XIO COURS DE MÉCANIQUE
Si I on rapporte la position du mobile à un point O fixe
pris sur la droite parcourue et que Ton désigne par b sa
distance OB à cette origine, à Torigine du temps, il est
clair qu'on aura
jc = s -4- b
ou
(i) x = at-\'b.
C'est Téquation la plus générale du mouvement uniforme. Pour un autre point M' on aurait
Ces deux équations serviront à résoudre toutes les questions qui concernent les positions relatives des deux points mobiles, à des époijues quelconques.
152. L'équation du mouvement uniforme suppose qu'on ait adopté deux unités, Tunité de longueur et Tunité de temps. Le nombre qui exprime la vitesse dépend de chacune d'elles; mais le rapport des vitesses dans deux mouvements uniformes reste invariable quand on change ces unités. En effet, si l'unité de temps devient n fois plus grande, les vitesses qui étaient auparavant exprimées par a et a' le seront maintenant par na et na' :
or — ; = -;• De même, si l'unité de longueur devient na a ^ -
p fois plus grande, les vitesses auront pour expressions
nouvelles - et — 9 et leur rapport ne sera pas changé.
En général, le nombre qui exprime la vitesse varie avec l'unité de longueur. Il est d'autant moindre qne cette unité est plus grande. Ce nombre varie aussi dans le même rapport que l'unité de temps.
DE l'inertie.
1S3. Il est évident que si un point matériel est en re» pDS| il ne peut se mettre en mouvement de lui-même et
DOUZIÈME LEÇON. XII
sans une cause extérieure, car il n'y a pas de raison pour que ce point se meuve de lui-même dans un certain sens plutôt que dans un autre. En outre, si un point matériel a été mis en mouvement par des causes quelconques (que nous appelons des ybrc^^) et qu'ensuite il ne soit plus sollicité par aucune force, il devra se mouvoir suivant une certaine ligne droite, en conservant toujours la même vitesse, c'est-à-dire en parcourant sur cette ligne droite des espaces égaux en temps égaux. On voit bien d'abord que le point se mouvra en ligne droite, car il n'y a pas de raison pour qu'il s'écarte de la direction de son mouvement à F instant où les forces ont cessé d'agir. Il n^est pas aussi facile d'admettre que sa vitesse restera la même ou que son mouvement sera uniforme, car il n'y aurait rien d'absurde à supposer que son mouvement se ralentisse peu à peu et cesse entièrement au bout d'un certain temps. Mais on observe qu'un corps, soumis à une impulsion et abandonné ensuite à lui-même, possède pendant un certain temps un mouvement sensiblement rectiligne et uniforme, et qui dure d'autant plus longtemps que les obstacles et les résistances qui s'opposent à ce mouvement sont moindres. Tel est, par exemple, un corps solide qui reçoit une impulsion sur un plan fixe horizontal très-poli, sur lequel il repose par une face plane et qui n'éprouve que peu de frottement. On est donc conduit à admettre que s'il était possible qu'un point matériel, après avoir été mis en mouvement par des causes quelconques, ne fût plus sollicité par aucune force et ne rencontrât aucun obstacle, son mouvement serait rectiligne et uniforme.
154. Ces propriétés constituent ce qu'on appelle l'mertie de la matière.
L'inertie de la matière consiste donc en ce que tout point matériel en repos reste en repos, tant qu'aucune cause extérieure n'agit sur lui, et s'il a été mis en mou-
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vcment et qu'ensuite aucune force ne lui soit appliquée, son mouvement est naturellement reciîligne et uniforme. Le mot inertie ne signifie pas que la matière soit înca* pable d'agir, car, au contraire, la plupart des forces dont nous observons les eflcts proviennent des actions que les molécules matérielles exercent les unes sur les autres, de sorte qu'un point matériel peut trouver dans un autre, mais jamais en lui-même, la cause de son mouvement.
VITESSE DAnS LE MOUVEMENT VARIÉ.
