COMPLÈTES

623. Quand un système de n points est à liaisons complètes, il y a 3 re — I équations de condition : un seul mouvement virtuel est possible à chaque instant, et il est le même que le déplacement réel du système. Dansée cas, Téquation des forces vives suffit pour déterminer le mouvement de chaque point, car en y joignant celles qui expriment les liaisons du système, on a Zn équations pour connaître les expressions des 3 n variables x, }', z, x\y\ ... en fonction du temps. Il faut alors exprimer toutes les variables en fonction d'une seule 9 convenablement choisie.

Considérons, par exemple, le mouvement d*un corps solide autour d'un axe Oz, ce qui constitue un système à liaisons complètes. On aura, en conservant les notations habituelles,

(i) </ Y wp» = 2 V(X//x 4- Ydf -4- Zdz).

Or on a

puisque la vitesse angulaire est la même à chaque instant pour tous les points du système. D^ailleurs

dx dr dz

dt '^ dt dt

donc

COUUS DE UtCMiiqiiK,

(2) \{Xdr -h Yi!f -+- Zdz) z= oY( Yx — X; ; //. Substituant dans Téquahon (i), on a

ou bien

\ wr.»— = 2w\ (Yx — Xj),

équation déjà obtenue (53i).

62i. L^ équation du mouvement du pendule composé,

établie comme conséquence de la théorie des mouvements

Fig. 170. de rotation, peut être déduite

o * de Téqualion (i).

En conservant les mêmes notations (565), on a

dy mv* =2 dl(a*\ mr* j

et

2 (Xdr + Ydf -+- Zdz) =2mgdj'y

donc, en substituant,

€/ ( w' \ mr* j =: 2 \ mgdjr et en intégrant

w*\ mr^ = 2g\ w/ + C = 2g^M7, -h C,

M étant la masse totale du pendule et ji ou AD Vjr du centre de gravité. On a d'ailleurs

^, = acosô

QUARANTE-HUITIÈME LEÇOlf. 221

et

V//ir' = i\l(a»-f-A»).

Par conséquent

Pour déterminer la constante C, désignons par Q la vitesse angulaire initiale, correspondant à d = a. On a, dans ce cas,

31 S'il •

w* = û» H- '^ ,, (cosô — cosa), ou

^ = "' + ^riTT («"« - <=««)'

équation déjà obtenue (565) et qui représente le mouvement du centre de gravité.

DES FORCES VIVES DAIîS LE MOUVEMENT RELATIF.

625. L'équation des forces vives s'applique au mouvement relatif d'un système quelconque par rapport à son centre de gravité, pourvu que dans ce système il n'existe aucun point fixe, ni aucun point assujetti à rester sur une courbe ou sur une surface fixe.

Soient Gxi, G/i, G^i, trois axes parallèles à trois axes fixes Oj:, Oj^ Oz et menés par le centre de gravité G(xi,yi,2i) à une époque quelconque. Désignons par Ç, w, Ç les coordonnées d'un point quelconque M {x,j^ z) par rapport à ces axes mobiles. On aura

Nommons (^ la vitesse du point M, et co sa vitesse relative, c'est-à-dire sa vitejse apparente pour un observateur placé en G et qui serait entraîné avec les axes mobiles. Soit enfin i^i la vitesse du point G,

22a COURS DE MÉCAKIQUE.

On a

d^où, à cause des équations (i),

tlx\ -A- dr\ A- dz\ dl^ -^ dyi^ -ir d\ dO dt^

\dt dt'^ dt di dt dt)

ou

/ox , 5 • /dr^dl^ dYxdn dzx d^\

' * \dt di dt de de di )

Multiplions par m les deux membres de cette équation et ajoutons toutes les équations analogues relatives aux autres points du système. Si Ton observe que

'dF 2a 'di "de 2d ^ ^ 2j ^ ^'

puisque l'origine G étant le centre de gravité, on a \ mÇ = o , . . . , et par suite \ m -~ = o , . . . , l'équation résultante se réduit à

ou

(4) V/wi'^ — Mï'f -hV/w»»,

en désignant par M la masse totale du système.

Ainsi (et cette conséquence s'applique à un système quelconque lors même qu'il ne serait pas entièrement libre dans Tespace), la somme des forces vii^es des points dans leur mouvement absolu est égale, à chaque instant, à la même somme considérée dans le moui^ement relatif autour du centre de gravité, augmentée du produit de la

QUARANTE-HUITIÈME J.EÇOW. 223

masse totale du système multipliée par le carré de la vitesse du centre de gravai té.

626. Revenons à Tliypothèse primitive, en vertu de laquelle on suppose le système entièrement libre. Substituant à \ mu* la valeur précédente dans Téquation

d\mt^' z=z 2V(X^x + Ydjr-hZdz),

on a

dMp

; -hd\ ww*

(5) < ^^oScKdx.-i-Ydx.-hZdz,)

iS(Xdi-hYdn-hZd^).

Or de

on tire

, id^x^dx^ -h ^d^YydYi 4- 9.d^Ztdz, M i— ^ 5

ou

donc 1 équation (5) se réduit à

d\muy' = aV (X^Ç -+- Ydn -f- Z«/Ç).

Cette équation exprime que, dans le mouvement relatif d^un système absolument libre, autour de son centre de gravité, la difTéreniielle de la somme des forces vives des points du système est égale au double de la somme des quantités de travail apparent des forces motrices.