Proposons-nous de trouver l'attraction de l'ellipsoïde
sur un point intérieur (a, S, y).
Pour avoir la valeur de R, il faut faire
ix = ai -I- u cmg, j- = e + «cosA, s =1 -^ ucoii, dans l'équation (i), ce qui donne (3) /.tt= + 27« = /,
CD posant
On tire de l'équation (3)
DIXIÈME LCÇOH. 9I
Comme pet /soDt positives, on a deux valeurs de u, l'une
positive, qui est — — —t l'autre négative, qu'il
faut rejeler, car le rayon vecteur est une quantité posîlive, sa direction étant déterminée par les angles g, h, h, qui peuvent être aigus ou obius. On prend donc
et l'on a, en intégrant par rapport à u la première des formules (3) du n" 124 et en omettant le facteur conslant/fxp,
A——/ / Rcosgsînflrferfi|i ou
et àe même
(5) B= ( I ?-V?-^>" CT,;,,|„ajjjj,^
^ff^
129, On peut supprimer le radical \Jq* -\- pi dans ces formules. Par escmple, la partie
ros^sinSf^Si/'l',
qui entre dans la formule (4), est nulle, car si l'on considère un élément de l'intégrale double correspondant n une certaine direciiou (5, tjj) du rayon vecteur, puis l'élément correspondant à la direction opposée {n — 0, Jt + if )> cosg- ou eos9 changera de signe sans changer de valeur en passant du premier élément au second; il en sera de même de siniji et cosiji ; quaut.à sind, il ne changera pas,
99 COUBS DE HÉCÀNIQTIB
de sorle que les deux éléments, élant égaux et de signes contraires, se détruisent. La valeur de A se réduit doue k
-in-
— cosfi'sinSf/6 d^, P
oti, eu remplaçant q par sa valeur (138),
A^~ rr-^^sin9rf9rf4 + J rr^^î^^^wnerferf* /'cosjfcosA' .
'^ir-
-^oidid^.
130. En prenant deux éléments pour lesquels 9 ait deux valeurs supplémentaires tandis que iji sera le même, OU, ce qui revient au même, deux éléments qui répondent à des valeurs supplémentaires de g et aux mêmes valeurs de A et de A, on voit que les deux dernières intégrâtes sont composées de parties qui se détruisent deux à deux, et A se réduit à la première intégrale. Une simplification analogue aura lieu dans les valeurs de B et de C. On aura donc
^fP
— ^sinedflrfJ-, P
(•j) i B = Vf / f^^^ûaidid^,
InidÛd^,
iff^'
ou, en remplaçant pj cos^, cosA, cosk par leurs valeurs {tït),
fe'c'cos'9 sin 6 d% d^
a'c'cos'4sin'e-ha'6'sin'i['sin'0 r'c'sin'flros'i!'(/flrfî<
'c'cos'9+a'c'cos''I>sia'fl4-(i'A'sin=^sio'9
COHSâQVENCBS DES FORMULES PRÉCÉDEHTES.
I3i . Avant d'eflectuer les intégrations, on peut déduire de ces formules plusieurs conséquences.
i" Tous les points situés dans un même plan perpendiculaire à un ase sont également attirés dans le sens de cet axe, et les composantes de l'attraction sont proportionnelles aux distances du point attiré aux trois plans principaux de l'ellipsoïde. Par conséquent, cette attraction reste parallèle à une même direction pour tous les points situés sur une ligne droite passant par le centre, et elle est proportionnelle à ladistance du point attiré au centre.
a" On a
sin idBd-^^ ^it
dk dB ^ ,
cas particulier de la formule (7), n" 127, rf'V d'V rf'V
3" Les valeurs des composantes A, B, C ne renferment que les rapports des aiies de rdlipsoïde-, elles restent donc les mêmes quand ces trois axes varient proportionnellement, c'est-à-dire deviennent na, nh^ ne. Donc une couche homogène comprise entre deux surfaces ellipsoïdales concentriques, semblables et semblablemenl placées (homoihéiiques), n'a aucune action sur un point placé dans l'espace vide iniéiieur, et par conséquent l'action d'un ellipsoïde sur un point de sa propre masse se réduit à celle de la partie de ce corps qui est terminée par une surface concentrique et semblable à la sienne et passant par le point donné.
g4 COURS DE HÉCAniQUE.
3CITE DE L'inTÉGRATION DES FOKMDLES DIKS LE CAS DE l'ellipsoïde.
132. Comme la fonction sons les signes / / da^is les' formules (8),
I* r 6'c'cos'fl sin e rfe rf^. ____^
'~''J J *'c'cos'9 + fl'c'cos'^sin'e -*- a'è'sin'^sin'fl' J J tVcos'9-l-fl'c"cos'^sin'e-l-«U'siD'4.siD'B'
J J ï'C cos'S ■+- a= C cos' + ain' e 4- «' i' sin' ^ sîu'ë '
a la même valeur pour deux valeurs de S supplémentaires et pour des valeurs de i^ telles que y, îc — <f, n + tf,
37t — f, il suffira d'intégrer par rapport à d de zéro à-
puis de doubler le résultat^ et par rapport à iJj, de zéro
à -en quadruplant le résultat. Occupons-nous d'abord
de la valeur de A. En mettant les limites en évidence, on aura
SsinSi/S
di,
b'c'coi
9 4-.ï"c'cos'>l<sin
sin
-|.sin'e
Posant
tangi^-^
di
cos'| =
DIXtï:HE LECOIT.
c>[t'cos'0 -t-a»sin'fl}-t^'6'(c'cos'9 + <i'sin=e)*'
be <^{ b'coi'O ■+■ a'sin'a) (e'cos'9 + a'sin'e) i cause de la formule
donc
rti'c
Sans nouveau calcul on déduira B ei C de A par de simples permulat'ious. On aura donc
, , - bccoi'SsinidS
A=:4jr.-
^/(i'cos»e + a' sin'e)(c'ci.s'e+ a'sin'e).
(n\ J , . r* ncTOS'OsinflrfS
19) B = 4»ie / —
1 Jo v('''C"ï'8 + *'sin'e) (c'cos'fl + i'sin'â)
rtAcos'esinSi^e
<i/{a'cos'9 + c'sin'fl) (i'cos'fl + c'sin'e)
Ces composantes, étant positives, tendent à rapprocher le point du centre de l'ellipsoïde. Elles ne renferment que les rapports des axes, de sorte qu'en remplaçant a, b, c par rta, nb, ne elles restent les mêmes. Ainsi l'ellipsoïde étant augmenté d'une parue comprise entre
gC COURS DE MËCàSIQUE.
sa surface et une surface semblable, l'action de la couche ajoutée sur le point intérieur est nulle (131, 3"),
