FIN DU PREMIER VOLUME
ÉNONCES DE PROBLÈMES ^'l
STATIQUE (P Partie).
1. Position- d'équilibre d'un point attiré vers des centres fixes par des forces proportionnelles à la distance. SG.
2. Position d'équilibre d'un point attiré vers les trois sommets d'un triangle par des forces constantes qui sont entre elles dans les mêmes rapports que les côtés du triangle opposés aux sommets dont elles émanent respectivement. SG.
3. Un fil inextensible et sans poids est fixé à ses extrémités A, B et porte "un petit anneau pesant C; un autre fil a aussi une extrémité fixée en A, passe dans l'anneau C et porte un poids à sa seconde extrémité, qui est libre : figure d'équilibre du système. PJ.
4. Position d'équilibre d'un point attiré vers des points fixes d'un plan par des forces inversement proportionnelles aux distances. En déduire la position d'équilibre d'un point pesant attiré vers deux points fixes égaux, situés sur une horizontale, les attractions étan^ réciproques aux distances. SG.
5. Un fil sans masse est attaché à une de ses extrémités A; i\ porte un poids P, fixé sur lui à une distance connue de A, puis il passe sur une poulie très mobile située à la même hauteur que A et porte à sa seconde extrémité fibre un poids Q : figure d'équilibre du système. SG.
6. Un fil qui passe sur une poulie très mobile porte à ses extrémités deux poids dont l'un est libre, l'autre repose sur un plan incliné poli : figure d'équifibre, tension du fil, charge du plan. PJ.
C) Les problèmes qui se trouvent développés dans le Recueil d'exercices de M. de Saint-Germain sont siiivisde l'indication SG., ceux qui sont ti ailés dans le Pvecueil du P. Jullien sont désip.nés parles initiales PJ.
3lO ÉNONCÉS DE PKOBLÈMES.
7. Un poids est assujetti à rester sur une ellipse polie dont un axe est vertical et exerce sur le poids une action répulsive horizontale, proportionnelle à la distance du point à l'axe; position d'équilibre, pression sur la courbe. SG.
8. Position d'équilibre d'un petit poids assujetti à rester sur une hélice dont l'axe est vertical ; un point de cet axe exerce sur le point rhobile une répulsion réciproque au carré de la distance. SG.
9. Position d'équilibre d'un point pesant placé sur un ellipsoïde dont un axe est vertical et dont le centre attire le point avec une intensité constante. SG,
iO. Quand un point sollicité par des forces connues est placé sur une courbe ou une surface telle que le point y soit partout en équilibre, on peut appeler ces lieux courbes ou surfaces de niveau. Cela posé, on propose de déterminer : i" dans un plan vertical, une courbe de niveau pour un point pesant repoussé d'une verticale de ce plan par une force horizontale, proportionnelle à la distance du point à l'axe ; a" sur une sphère, une courbe de niveau pour un point pesant attiré vers l'extrémité d'un diamètre horizontal par une force réciproque au cube de la distance; 3° une surface de niveau pour un point pesant sollicité par une force constante qui passe par un point fixe. SG.
4i. Deux points pesants sont posés sur deux plans inclinés dont l'intersection est horizontale; ils sont réunis par un fil qui passe sur une petite poulie très mobile située au-dessus de l'intersection : position du système quand il est près de glisser dans un sens ou dans l'autre. PJ.
12. Un point pesant repose sur un plan incliné dépoli : quelle est l'intensité de la force qu'on doit appliquer au point dans une direction quelconque donnée pour le faire glisser? Discussion. SG.
13. Un point pesant est placé sur une parabole dont l'axe est vertical, la convexité tournée vers le haut, et qui exerce un frotte-
ment dont le coefficient est - ; le point est attiré vers le foyer par
une force réciproque au carré de la distance et qui serait égale au poids si le point était au sommet : quel est le point de la parabole où le glissement est près de se produire? SG.
14. Sur un paraboloïde xj^az., l'axe des z étant vertical, repose un point qui, outre son poids P, est sollicité par une force
ÉNONCÉS DE PROBLÈMES. 3ll
horizontale dont les projections sur l'axe des x et l'axe des y sont
P r Pr
— , -—5 et la surface du paraboloïde est dépolie: lieu des points
oh le mobile est près de glisser dans le sens de la pesanteur. SG.
