BD BC

tend Ters Tunilé ei que BD est dirigé dans leaeiif HD oa AC. Ainsi les projections infiniment petites qi eiq sont ^ales et dirigées dans le même sens. D'ailleurs les forces Q et Q] sont égales cl contraires. Donc leurs moments sont égaux et de signes contraires, et Ton a

447. La même chose peut se démontrer par le calcul. Soient X, y, 2; x', y'^ z\ les coordonnées rectangulaires des points A et B. Ces points peuvent être regardés comme assujettis à se mouvoir le long de deux courbes arbitraires AL et BM, avec la condition que Ton ait toujours

l désignant la longueur de AB. On aura donc, puisque/ est une constante,

(a/ — x) . r' — Y *' — 2 \ ^ Idx H- ^—j ^ dy H ~dz

= —^d^ + ^-^dy' ^ —j^dz\

Soient ds = Ka^ ds' ==Bb les éléments des courbes AL, BM correspondant à une position infiniment voisine de la droite AB. La relation précédente peut se mettre sous la forme

/j/ — X elx y' — T dy z' — z dz\ \ / li "* ? d^ "^ T~ ds)

- '^^ ^~7~ ds' "" ~7~ d^ ^ ~r d^'j ' oiais on a

x' — X dx y' — Y dy z' — % dz

cosBAa = h =- -- ^ ,

/ ds i ds i ds

, x' — X dx* r' — y dv' z' — z dz

pourvu que ds et ds' soient positifs, condition qui peut

68 C0UB8 DS XÉCANIQf7B.

toujours être remplie en prenant convenablement les origines de ces arcs. On a donc

ds cosBA a = ds' cos ID b OU

d'ailleurs les forces Q et Qi sont égales et de sens contraires . donc la somme de leurs moments virtuels est nulle.

DÉMOIVSTRATIOlf DU PKI!«C1PE DBS VrrESSBS VIRTUELLES OAIfS LB CAS d'un SYSTÈME A LUISOUS COMPLÈTES.

448. Soient A {x,y, z), M (x',j', z'), A"(x V', z"),„. un nombre quelconque n de points assujettis à des conditions données. Ces conditions seront ordinairement exprimées par un certain nombre d'équations entre les coordonnées de ces points. Le nombre des équations doit d^ailleurs être moindre que 3n, sans quoi chaque point aurait une position fixe et resterait en repos quelles que fussent les forces appliquées an système; mais il peut être égal à 3/i — i. Dans ce cas, où le système <*st dit à liaisons complètes, tous les points sont assujettis à demeurer sur des courbes données AL, A'L',. . ., et ie déplacement de Tun des points entraine celui de tous les autres. En eflel, en éliminant x\y% z'y x", y'\ z'\ etc., on tirera des équations données les valeurs de j^ et de z en fonction de x, savoir :

et CCS équations représenteront une courbe AL, sur laquelle le point A (x, /, z) sera obligé de demeurer. On

T1IE1ITB-TBOI8IÈME LBÇOV. 6g

▼erra de la même manière queles autres points ne peuvent se mouvoir que sur des courbes déterminées. En outre, toutes les variables moins une, jr, pouvant s'exprimer en fonction de ceUe-ci, quand on connaîtra la position de Fnn des points, A par exemple, celles de tous les autres seront déterminées : les déplacements infiniment petits qu'on peut faire subir aux points du système ont donc avec l'un d'eux des relations qui résultent des 3n — i équations données.

449. Chaque point peut se mouvoir sur la courbe dans deux sens contraires, ce qui donne lieu à deux moments virtuels égaux et de signes contraires. C'est d'ailleurs ce qu'on peut voir par le calcul. Soit

une des 3/i — i équations de condition. On peut la ditlérentier en y regardant une seule des variables comme indépendante, ce qui donne

or df dz dz

On aurait en tout 3n — i équations semblables. Or si dies sont satisfaites par de certaines valeurs de ^x, ijr^ is, dx'n . . . , elles le sont évidemment aussi par les } mêmes valeurs prises avec des signes contraires, d'où \ résulte pour chaque point deux déplacements égaux et * iirigés en sens contraires.

450. Supposons qu'on applique aux points A, A', A'^, . . . , des forces P, P', F', . . . , telles, qu'il y ait équilibre. Nous pouvons ne considérer qu'une seule force en chaque point, puisque, s*il y en avait plusieurs, la somme de leurs moments virtuels serait égale au moment virtuel de leur résultante. Prenons sur une surface quelconque un point B qui soit lié avec les points A et A' par denx droites rigides AB, A'B, mobiles autour du point

yO COUBS DE MÉCilVlQUB.

B. Appliquons en A et B, suivant AB, deux forces Qy*-Q égales et contraires, puis en A et B, suivant A'B, den forces Q\ — Q' égales et contraires. L*écat du sptfaoM ne sera pas changé.

Quand le point B se déplace infiniment peu, il est obligé de se mouvoir sur une courbe déterminée, car il doit être sur uue surface donnée et rester à des distança également données des points A et A'. Cela posé, appelons toujours p, p\ p^^ . . . , les projections positives on négatives des vitesses virtuelles des points d'application, A, A', A'', etc. Désignons par Q/f le moment virtuel de la force Q appliquée au point A, et par QY celui de la force Q' appliquée au point A'. L'intensité de Q' étant arbitraire, on peut en disposer de manière que les forces P' et Q' appliquées au point A' tiennent ce point en équilibre sur la courbe A'L^ Il est nécessaire et suffisant, pour cela, que la somme de leurs moments virtuels soit nulle (446) ou que Ton ait

P>'-hQ'7' = o.

On peut alors supprimer P' et Q' appliquées en A'. On

peut aussi disposer de Tintensité de la force Q, desortf

que les deux forces — Q, — Q' tiennent le point B en

équilibre sur la courbe où il est obligé de demeurer, ce

qui exige, puisque les moments virtuels de ces deux forcfs

sont, d'après le lemme précédent, — Q(j et — Q'^S q*

Ton ait

delà et de Téquation précédente on déduit

qq = ^P'.

Ainsi Tétat du système ne sera pas changé si Ton supprime la force P' appliquée au point A', pourvu qœ ]*ob applique au point A une force Q dont le moment virtad soit ^al a celui de la force P'.

TREHTB-TROISlklCB LBÇOV. Jl

On pourra de même supprimer les forces appliquées aux autres points A^, A^, . . . , pourvu qu'on applique au point A des forces dont les moments soient égaux à

On n'aura donc plus que des forces appliquées au point A. Donc, pour que le système soit en équilibre, il faut et il suffit que ces forces se fassent équilibre et par consé* quent que la somme de leurs moments soit nulle. On aura donc

vp -h p>' -f- vy -.- . . . = o.