesse du mobile, pourvu que Ton convienne de regarder <!omme positive la vitesse du mobile lorsqu'il va dans le sens des abscisses positives, et de la regarder comme négative dans le cas oooiraire.
leo. Si
ost l'équation du mouvement, on aura
Si réquatioD du mouvement était de la forme
OD aurait
Ti?
dx 161. Réciproquement, si Ton donne Téqnation
^*i aura
= Jff{t)dt-^C.
TREIZIÈME LEÇON
DE L*ACCÉLÉRAT10If.
169L Du MOUVEMENT UNIFORUÉUEM VARIÉ. — Solt uu point ma-
tériel M qui se meut sur une ^^' ^'' droite Ox de telle sorte que sa
2 ]j 5 i" vitesse v croisse proportionnel-
lement au temps /, à partir du ^Ornent où le mobile était en un point donné A. Soit g Taccroisse-
a^S TADLE ANALYTIQUE
ment constant de ta vitesse pour chaque unité de temps. Soient 0A=^ b Tabscisse du mobile à l'époque initiale, OM = x son al après le temps /, a sa vitesse au point A, on aura
ç = a -h gtj X = ù-^ai-\-
Le mouvement représenté par celte équation est dit unifonnémen t
varié ou accéléré.
163. Si Ton place le point 0 en A ; si de plus on suppose a = on aura
U--=gt, X = '---..
i64. Principe des mouvements relatifs. — Si des points tén'eis M, N, P... se meiwent dans l'espace suii^nt des draii
parallèles, avec une vitesse constante ou riable, mais qui soit la même pour tous chaque instant , eie sorte qu'ils paraissent pas se déplacer les uns par rapport autres, si Vun des points^ M par exempT^ vient à être sollicité par une certaine fi le mouvement relatif du point M à Péganl des autres points sertr ^ même que le mouvement absolu qu^ aurait ce point M si le mou^^'^^ ment commun n'existait pas et que le point M partant du repos f^ii encore sollicité par la même force.
Cette loi de la naluro est vérifiée par Taccord des conséquence^ qu'on en tire avec les faits observés, surtout en astronomie
i65. U résulte de ce principe que si un point matériel ani d'une vitesse acquise vient à être sollicilé par une force diri| dans le sens même de son mouvemonl ou en sens contraire, ottt^ force lui communiquera, après un temps quelconque, un accroisse^ ment ou une diminution de vitesse précisémrnt égal à la viies^^ qu'elle lui imprimerait s'il parlait de lYtiU de repos.