15. Plusieurs forces parallèles sont appliquées en des points donnés : montrer que, si l'un des points d'application se déplace suivant une certaine courbe, le centre des forces parallèles décrira une courbe homolhétique. Horloge magique. PJ.
16. Trois hommes doivent porter une plaque homogène ayant la forme d'un parallélogramme ABCD, A et G étant opposés; un des hommes soutient la plaque par le sommet A : trouver sur CB et CD deux points tels que, si les deux autres porteurs les soutiennent, les trois hommes seront également chargés. PJ.
11. Aux quatre sommets d'un tétraèdre on applique des forces parallèles et proportionnelles aux aires des faces opposées : point d'application de la résultante. SG.
18. Aux sommets d'un triangle ABC on applique trois forces parallèles respectivement égales : i° à tangA, tangB, tangC; 2° à
sinA sinB sinC , , , , ,
n rr 1 — 7^ r ' 1 ry '• trouver le centre des deux sys-
cosBcosC cosCcosA cosAcosB •"
tèmes de trois forces, le centre des six forces parallèles, et du résultat obtenu déduire que le centre du cercle circonscrit à ABC, le point de concours des hauteurs et celui des médianes sont en ligne droite. Applications de la Statique à la démonstration de théorèmes de Géométrie. SG.
. 19. Un vase hémisphérique très mince repose par sa partie convexe sur un plan horizontal et porte deux poids donnés aux extrémités de deux rayons perpendiculaires : position d'équilibre. SG.
20. Décomposer une force en trois forces parallèles appliquées en des points donnés. Où doit-on placer trois poids connus sur une circonférence pour que leur résultante soit appliquée au centre du cercle? SG.
21. Une table parfaitement rigide est portée par plus de trois pieds qui reposent sur un plan horizontal indéformable : la table étant chargée d'un poids, déterminer les charges des différents pieds, en admettant que ceux-ci se raccourcissent de quantités très petites et proportionnelles à la charge qu'ils supportent. SG.
22. Le centre ds gravité d'un polyèdre circonscrit à une sphère,
3l2 ÉNONCÉS DE PROBLÈMES.
le centre de gravité de la surface polyédrale et le centre de la sphère sont en ligne droite. PJ.
23. Centre de gravité d'un arc de sinusoïde, de l'arc qui forme une demi-boucle de la lemniscate de Bernoulli. PJ.
24. Centre de gravité d'un arc de chaînette homogène, d'un arc de cardioïde (r = a -4- a cos9), d'un arc d'hélice dont l'axe est l'axe des z et la densité représentée par e-'«-. SG.
25. Déterminer une courbe plane passant par l'origine, de manière que la densité de l'arc soit représentée par une fonction f{s), s étant la longueur de l'arc à partir de l'origine, et l'ordonnée du centre de gravité de cet arc entier s soit égale à (f[s)\ cas où f{s) = as''\<f{s) = cAs^. SG.
26. Centre de gravité de l'aire comprise entre la cissoïde et son asymptote, de l'aire circonscrite par la courbe j^j^= b^[a — .r), d'un secteur parabolique compris entre la courbe et deux rayons vecteurs issus du foyer, de l'aire comprise entre une branche de sinusoïde et l'axe des x. PJ.
27. Centre de gravité de l'aire comprise entre un arc d'elHpse, le diamètre qui aboutit à une extrémité de l'arc et la corde conjuguée passant à l'autre extrémité ; en déduire le centre de gravité d'un segment parabolique. SG.
28. Centre de gravité d'une demi-boucle de la lemniscate de Bernoulli. SG.
29. Déterminer une courbe plane telle que le centre de gravité de l'aire comprise entre la courbe, les axes et une ordonnée x — h
ait pour abscisse r • SG.
30. Établir la relation qui existe entre les aires de quatre triangles ayant pour bases les côtés d'un quadrilatère, et pour sommet commun le centre de gravité de l'aire du quadrilatère. SG.
31. Centre de gravité d'une zone de paraboloïde de révolution limitée par un plan perpendiculaire à l'axe, de la surface d'un hémisphère où la densité en chaque point est proportionnelle à sa dislance à la base. PJ.
