Soient P, P', P", . . . , les forces données; d*un
point quelconque O, pris dans leur plan, abaissons sur leurs directions les perpendiculaires OA, OB, OC, . . . , et regardons A, B, C, . . . comme les points d^applicaiiou des forces correspondantes. Transportons toutes ces forces parallèlement à ellesmêmes au point O. Elles auront une certaine résultante Ry et les couples provenant de cette translation se composeront en un seul dont le moment G sera donné par la formule
p^ p', . . . désignant les bras de levier OA, OB, ... ; on convient en outre de prendre positivement les moments des couples qui tendent h faire tourner leur plan dans un certain sens et négativement ceux des couples qui agissent dans le sens contraire.
361. Dans le cas de réquilibre, G doit être nul. On aura donc
Ensuite la résultante R devant être nulle, si X, Y,
l4 COUnS DE MÉCIMIQUE.
X', Y',... dësîgnent les composantes des forces suivant deux axes pris dans le plan, on aura
(2) X-i-X'-hX^'-H . —o,
On appelle moment d* une force par rapport à un point le produit de cette force par sa distance au point en question.
On convient de regarder le moment d^une force comme positif ou négatif, suivant que cette force tend à faire tourner la perpendiculaire abaissée du point Gxe sur sa direction dans le sens direci ou dans le sens rétrograde» En adoptant cette définition, on voit que :
1® Lasomme des moments des forces par rapport à un point quelconque de leur plan doit être nulle; 2^ les sommes des composantes suivant deux axes quelconques doivent être nulles séparément.
362. On peut écrire l'équation (i) sous une autre forme, diaprés laquelle les moments prennent d'euxmêmes les signes qui leur conviennent.
Soit P Tune quelconque des forces données. Avant de
la transporter au point O, décomposons-la en deux forces X et Y, parallèles aux axes. La translation des forces X et Y au pointOdonnera naissanceadeux couples (X, — X), (Y, — Y), et en appelant B l'angle des axes, et x^y les coordonnées du point A, les moments de ces deux couples sont Xj<'sin0, Yxsin9. Pour un observa-* teur placé sur la perpendiculaire menée par le point O au plan xOy^ le couple (X, — X) tendrait à faire tourner son plan de gauche à droite, et le couple (Y, — Y) de droite à gauche, en supposant les forces dirigées suivant les parties positives des axes. Il faut donc désigner leurs
VINGT-HUITIÈME LEÇON. l5
momenis par Xy sin 0 et par — Yx sînO. On reconnaîtra ensuite aisément que si une force ou Tune des coordonnées change de signe, le couple changera de sens, et par conséquent son moment prendra de lui-mèine le signe convenable. En opérant de même sur p', p'', . . . , Téquation (i), après la suppression du facteur commun, prendra la forme
(4) Xr-T:r4-Xy-Y'x'4-X''y'-Y-'ar^-{-..,:=o.
363. Si les forces données ne se font pas équilibre, elles se réduiront à une force R et i un couple (S, — S) qui auront une résultante unique, si R n'est pas nul, puisque cette force et ce couple sont dans le même plan.
Une force R' = — R égale et contraire h la force cherchée devant formeravecRun couple qui détruise (S, — S), en appelant r le bras de levier du couple (R, — R)^ on aura
d'où Ton déduira r. La force R sera donc connue en grandeur et en direction.
Pour obtenir la direction suivant laquelle agit la résultante unique — R^ soient a?i, jti les coordonnées d'un point quelconque de cette droite, et Xi, Yi les composantes de la force R parallèles aux axes. Il y aura équilibre dans le système après Tintroduction de la force — R ou, ce qui revient au même, des forces — Xi, — Yf. On doit donc avoir
OU en posant
G=X7- — Y«-4-X>'~Y'x'+-...p on aura
(5) — X,/, -4- Y:r, -f- G = O, équation de la droite cherchée.
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cou as DE MÉCANIQUE.
ÉQUÀTIOnS GÉNÉRALES DE l'ÉQUILIBEB.
Fi(;. 133.
