Soit M un point matériel qui se meut, d'un mou
Pi g, vement varié, sur une
0 MM' droite Ox, Appelons x la
** . * distance OM de ce mobile
a un point quelcontjue de la direction Ojc, et ^ le temps compté à partir d'une époque quelconque, temps au bout duquel le mols^st en M ; soit \> la vitesse inconnue qu'il possède à t&L instant. Nous allons faire voir que
dx
dt
On peut d'abord démontrer ce théorème par la considéralion des infiniment petits. En effet, supposons le mobile arrivé en M au bout du temps t. Pendant l'intervalle de lemps infiniment petit ^^qui succède au temps ^, lemo- Wle parcourt l'espace infiniment petit MM'= dx^ et sa vitesse varie infiniment peu (156), de sorte qu'on peut regarder le mouvement du mobile de M en M' comme uniforme. On a donc
dx
dx = vdt ou p = -r-*
dt
158. On peut établir rigoureusement cette formule parla méthode des limites. Supposons qu'après le temps t le mobile parcoure pendant l'intervalle de temps ùkt
Fespace MM' = Ax. On pourra toujours prendre le temps A/ assez court pour que, pendant ce temps*là, la vitesse du mobile soit continuellement croissante ou décroissante. Supposons-la croissante : m étant la vitesse du mobile au point M, désignons par m' sa vitesse quand il arrive au point M'. L'espace A j: parcouru par le mobile pendant le temps A t doit être évidemment plus grand que Tespace i^Atquïl parcourrait s'il %e mouvait uniformément pendant le temps At avec la vitesse m qu'il a au commencement de ce temps, puisque i^ est sa plus petite vitesse pendant le temps A/. Ensuite Ax doit être plus petit que Tespace i^' ùt que parcourrait le mobile s'il se trouvait avoir la vitesse constante t^^ qu'il a au bout du temps A^ et qui est sa plus grande vitesse. On a donc
d'où
àx
Si Af tend vers zéro, (^' se rapproche indéfiniment de (^ qui ne change pas \ -. — se rapproche donc aussi indéfiniment de 1^, de sorte que l'on a
Ax dx
P — im — — — .