32. Considérons l'enveloppe de la surface représentée par l'équation
ÉNONCÉS DE PROBLÈMES. 3l3
a et p étant deux paramètres liés par une relation donnée : le volume compris entre cette surface, le plan xy et un cylindre parallèle à l'axe des z aura un centre de gravité dont l'ordonnée sera la moitié de celle qui correspond à l'aire interceptée par le cylindre dans la surface. PJ.
33. Centre de gravité d'un© surface sphérique quelconque, triangle sphérique, surface de Viviani. SG.
34. Centre de gravité de la portion de l'aire du paraboloïde iz — V--J- comprise entre les plans des zx et des zy et le cylindre -r- + TT = I . SG.
35. Centre de gravité du volume engendré par l'aire comprise entre une parabole, son axe et une ordonnée perpendiculaire, qu'on fait tourner autour de la tangente au sommet. PJ.
36. Centre de gravité du volume engendré par la révolution: 1° d'une boucle de strophoïde autour de son axe ; 2° d'un segment compris entre une parabole et deux rayons vecteurs, autour de l'axe de la parabole. SG.
37. Centre de gravité du volume compris entre les parties positives des plans coordonnés rectangulaires et les surfaces de deux cylindres
38. Volume et centre de gravité de l'espace compris entre le plan des xy^ celui des xz^ le cylindre x'^-\-y'^ — ax =^ o et la sphère ^2^j2 j 22 = «2; ia courbe d'intersection est la courbe de Viviani. SG.
39. Il existe un grand nombre de solides terminés par deux faces planes parallèles et tels que l'aire d'une section parallèle à ces plans s'exprime par une fonction du second degré de sa distance à l'une des faces ; soient h la hauteur, B, B', p les aires des faces et de la section moyenne : le volume est
et le rapport des distances du centre de gravité à la face B et à la face B' estcelui deB'+ ap àB-f-2p. SG.
3l4 ÉKOKCÉS DE PROBLÈMES.
40. Centre de gravité du volume compris entre le plan des zx^ la sphère x- -^ j'^ ^ z"^ = a^ et le paraboloïde x'^'^j^=cfi — laz.
PJ.
41. Centre de gravité du volume compris entre les parties posi-' tives des plans coordonnés rectangulaires et le paraboloïde
abz = c[x —a)[x—b). (PJ.)
42. Attraction d'une droite homogène sur un point, l'attraction étant en raison inverse du carré de la distance. SG.
43. Attraction d'un ellipsoïde sur un point intérieur ou extérieur, l'attraction s' exerçant en raison inverse de la quatrième puissance de la distance. SG.
44. Toutes les molécules d'un hémisphère homogène sont douées d'un pouvoir attractif suivant la loi newtonienne : en quel point de l'axe de symétrie doit-on placer un point soumis à l'attraction pour qu'il reste en équilibre? PJ.
45. Déterminer la forme d'un solide de volume donné, de manière qu'il exerce sur un point donné une attraction maximum, l'attraction étant suivant la loi newtonienne. PJ.
46. La loi d'attraction de Newton est la seule avec laquelle une couche sphérique homogène soit sans action sur un point intérieur.
SG
47. Trouver toutes les lois d'attraction qui ne dépendent que de la distance et avec lesquelles une sphère attire un point extérieur, comme si la masse était concentrée au centre. PJ.
48. Action d'un anneau sur un autre situé dans le plan du premier et passant par son centre ; l'attraction est réciproque au cube de la distance. SG.
49. Calculer le potentiel d'une masse sphérique indéfinie où la densité est e-'' à la distance /• du centre. SG.
50. Un point est en équilibre au centre d'un octaèdre régulier dont les six sommets ont des masses égales, et attirent proportionnellement à la puissance n de la distance; calculer l'attraction subie par le mobile quand on l' écarte très peu de sa position d'équihbre, et dire pour quelles valeurs de n l'équilibre est stable ou non.
SG
5i, Un ellipsoïde de révolution homogène, légèrement aplati,
ÉKONCÉS DE PROBLÈMES. 3l5
exerce sur un point de sa surface une attraction représentée par uu terme constant et un terme proportionnel au carré du sinus de la latitude : application à la Terre. P.J.
32. Considérons un ellipsoïde dont les axes sont assez peu différents pour qu'on néglige les quatrièmes puissances de l'excentricité des sections principales, et une sphère concentrique et de même volume: les deux solides, supposés homogènes et de même densité, exercent la même attraction sur les points d'intersection de leurs surfaces. PJ.
