THÉORÈME DE NEWTON
142. On peut démontrer syntliétiquement ce théorème de Newton qu'w/ic couche homogène iTune épaisseur quelconque comprise entre deux surfaces ellipsoïdales semblables et semblablement placées n'exerce aucune action sur un point intérieur.
Concevons iin cône infiniment étroit ayant sou sommet au point attiré O. 11 intercepte dans la couche deux portions de volumes 1^, ^'' qu'on peut décomposer en tranches ou troncs de cônes par des plans perpendiculaires à l'arête qq^ , La masse de la tranche m/i, située à la distance O m = u du point O est padu^ a étant la section mn : mais j = b>tt', en nommant o) la section faite dans le cône à une distance du point O égale à l'unité. L'attraction d« cette tranche sur le point O est
fTfiu • ^ ,
/pp --p ou /nptA^llê.
En intégrant par rapport à u depuis u = Op jusqu'à
''^O^, jo et 0) étant des constantes, on voit que l'action de V est égale à flipon {Oq — Op) ou J^fipta .pq. De nrènic l'aciion de u' est /[kptù.p^q'. Ces deux forces agissent dn ^ sens contraires et se détruisent, car pq=:zp*q\ puisque dans deux ellipsoïdes semblables les coixles parallèles à une même direction ont leurs milieux sur un même plan diamétral. Donc les actions exercées sur le point O par les divers éléments de la couche peuvent se décomposer t'H actions deux à deux égales el; contraires *, donc elles se iruisent.
143. Ce théorème est vrai pour une couche infini- 'ûent mince, et par conséquent pour une couche d'épaisseur finie, telle qu'on puisse la considérer comme composée de couches infinimept minces, comprises entre des surfaces ellipsoïdales concentriques, semblables et sem- Mablement placées, la densité ne variant que^ d'une '^ouche à une autre.
Si le point O était extérieur, les deux actions exercées
par les portions ^ et i^' seraient encore égales, mais elles s'ajouteraient.
CAS d'un point extérieur, théorème d'ivory. 144. En conservant les mêmes notations on a
-fff
cos gdu siïïQdBd'^.
Ici on doit intégrer depuis m = R jusqu'à w=R'^ R et R' désignant les distances du point attiré aux deux points où la droite déterminée par les angles 9 el^ rencontre la surface de Tellipsoïde- Oi^a donc
A= ^^(R' — R)cosôsinef/G^^|;, ou bien (128) ^
"fj
cosQsmBdBd-^.
11 faudrait intégrer cette expression entre les limites qui correspondent à R' — R = o^ c'est-à-dire pour toutes les directions qui tombent dans l'intérieur du cône circonscrit. Mais on ramène ce cas à celui du point intérieur parle théorème d'Ivory.
145. Concevons deux ellipsoïdes ayant leurs axes û, i, c et a', fc', c' dirigés suivant les trois mêmes axes rectangulaires. On appelle points correspondants deux points dont les coordonnées sont proportionnelles aux demiaxes auxquels elles sont parallèles, c'est-à-dire que (Xj y^ z) et (x^^y'^z') étant deux points correspondants, on aura
Si 1-iin de ces points est sur la surface du premier ellipsoïde, Taulre sera évidemment sur la surface du second.
ONZIÈME LEÇON. lO^i
Supposons, en oulre, que les sections principales de ces deux ellipsoïdes aient les mêmes foyers, c'est-à-dire que
a^^ a'^=ih^— b''=z
Si Von prend sur les deux ellipsoïdes deux points Fig. 59. quelconques m (a:, j, z) ,
(x (of, 6, y) et leurs correspondants m' (af^ y' y *')> |UL'(a', S\ 7'), les distances lim et ^k'm! sont égales.
En effet, on a
= («-*)»+ (6-r)'+ (V - zY- {o.'-xJ- (6'-/)'- (v'-z')'
OU bien
Mais ce dernier facteur est nul, puisque l'on a
dont
146. Appelons toujours A', B', C les composantes de l'attraction du premier ellipsoïde sur le point |u. On a, eu faisant abstraction du facteur /^fxp,
A = / M ^—^dxdydz
I04 COURS DTE MÉCAHIQVE.
On stj en r^ardant x comme seule variable,
udu = — (a — j) #/.!•,
d'où
donc si Ton désigne par R et r les valeurs de u qui cor respondent aux limites de Tintégrale, c est-à-dire ani deux points où la surface de rdlipsoïde est rencontrée par une même parallèle à Taxe des x, on aura
Considérons maintenant l'attraction que le second ellipsoïde exerce sur le point (t' correspondant de ft, et nommons A', B\ C ses composantes, on aura
''=ff{^-i)/^'''
Mais r=:= [Arrty r^ = ii'm\ donc (145) r' =^ r : de même R' = R. D'ailleurs df =jdy, dz' = ^dz. Donc
dz
ou
b'c' bc
On
aura
de même
J: ac ab
^f^' Donc r attraction d'un ellipsoïde sur un point exté-
rieur jx est ramenée à F attraction d'un ellipsoïde homofocal sur le point [x' correspondant.
Ce théorème subsiste quelle que soit la loi d'attraction
\A1. Pour faire usage de ce théorème, il faut calculei les valeurs des demi-axes a', b\ cf du second ellipsoïde,
ONZIEME LECOlf. Io5
connaissant ceux du [Premier et les coordonnées a, 6, y du point fx. On a
or
d'où
Celle équation donne une valeur positive pour a'* et une seule, car a'* = o rend le premier membre plus grand que l'unité et fl'*=Qo le rend moindre que Tunité. D'ailleurs ce premier membre décroit d'une manière continue quand a' varie depuis zéro jusqu'à l'infini : il ne peut donc passer qu'une seule fois par la valeur de i . Le demi-axe cd étant déterminé, on aura les deux autres par les écpations
Io6 COURS DE MÉCANIQUE.
DYNAMIQUE
