Voyons maintenant comment au moyen de la relation

on obtiendra, dans chaque cas, les équations du mouvement. Les conditions

devant être satisfaites par le système dans sa position actuelle et dans celle qui correspond à un déplacement quelconque, il faudra diflerentier les équations (2) par rapport à x^jr^ -3, x', . . . , sans faire varier le temps. On aura ainsi entre les variations Sx, $j^ $z^ Sx', . . . ,

(*) Les déplacements ^i, i/,.., satisfont aux équations ^L = o, ^ M = o, . . . , c'est-à-dire

dL dh

j;rH.— <r/-h...=o,....

tandis que Ton a

dh^ dL ^ dL ^

On ne pourra donc pas prendre en général 6x=zdx, on ne pourra le

dL dM

faire que si-^ = o, ■jr==^o»*-» c'est-à-dire que si les liaisons L = o,

M = 0, . . . sont indépendantes du temps.

lOO COCnS DE MÉCÀHIQUB»

les 2 équations suivantes :

Sx^ ijr ^ iz-Jr ->-, ^Jt' -4- . . . --= 0, fix dy dz d.r'

d^\ ^ du ^ dW^ r/M , ,

(3) \-d:i^'^^-dy^^^iû^'^dP''''^---'''^

r/wC "^ "5 dx

Si /t est le nombre des points du système, il y aura donc 3 71 — i variations arbitraires et i variations fonctions de celles-là déterminées par les i équations précédentes. On portera les valeurs de ces i variations dans réquation (i), et égalant à o les coefficients des Zn — i variations restantes, on aura 3/2 — i équations différentielles entre le temps, les forces et les coordonnées des points du système. En y joignant les i relations (a), on aura 3/i équations pour déterminer les 3/* variables a:, y, -3, x',^'', -s',-» en fonction du temps f . Il restera à intégrer ces équations pour connaître la position de chaque point du système à une époque quelconque du mouvement.

490. On peut, comme on l'a fait dans une autre occasion (460), employer la méthode des multiplicateurs. En multipliant les équations (3) par des coefficients indéterminés X, fx,' V, . . . , les ajoutant avec Téquation (i), puis égalant à o les coefficients des in variations, on a les 3/1 équations suivantes :

d^x ^ dh dM d^

"^HF^^-^^-d^^^-di-^'HI

d^y ^ ^ ^dh dM rfN

(4) { d'z „ ^dla rfM r/N

dt^ dz ^ dz dz

,d^x' ^, rfL dM rfN

dt' dx' ^ €U' dx'

XaENTE-SIXIÈME LEÇON. 10 1

L ëliniination des i indéterminées X, jx, v, . • • entre ces équations donnera 3n — i équations : en y joignant les I équations (a), on aura 3 /t équations pour déterminer les valeurs des Zn coordonnées a:, j^, ^, x', . . . en fonction du temps.

491. Les facteurs X, fx, v, . . . représentent les forces perdues et fout connaître les tensions et pressions qui s'exercent dans les liens physiques du système. Pour le bien comprendre, décomposons, comme nous Tavons fait plus haut (486), la force P dans les deux forces — Q et R, el opérons la même décomposition pour les forces P^ P", .... On sait que si Ton supprime les forces R, R', R"^ . . . , chaque point conservera encore son mouvement. On sait, déplus, que sous Faction des forces Q,Q',Q'', . . . chaque point aurait encore le même mouvement, quand bien même il deviendrait entièrement libre; de sorte que les points assujettis aux liaisons données se meuvent alors sans exercer aucune action les uns sur les autres^ et par conséquent les liens physiques du système n^éprouvent ni tensions ni pressions lorsqu'on a supprimé les composantes R^R'y . • . .

Si Ton rétablit ces composantes, elles se font équilibre à Taide des liaisons du système, et le mouvement demeure le même. On voit donc que ces dernières forces produisent seules les tensions et pressions dans les liens du système. Par conséquent, lorsqu'on connaîtra R, R', R^', . . . , on pourra déterminer les actions que les liaisons produisent sur les points du système, et par suite les tensions et pressions que les liens éprouvent, comme on Ta vu, dans un système de points assujettis à des conditions quelconques et soumis à des forces données qui se font équilibre.

492. On a d'ailleurs les expressions des forces perdues R, R^, R'',.... Les composantes de R, parallèles aux axes^

lOa COURS DE MÉCilSIQDB.

sont

celles de R' sont

d^x di^

d'y dC

Or les équations (4) donnent

d'-x / dL (TM ^ d^

dl^ \ ^j: " dx ' dx

dW /^ dL dM rfN \

d^z /, rfL rfM rfN \

,d^x' I rfL rfM rfN

expressions dans lesquelles il faut remplacer A, |u, v, . . > par leurs valeurs déterminées au moyen des équations (4)*

TRENTE- SEPTIÈME LEÇON. Io3