DYNAMIQUE (r« Partie).
(A partir de la XII^ Leçon de Sturni.)
53. Un mobile est attiré vers un centre fixe par une force proportionnelle à la puissance /z"'-™'' de la distance : trouver la valeur de /?, telle que le mobile partant d'une distance infinie arrive à la distance c du centre d'attraction avec la même vitesse qu'il aurait à la
distance - s'il était parti sans vitesse de la distance c PJ.
54. Un point matériel attiré vers les quatre sommets d'un carré par des forces qui ne dépendent que de la distance est éloigné à une petite distance du centre sur une diagonale : durée des petites oscillations qu'il exécute. PJ.
55. Mouvement d'un point tiré du repos par une force émanant d'un centre fixe et réciproque au cube de la distance : la loi du mouvement peut-elle toujours être représentée par la même intégrale? SG.
56. Mouvement d'un point qui reste sur la droite joignant deux centres d'attraction et qui est attiré vers chacun d'eux suivant la loi newtonienne; application à un corps qui se mouvrait entre la Terre et la Lune. SG.
57. Mouvement d'un point attiré proportionnellement à la distance par un centre d'action qui se déplace d'un mouvement rectiligne et uniformément accéléré ; le point étudié est d'abord en repos. PJ.
58. Deux points ont un mouvement uniformément varié suivant deux droites quelconques; minimum de leur distance. PJ.
3l6 ÉNONCÉS DE PROBLÈMES.
59. Une bille parfaitement élastique tombe d'une hauteur connue sur un plan horizontal : calculer la hauteur à laquelle elle rebondit après avoir touché n fois le plan, en admettant que l'air offre une résistance au mouvement proportionnelle au carré de la vitesse. PJ.,
60. Mouvement rectiligne d'un point matériel attiré vers un centre fixe en raison inverse du cube de la distance ; le centre est entouré d'une atmosphère dont la densité varie en raison inverse du cube de la distance au centre, et qui présente une résistance proportionnelle à sa densité et au carré de la vitesse. PJ.
61. Mouvement rectiligne d'un point attiré proportionnellement à la distance vers un centre d'action qui se meut uniformément dans un milieu homogène dont la résistance est proportionnelle au carré dé la vitesse. PJ.
62. Mouvement vertical d'un point pesant, en supposant la résistance de l'air proportionnelle au cube de la vitesse. SG.
63. Un mobile se meut dans un milieu homogène résistant en proportion du carré de la vitesse : déterminer suivant quelle loi il doit être attiré vers un point fixe pour qu'il l'atteigne dans un temps constant, quelle que soit la distance d'où il part sans vitesse. SG.
64. Étant donnés deux axes rectangulaires, un mobile M situé d'abord sur OX se meut de telle sorte que son ordonnée ainsi que l'angle MOX croissent proportionnellement au temps : déterminer la trajectoire, la tangente et le rayon de courbure en chaque point.
SG
65. Un point parcourt avec une vitesse constante i° une lemniscate de Bernoulli, i" une loxodrome sphérique: déterminer l'accélération et le rayon de courbure en chaque point de la trajectoire. SG.
66. Démontrer qu'un point attiré vers les deux foyers d'une hyperbole suivant la loi de Newton peut décrire cette courbe si on lui suppose au sommet une vitesse convenable : déterminer la loi du mouvement correspondant. SG.
67. Quand un point décrit une trajectoire plane sous l'action d'une force toujours dirigée vers le centre de courbure de la développée, l'aire comprise entre la trajectoire, un rayon de courbure fixe, un autre variable et l'arc correspondant de développée croît proportionnellement au temps. SG.
68. Si la parabole décrite par un point pesant dans le vide coupe
ÉNONCÉS DE PROBLÈMES. Sl^
une droite en deux points A et B, les vitesses du mobile en ces deux points, estimées suivant une perpendiculaire à AB, sont égales et de sens contraires. PJ.
69. Un point décrit une parabole sous l'action de deux forces; l'une, perpendiculaire à l'axe,- est proportionnelle à la distance du mobile à cet axe; l'autre est parallèle à l'axe, mais on demande de trouver sa valeur, ainsi que la loi du mouvement. PJ.