155. Il résulte de ce qui précède que tout point matériel doué d'un mouvement varié rectiligne ou d'un mouvement curviligne doit être sollicité par une ou plusieurs forces, sans quoi son mouvement serait uniforme. Comme l'espace parcouru par le mobile n'est pas toujours le même dans des temps égaux, la définition que nous avons donnée de la vitesse n'aurait pas de sens dans ce cas. Pour concevoir ce qu'on entend alors par vitesse, imaginons que la cause ou force qui produit le mouvement cesse d'agir à un instant déterminé : le point continuera à se mouvoir dans la direction d'une certaine droite et son mouvement sur cette droite sera uniforme. On appelle vitesse d'un mobile au bout du temps f, la vitesse du mouvement uniforme qui succéderait au mouvement varié si, à cet instant, la ibrce motrice cessait d'agir.
156. Quand le mouvement n'est pas uniforme et rectiligne, la vitesse varie à chaque instant et d'une manière continue, soif en grandeur, soit en direction. En efTet, l'observalion prouve qu'il n'existe pas de force qui puisse, dans un instant indivisible, changer brusquement la gran* deur ou la direction de la vitesse d'un corps ou imprimer subitement une vitesse finie à un corps en repos.
On a pendant longtemps distingué deux espèces de forces : les forces continues, comme la pesanteur, agissant sans interruption sur le mobile pendant un temps fini, et
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lesjbrces instantanées qu'on supposait capables d'imprimer subitement à un corps en repos une vitesse finie ou de cbanger instantanément la vitesse ou la direction d*un corps en mouvement^ mais par l'observation attentive des pbénomènes on reconnaît que ces dernières forces n'existent pas dans la nature, et qu'une force ne peut changer d'une manière sensible la grandeur et la direction de la vitesse qu'en agissant pendant un certain temps qui est quelquefois assez court pour n'être pas appréciable. On s'accorde aujourd'hui à n'admettre que des forces continues.
157. Soir M un point matériel qui se meut, d'un mouvement varié, sur une droite Ox. Appelons x la dis- ¥Iq. Go. tance OM de ce mobile à
o M M' un point quelconque de la
** direction Ox, et « le temps
compte à partir d'une époque quelconque, temps au bout duquel le mobile est en M-, soit i^ la vitesse inconnue qu'il possède à cet instant. Nous allons faire voir que
On peut d'abord démontrer ce théorème par la considération des infiniment petits. En efict, supposons le mobile arrivé en M au bout du temps t. Pendant l'intervalle de temps infiniment petit dt qui succède au temps f, le mobile parcoiu"t l'espace infiniment petit MM'= /7x, et sa vitesse varie infiniment peu (1S6), de sorte qu'on peut regarder le mouvement du mobile de M en M' comme uniforme. On a donc
ax=:vat ou c» =: --— .
de
158. On peut établir rigoureusement cette formule par la méthode des limites. Supposons qu'après le temps t le mobile parcoure pendant l'intervalle de temps At
Stcbii. — Âléc; I. 8
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l'espace MM' = Ax. On pourra toujours prendre le temps At assez court pour que, pendant ce temps-lâ, la vitesse du mobile soit continuellement croissante ou décroissante. Supposons-la croissante : v étant la vitesse du mobile au point M, désignons par t^' sa vitesse quand il arrive au point M^ L'espace Ax parcouru par le mobile pendant le temps £kt doit être évidemment plus grand que Tespace t^At qu'il parcourrait s'il se mouvait uniformément pendant le temps At avec la vitesse u qu'il a au commencement de ce temps, puisque i^ est sa plus petite vitesse pendant le temps At. Ensuite Ax doit être plus petit que l'espace i*' At que parcourrait le mobile s'il se trouvait avoir la vitesse constante u' qu'il a au bout du temps At et qui est sa plus grande vitesse. On a donc
d'où
^ Ar ^
Si At tend vers zéro, i^' se rapproche indéfiniment de u qui ne change pas ; — se rapproche donc aussi indéfiniment de (^, de sorte que Ton a
àT flx p -=. liai — = — - •
A/ di
lo9. Jusqu'ici nous n'avons pas considéré le sens du mouvement. Or le point peut se mouvoir dans le sens Mx ou dans le sens contraire. Mais dans l'un et l'autre cas la formule
dx
donnera la vitesse du mobile, pourvu que l'on convieune de regarder comme positive la vitesse du mobile lorsqu^il va dans le sens des abscisses positives, et de la regarder
comme négative dans le cas contraire*, car le rapport —
DOUZIÈME LKCOV. 113
est positif dans le premier cas, négatif dans le second, et
il en est de même de sa limite --- •
di
