MOUVEMENT ABSOLU ET RELATIF DE DEOX COUPS

QUI s'attirekt.

329. II résulte du principe de raltractîon ou gravitation universelle, que si M et m sont les masses respectives du soleil et d'une planète, r la distance de leurs centres de gravité, et /* le coefficient de Tattraction universelle,

\ ■ est la mesure de l'attraction qu'un de ces deux

corps exerce sur Fautre. Par suite, abstraction faite de

toute autre cause, - — et - — sont respectivement les

forces accélératrices de la planète et du soleil, et, comme elles sont en raison inverse des masses de ces deux corps, on en conclut que, s'ils n'avaient aucune vitesse initiale, ils viendraient se réunir sur la droite qui joint leurs centres au centre de gravité du système de ces deux corps, lequel point partage cette droite en deux parties réciproquement proportionnelles à leurs masses. Pour le faire voir plus clairement, appelons S et j les espaces rcctilignes parcourus par le soleil et par la planète, jusqu^àlcur point de rencontre. On aura

^.rf'S /M/if d's fMm

dt^ r' fit' r^ '

d'où résulte

Par suite

IM — -— = m — r •

,, //S ds

al z:= m -ri

tU (U

et enfin

MS = ms, U n'y a pas de constante à ajouter, car on suppose que

VIKGT-SIXIÈME LEÇON. 253

le soleil Kt la planète partent en même temps, sans vitesse iuîtiale. De Féquaiion MS = mSj on déduit

ce qui démontre la proposition énoncée.

330. Si Ton veut obtenir le mouvement relatif d'une planète autour du soleil, c'est-à-dire le mouvement apparent de cette planète pour un observateur placé à la surface du soleil, il faudra supposer appliquée au centre de gravité du soleil une force égale et contraire à celle qui le fait mouvoir dans l'espace, afin de pouvoir le coiisidélier comme fixe; mais, en même temps, afin de ne pas altérer le mouvement de la planète par rapport au soleil, il faudra aussi regarder une force égale et parallèle a cette dernière comme appliquée au centre de gravité de la planète. Par conséquent, ce dernier point sera constamment sollicité par une force dirigée vers le centre du soleil , et égale à

— r- H r ou à =— »

en appelant fx le coefficient y* (M + m) constant pour toutes les positions de la planète. Ce fait est encore une conséquence du calcul , comme nous allons l'établir. Supposons les niasses du soleil et de la planète concentrées à leurs centres de gravité, M (x, , jj , z^) et m (x^y^ z) ces deux points étant rapportés à trois aws rectangulaires quelconques, mais fixes dans Tespace. Le point M décrira dans son mouvement une certaine V * courbe AMB, et le point m

une courbe amb. Menons maintenant par le point M, à

a54 COURS DB MÉCANIQUE.

rinsiant considéré, trois axes rectangulaires parallèles à Ox, Oy et Ozj et supposons que le point M, dans son mouvement, emporte ces axes parallèlement a euxmêmes avec lui. Appeloiis ^^ m ei Ç les coordonnées variables du point M, par rapport i ces axes dont la position varie à chaque instant.

En concevant que le point M et par suite les axes qui passent par ce point soient fixes, ^ , y] et ^ se rapporteront à la trajectoire apparente du point m. Or on a d'abord

A l'aide de ces équations, si l'on connaît le mouvement absolu de M et le mouvement relatif de m, on a le mouvement absolu de m, et vice versa ^ si Ion connaît les mouvements absolus de M et de m, on aura le mouvement relatif de m autour de M.

Afin de bien concevoir ce mouvement apparent de la planète, imaginons que d'un point fixe K de l'espace on mène des droites Kmi , Km\ , . . . , égales et parallèles aux droites Mm, M'm\. . ., qui joignent les positions simultanées successives des points M et m, sur les courbes que ces deux points décrivent. Il est clair que mj, m'i,..., seront les positions apparentes de m, telles qu'on les observerait du point fixe M, si M était en K et que /ni Tn\ sera la courbe apparente que décrira le point m.

331 Revenons maintenant aux équations (i) pour en déduire la vitesse de m sur la trajectoire apparente. En les difTérentîant, on a

/rfr idt

dxt d^ dt ^ dt^

l dt

dfx . dii dt -^ dt'

/ dz

\ dt ""

dz, rfÇ dt '^ dt'

yCNGT-SIXliHB LEÇON. 255

tlx dr àz y. dx, dVi dzt , ,,

-r-> -^ et —- dune part, —r-f -v- et -7- de 1 autre,

dt dt dt f 'i ^/ fif dt '

sont les composantes parallèles aux axes des vitesses des points M et m, à l'instant considéré sur les courbes AMB

et amb, T^ 'T^^ T ^^^ aussi les composantes parallèles aux axes de la vitesse du point m sur la trajectoire apparente. Donc cette dernière vitesse pourra être déterminée par ses composantes, au moyen des équations (a), lorsque les mouvements absolus des points M et m seront connus. On peut aussi l'obtenir par la construction suivante.

Soient MA et mB des droites, représentant en grandeur et en direction les vitesses absolues des points M et m

à rinstant en question. Menons la droite m C, égale et parallèle à MA , mais dirigée en sens contraire. Je dis que la diagonale mD du parallélogramme mBDC représentera la vitesse apparente en gran* deur et en direction. En elFet, projetons les trois points m, D, B en m', d* et b' sur Taxe Ox. La projection m' d* de mD est égale a la somme algébrique des projections des deux autres côtés, en supposant qu^on parcoure le triangle mBD dans le sens mBD, et regardant comme positives les projections allant de O vers x et comme négatives celles qui vont dans le sens opposé. Or

Donc

dt dt

Hl'rf' = y- = -—

dt dt dt

Il suit de là que, sur un axe quelconque, mD a même

a56 COURS DE MÉCAMQUE.

projection que la vitesse apparente : donc mD représente cette vitesse en grandeur et en direction.

En difTérentlanl les équations (2) par rapport à f , on a

(if dl^ dt^

d*z rf»2, r/»Ç

di^ lit' dt

A l'aide de ces équations, on démontre comme précédemment que si les forces accélérai ri ces des points M et m sont représentées en grandeur et eu direction par MA •et par mB, et si Ton mène mC égale et parallèle à MA^ mais dirigée en sens contraire, la force accélératrice, répondant au mouvement apparent, et qui a pour com-

posantes -—1 -— ' "/T"» **-*'** représentée, en grandeur et

en direction, pi«r la diagonale mD du parallélogramme mBDC.

Réciproquement, si Ton connaissait le mouvemeul absolu du point M et le mouvement apparent de m, od verrait aisément que la droite mF étant égale et parallèle à MA, la diagonale m B du parallélogramme mFBD représenterait en grandeur et en direction la vitesse ou la force accélératrice du mouvement absolu du point m.

332. Le centre de gravité du soleil et celui d^une planète sont sollicités par des forces motrices applic|uées eu sens contraires, suivant la droite qui unit ces deux

points, et égales chacune à — - — > en appelant, comme précédemment, M et m les masses du soleil et de la planète. Donc — - et — ;- seront leurs forces accélératrices, et il

VINGT-SIXIÈME LEÇOZI. aSj

résulte de la construction géométrique (331) que

sera, k chaque instant, la force accélératrice qui produirait le mouvement apparent de la planète autour du soleil supposé fixe. On voit que cette force

en posant

varie en raison inverse du carré de la distance. Par conséquent, la trajectoire apparente de la planète est une section conique et par suite une ellipse, puisqu'elle ne s'éloigne jamais indéfiniment du soleil.