70. Une bille parfaitement élastique est lancée avec une vitesse connue d'un certain point d'un plan incliné sur lequel elle rebondit en faisant des angles d'incidence et de réflexion égaux : trouver la distance du «'^""^ point de rencontre au point de départ. PJ.
71. Un point décrit une ellipse sous l'action d'une force parallèle au petit axe : grandeur de la force et loi du mouvement. PJ.
72. Mouvement d'un point attiré vers une droite fixe par une force inversement proportionnelle au carré de la distance ; la vitesse initiale est parallèle à la droite. SG.
73., Mouvement de deux points qui s'attirent proportionnellement à la distance, et dont l'un est libre, l'autre obligé de rester sur une droite fixe. Cas oii la masse du point libre est triple de celle du second, les vitesses initiales étant nulles, et la droite fixe exerçant un frottement. SG.
7-i. Mouvement d'un point M attiré en raison directe de la distance vers un centre d'action qui parcourt un cercle avec une vitesse angulaire w ; M ne sort pas du plan du cercle. Cas où l'attraction est égale à la distance multipliée par w^ et où M est d'abord immobile au centre du cercle. SG.
7o. Un corps pesant est soumis à l'action d'une force variable, mais toujours tangentielle : déterminer la grandeur de cette force de manière que la vitesse soit constante ; courbe décrite par le mobile.
SG
76. Mouvement d'un point pesant sur un plan incliné dépoli; discussion. SG.
77. Un mobile décrit une ellipse sous l'action d'une force toujours dirigée vers un point fixe du plan : calculer la loi de cette force; cas particuliers. SG.
78. Un point décrit la podaire, lieu des projections du centre d'une conique sur ses tangentes, sous l'action d'une force dirigée vers le centre : exprimer la valeur de celte force en fonction du rayon vecteur ; rayon de courbure de la podaire. SG.
3l8 ÉKOKCÉS DE PROBLÊMES.
79. Un point se meut de manière que sa vitesse soit proportionnelle à îa puissance «''-'™'' de son raj'on vecteur et que la vitesse aréolaire de ce rayon soit constante : étudier le mouvement, SG.
80. Un point décrit une parabole sous l'action d'une force qui passe constamment au point de rencontre de la directrice et de l'axe: valeur de cette force, loi du mouvement. PJ,
81. Un point décrit une parabole sous l'action d'une force dirigée vers le foyer; à un moment donné, la force attractive se trouve doublée : déterminer la nouvelle trajectoire. PJ.
82. Un point matériel posé sur un plan horizontal poli est attaché à un point fixe' de ce plan par un fil très mince qui peut s'allonger légèrement et exerce alors une traction proportionnelle à l'allongement. Le fil étant d'abord rectiligne, mais sans tension, on imprime au point mobile une vitesse perpendiculaire au fil: étudier le mouvement résultant. PJ.
83. Un point est attiré vers un centre fixe par une force proportionnelle à la distance : étudier le lieu formé par sa trajectoire quand, la vitesse initiale ayant une grandeur connue, on lui donne toutes les directions comprises dans un certain plan. SG.
84. Mouvement d'un point sollicité par deux forces émanant d'un centre fixe; l'une, attractive, est proportionnelle à la distance, l'autre, répulsive, en raison inverse du cube de cette distance. Cas où à l'instant initial ces deux forces se détruisent et où la vitesse est perpendiculaire au rayon vecteur. SG.
85. Un mobile est attiré vers un centre fixe avec une intensité fonction de la distance : trouver quelle doit être la forme la plus générale de cette fonction pour que la trajectoire soit toujours une courbe fermée, quelle que soit la direction de la vitesse initiale, dont la grandeur doit seulement rester entre certaines limites. SG.
86. Déterminer la constante de l'attraction universelle d'après le mouvement planétaire; mouvement parabohque des comètes : l'intervalle de temps mis par une comète pour passer d'une position à une autre peut s'exprimer en fonction de la distance de ces deux positions et des rayons vecteurs correspondants (théorème de Lambert). SG.
87. Dans le mouvement elliptique ou hyperbolique déterminé par l'attraction du foyer, l'intervalle de temps mis par le mobile pour passer d'une position à une autre peut s'exprimer au moyen de la distance des deux positions, des deux rayons vecteurs et de l'axe focal de l'orbite. PJ.
ÉINOKCÉS DE PROBLEMES. 3l9
88. Dans le mouvement elliptique, calculer la plus grande équation du centre, et, réciproquement, développer l'excentricité en série suivant les puissances de cette équation. PJ.
