L'équation
représente une infinité de surfaces différentes, passant par les divers points de la trajectoire ÂMB. Si LMU est l'une de ces surfaces, la force motrice P au point M lui est normale.
273. Cas ou il t a une nésiSTANCE. — Quand un mobile éprouve un frottement ou se meut dans un milieu résistant, l'expression Xdx + Y^r + Z^z n'est plus une différentielle exacte.
274. Dans ce cas, si le point se meut sur une courbe connue, il faudra prendre l'équation
ou m
de
T désignant la composante de la force motrice (y compris les résistances) suivant la tangente. Au moyen des équations de la courbe on pourra exprimer T en fonction de 5, et alors la détermination du mouvement sera ramenée à l'intégration d'une équation différentielle du second ordre, tandis que si Xdlr 4- Y^4- Zrfz était une différentielle exacte, on n'aurait à intégrer qu'une équation différentielle du premier ordre.
275, 276. Cas ou le hobilb b^t soLLicrrs par des forces diri-
Fig. gi. <^^^^ ^^^3 ^^^ CENTRES FIXES. —
L'expression Xrfr 4- Yrf^^-f-Zffo est toujours une différentielle exacte, quand un point matériel est sollicité par des forces dirigées vers des centres fixes et dont les intensités sont des fonctions des distances du mobile à ces différents centres. Supposons qu'une lorce dirigée vers le centre fixe K (e,/, g) repousse un point
DES MATIÈRES. ^QJ
M (x, 7, s), avec une énergie R, fonction seulement de la distance
MK = r. La partie de X^-f- Ydx'\-Zdz provenant de cette force
sera Rr/r.
Si le mobile est sollicité par un certain nombre de forces R , R',
R', . . . , dirigées à chaque instant vers des centres finies K, K', K', . . . ,
on aura
rf/7iP'=a(=±=Rr//-±RVr±...),
et chaque terme du second membre étant une différentielle exacte, ii en sera de même de leur somme.
La même conséquence aura lieu si l'un des centres s*éIoigne à rinfini, c'est-à-dire si la force correspondante est perpendiculaire à un plan donné et. fonction de la distance du point à ce plan.
HOUVEnSNT D UN POINT PESANT SUR UNE COURBE.
PENDULE SIMPLE
277. Mouvement d'un point pesant sur une courbe. — Lorsqu'an point pesant se meut sur une courbe donnée AMA', si le mo-
Fig. g3. bile part du point À sans vitesse, la
^ j) j. vitesse acquise par ^ie mobile au
\ point M sera la même que s'il était
Y tombé librement de la hauteur HP.
7 ^ Si B est le point le plus bas de la
A' courbe, le mobile aura la plus grande
"^"y-^j* vitesse en ce point. Parvenu là, il
\» continuera sa route en vertu de la
Tilesse acquise, et s'élevant sur la partie BC avec une vitesse décroissante, il s'arrêtera au point A', pour lequel z = ^. Mais aussitôt, sollicité par la pesanteur, il descendra de nouveau sur la courbe pour revenir au point A, et il parcourra continuellement le même arc ABA', tantôt dans un sens, tantôt dans un autre.
278. Le temps employé par le mobile pour parcourir l'arc AM est le même , soit qu'il descende , soit qu'il monte. Les oscillations du mobile sont isochrones.
5!79. Cas ou le mobile a une vitesse initiale. — Si au point A, pour lequel z = A, le mobile a une vitesse A, le mobile s'élève sur Tare BCO plus haut que le point A'.
Prenons pour origine des coordonnées le point 0 le plus élevé de la courbe. «Nous aurons trois cas à examiner.
Premier cas: k < v/a/j/*. — Le mobile s'élèvera jusqu'à un point C plus haut que Â' et qui sera déterminé par l'équation
En ce point C la vitesse sera nulle; le mobile s'arrêtera pour revenir sur l'arc CBC jusqu'au point C situé à la même hauteur que C, et il fera une infinité d'oscillations isochrones.
Deuxième cas : ^ > v/a^/<. — Le mobile reviendra au point O
avec la vitesse \/k^ — a/^/r, dépassera ce point et parcourra la courbe une infinité de fois, toujours dans le même sens.
Troisième cas : k = \/%gU, — Le mobile ne s'arrêtera qu'au point 0, mais il lui faudra un temps infini pour arriver à ce point.
280. Pexdule. — Équation du HonvEMEirr. — On appelle /?é?/iduie un corps solide pesant qui peut osciller autour d'un axe horizontal. Un point matériel suspendu à l'extrémité d'une tige ou d'un fil inextensible et sans masse et dont l'autre extrémité est fixe , forme un pendule simple.
Plaçons l'origine des coordonnées an point de suspension 0 : prenons Taxe g des z vertical et dirigé dans le sens
de la pesanteur. Soit kOz—ct. L'équation du mouvement sera
rf/ = -
v/Â' -f %ga (cos 0 — cos a)
281. Cas ou l'équation peut s'intégrer. — On peut intégrer l'équation précédente dans le cas où la vitesse du mobiIe.au point A est celle qu'il acquiert en descendant sans vitesse initiale do point C le plus haut du cercle.
L'équation se réduit à
arlB dt = - -
^•^^u [ 1 -h cos 6 )
On a
formule qui donne le temps que le mobile emploie à parcourir Tare AM, dans Thypo thèse où il serait parti du point C, sans vitesse initiale.
Il faut un temps infini au mobile pour remonter jusqu'au point C.
282. Cas des petites oscillations. — En supposant nulle la vitesse du mobile au point Â, la formule (280) se réduit à
V ^ V^2 cos 9 — 2 C03 a
En négligeant la quatrième puissance de 6 et de a, on trouve
Hi 9
r = 4 /- arc cos-j
e = acos(/y^).