89. Mouvement d'un point attiré vers un centre fixe par deux forces réciproques, l'une au carré, l'autre au cube de la distance; quand cette seconde force est petite, la trajectoire peut s'obtenir en faisant décrire au mobile une ellipse qui tournerait autour de son foyer. PJ.
90. Un point pesant se meut dans un milieu dont la résistance est proportionnelle à la densité et au carré de la vitesse; la trajectoire est une circonférence : trouver la loi du mouvement et celle de la variation de la densité du milieu. PJ.
91. Mouvement d'un point M attiré vers un centre 0 avec une force —^} où /'=0M; la distance initiale est «, la vitesse mi-
tiale — fait l'angle aigu a avec la droite MO; enfin le point 0 est
entouré d'un milieu non homogène exerçant une résistance égale à
3«cosa r-n
■ •-'2. bu.
92. Un point attiré vers un centre fixe en raison directe de la ^ième puissance de la distance se meut dans un milieu dont la résistance est proportionnelle à la densité et au carré de la vitesse: sachant que la trajectoire est une circonférence qui passe au point attirant, trouver la loi de la densité et celle du mouvement, PJ.
93. On peut considérer des accélérations d'ordre supérieur telles que l'accélération du (« — i )'^"'* ordre ait pour projections sur les axes
({"-a: d'^y d'^z^ dt"' ' lît^'' 'dF^''
on propose de calculer les projections de ces suraccélérations sur la tangente à la trajectoire, la normale principale, l'axe du plan osculateur. SG.
94. Mouvement d'un point de masse i assujetti à rester sur l'intersection des deux surfaces z"^— lax^ ç^y'^=\Ç>xz, et soUicité par une force dont les composantes rectangulaires sont
le point est d'abord à l'origine et lancé vers le haut et en avant du plan des xz avec la vitesse ah. SG.
93. Un point obligé de rester sur une spirale logarithmique est attiré vers le pôle par une force réciproque au carré de la distance : loi du mouvement, oq étant nul. PJ.
96. Deux points pesants réunis par une tige rigide et sans masse sont obligés de rester sur deux droites situées dans le même plan vertical : petites oscillations du système quand on l'écarté légèrement de sa position d'équilibre. PJ.
97. On donne une série de courbes homothétiques, par exemple une série de cycloïdes ayant un point de rebroussement commun, oia elles admettent une même tangente qui est verticale; sur chacune de ces courbes on laisse tomber sans vitesse initiale un point pesant à partir du point commun : lieu des positions des divers mobiles à une même époque (courbe synchrone). PJ.
98. On donne une ellipse dont le grand axe est vertical et un point pesant placé dans son intérieur à une extrémité du petit axe : déterminer avec quelle vitesse on doit le lancer pour qu'après s'être détaché de l'ellipse il décrive un arc parabolique passant au centre de l'ellipse. PJ.
99. Un point assujetti à parcourir une ellipse est attiré vers le centre par une force proportionnelle à la distance et vers les deui foyers par des forces réciproques au carré de la distance : montrer que la pression exercée sur la courbe est réciproque au rayon de courbure ; examiner la valeur initiale de la vitesse qui rendrait la pression toujours nulle et interpréter les trois parties dont se compose le carré de cette vitesse. SG.
100. Un point non pesant, assujetti à rester sur une circonférence, est attiré vers un point de cette courbe par une force fonction de la distance : déterminer cette fonction de manière que la pression exercée sur le cercle soit constante ; nature du mouvement produit.
SG
101. On donne dans un plan vertical une cycloïde à base horizontale, tournant sa convexité vers le bas et engendrée par un cercle de rayon «; un fil sans masse, de longueur 6«, est fixé par un bout au point de rebroussement de la cycloïde et porte à son autre extrémité une petite masse à laquelle on donne une vitesse horizontale \/Sga] mouvement du système, tension du fil. SG.
102. Deux masses pesantes se meuvent sur un cercle vertical de manière que leurs vitesses au point le plus bas soient égales : montrer que la corde qui joint les positions simultanées des deux pen-
dules enveloppe un cercle; interprétation de l'intégrale de l'équation d'Euler donnée par Jacobi. Remarquer que, s'il existe un polygone inscrit à un cercle et circonscrit à un autre, il en existe une infinité. SG.
403. Courbe sur laquelle il faut laisser glisser un point pesant pour qu'il descende de hauteurs égales dans des temps égaux; on donne la. vitesse initiale, qu'on suppose dirigée verticalement. PJ.
40i. Un point pesant reçoit une vitesse horizontale connue et dirigée vers un point 0 : quelle est la courbe sur laquelle on doit l'obliger à rester pour que sa distance au point 0 décroisse uniformément? PJ.
105. Sur quelle courbe doit-on faire mouvoir un point attiré vers un centre fixe proportionnellement à la distance pour que le rayon vecteur issu du centre attractif tourne uniformément ? PJ.
106. Déterminer dans un plan vertical une courbe telle qu'un point pesant, obligé de la parcourir et lancé avec une vitesse a, exerce une' pression proportionnelle à la /z'™* puissance de sa dis-
tance à l'horizontale située à la distance — au-dessus du point do
départ. PJ.
107. Déterminer dans un plan vertical une courbe telle qu'un point pesant assujetti à la suivre exerce une pression proportionnelle à la composante normale du poids; cas d'intégrabilité. SG.
108. Déterminer dans un plan vertical une courbe qui éprouve une pression constante de la part d'un point pesant obligé de la suivre et animé d'abord d'une vitesse horizontale connue ; étudier complètement la forme de la courbe. SG.
109. Trouver une courbe plane telle qu'un point obligé de la suivre, partant sans vitesse d'un point 0, mais attiré vers un centre connu proportionnellement à la distance, arrive en un point quelconque M de la courbe dans le môme temps que s'il s'était mû sur la droite OM. SG.
110. Déterminer sur une surface quelconque la courbe tautochrone pour un point sollicité par des forces connues : la composante tangentielle de la force motrice doit être égale à la force qui produirait un mouvement rectiligne tautochrone. SG.
m. Déterminer dans un plan une courbe tautochrone pour un mobile attiré vers un point du plan en raison directe de la distance ou en raison inverse de son carré. SG.
StuKM. — M te, I. 21
112. Déterminer dans un plan vertical une courbe tautochrone pour un point pesant qui éprouve de la part du milieu ambiant une résistance proportionnelle au carré de la vitesse. SG.
113. Étant donnés deux axes rectangulaires, déterminer dans leur plan les courbes tautochrones pour un point attiré vers OX par une force égale à ky^; l'extrémité des arcs parcourus est l'origîne. PJ.
114. Quand on considère un mobile qui doit rester dans un plan • et qui est sollicité par une force dont les composantes sont les dérivées partielles d'une même fonction, on peut, sans l'emploi du calcul des variations, démontrer que dans la brachistochrone la pression exercée sur la courbe est double de la composante normale de la force motrice. SG.
lis. Déterminer la brachistochrone: i° pour un point pesant; 2° pour un point mobile dans un plan et attiré vers un de ses point? en raison inverse du carré de la distance. SG.
116. Calculer l'amplitude et la durée des petites oscillations d'un pendule circulaire en supposant la résistance de l'air en raison du carré de la vitesse. PJ.
117. Calculer l'expression la plus générale de la force tangentielle dans le mouvement tautochrone. PJ.
118. Déterminer dans un plan vertical une courbe telle qu'un point pesant obligé de la suivre et éprouvant une résistance proportionnelle au carré de sa vitesse, après avoir été lancé d'un point de la courbe avec une vitesse convenable, arrive en un point quelconque avec une vitesse égale à celle qu'il acquerrait en tombant, dans le même milieu, d'une hauteur égale à l'arc qui le sépare d'un second point fixé sur la courbe. PJ.
119. On donne une cycloïde dépolie dont l'axe est vertical et la convexité tournée vers le haut : déterminer le mouvement d'un point pesant posé sur cette courbe et ayant au sommet une vitesse donnée ; point oii le mobile s'arrête ou s'échappe. SG.
120. Mouvement d'un point pesant sur une hélice dépolie tracée sur un cylindre de révolution à axe vertical; discuter les divers cas d'après la vitesse initiale. SG.
121. Mouvement d'un point pesant obligé de rester sur un cylindre droit à axe vertical et attiré vers un point fixe par une force proportionnelle à la distance. SG.
422. Mouvement d'un point non pesant assujetti à rester sur la surface d'un cône droit et attiré vers l'axe par une force qui lui est perpendiculaire et varie en raison directe de la distance du mobile à l'axe. Cas où le demi-angle du cône est de 3o degrés. SG.
123. Mouvement d'un point pesant sur un paraboloïde de révolution dont l'axe est vertical et la convexité tournée vers le bas; la différence d'azimut d'un maximum et du minimum qui le suit est
>-5 théorème analogue de M. Puiseux sur le pendule; loi des
petites oscillations. Tautochrone sur la surface. SG.
124. D'un point pris à volonté sur un méridien d'une surface de révolution à axe vertical, on lance un point pesant suivant la tangente au parallèle avec une vitesse qui est fonction connue des coordonnées du point de départ. Déterminer la surface de manière que le mobile assujetti à rester dans son intérieur décrive toujours un parallèle. PJ.
125. Trouver une surface passant par une courbe donnée, une hélice par exemple, et telle qu'un point pesant parcoure cette courbe quand on le pose sur la surface, en un point de la courbe, et qu'on lui imprime une vitesse convenable. PJ.
126. Déterminer toutes les surfaces telles qu'un point pesant abandonné sans vitesse en ug quelconque de leurs points et obligé de rester sur la surface ghsse toujours le long d'une ligne de plus grande pente. SG.
127. Trouver l'équation et la forme des lignes géodésiques i° sur une surface de révolution, 2° sur un ellipsoïde : une ligne géodésique est la trajectoire d'un point qui n'est soumis à aucune force extérieure. SG.
128. Le mouvement relatif d'un point est identique au mouvement absolu qu'il prendrait si aux forces qui agissent réellement sur lui "on ajoutait deux forces fictives : la première égale et de sens contraire à celle qui produirait le mouvement d'un point égal au point donné, coïncidant avec lui à l'époque considérée, mais ne bougeant plus par rapport au système de comparaison ; la seconde est égale au double produit de la vitesse relative par la vitesse de rotation du mouvement d'entraînement et par le sinus de l'angle de la vitesse relative et de l'axe de la rotation; elle est perpendiculaire à ces deux droites et à gauche de la première par rapport à la seconde. SG.
129. Un point pesant est assujetti à se mouvoir sur une courbe qui tourne autour d'une verticale avec une vitesse constante : déterminer la courbe de manière que le point se meuve suivant une loi donnée. PJ.
130. Un point décrit une orbite connue sous l'action d'une force émanant d'un centre fixe 0 : quelle force faudrait-il adjoindre à la force donnée pour que, sans changer aux diverses époques la distance du mobile au point 0, la vitesse angulaire de son rayon vecteur augmente seule dans une proportion constante et connue?
PJ.
131. Mouvement d'un point pesant assujetti à rester sur une droite qui tourne uniformément autour d'un axe vertical non situé dans le même plan. PJ.
132. Même question en supposant l'axe de rotation horizontal.
SG
133. Une horizontale CA est liée invariablement à un axe vertical AB ; à l'extrémité C s'articule une tige qui peut prendre toutes les directions dans le plan ABC, mais qui coupe AC et qui se termine par une boule très lourde : forme d'équilibre quand le plan ABC tourne uniformément autour de AB ; condition pour que ce régulateur soit le plus sensible possible. SG.
134. Mouvement d'un point pesant sur un plan incliné poli qui tourne uniformément autour d'un axewertical. SG.
135. Un point attiré vers un centre 0 par une force fonction de la distance se meut de manière à se trouver toujours sur une spirale logarithmique qui aurait son pôle en 0 et tournerait alentour avec une vitesse angulaire constante dans un plan horizontal : trouver la loi de la force et la nature de la trajectoire. SG.
136. Influence de la rotation de la Terre sur le mouvement apparent des projectiles et sur le pendule sphérique. SG. PJ.
137. Mouvement d'un point posé sur un plan horizontal poli et attaché par une tige rigide et sans masse à un point qui parcourt uniformément un cercle du plan. PJ.
138. Oscillations d'un point pesant placé à l'intérieur d'un cylindre droit dont l'axe est dirigé suivant la tangente au parallèle du lieu d'observation : on tient compte de la rotation de la Terre.
PJ.
g^4u Paris. — Imprimerie de Cauthier-Villars, quai dei Auk'utlins, a.
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