On donne un système de points ayant pour masse w, w
77/, , sollicités par des forces F, F,, F2, . . . et assujettis à des
liaisons quelconques; un second système est semblable au premier quant à la disposition de ses points et des liaisons, et le rapport do
similitude esta; les massesde ce système sont pm, pm et elles
sont soumises aux forces yF, 7F parallèles à F, F,. . . . aux
points homologues : démontrer que les points dans les deux sys-
486 ÉNONCÉS DE phoblemi».
témes décriront des courbes semblables et que le rapport des temps
employés à décrire des arcs homologues sera égal à i / -^^ • PJ.
72. Une série de sphères parraîtement élastiques ont leurs centres en ligne droite; on donne les masses des sphères extrêmes, et Ton demande de déterminer les masses des sphères intermédiaires de sorte qu'en donnant à la première sphère une vitesse connue la vitesse transmise à la dernière soit maximum. PJ.
73. Deux sphères animées de vitesses u, u' suivant la même droite se choquent et prennent les vitesses (*, f'' : on dit que leurs coefficients d'élasticité sont e, c' si l'on a p'— p — e€\u — a') : calculer V et p', ainsi que la perte de force vive produite par le choc.
PJ.
74. Trois points s'attirent suivant la loi new^tonienne : chercher si l'on peut leur donner des positions et des vitesses initiales telles qu'ils soient toujours en ligne droite; déterminer leurs tra* jectoires dans ce cas. SG.
75. On donne un plan horizontal et un plan vertical parfaitement polis sur lesquels s'appuiç une barre homogène, perpendiculaire à leur intersection et maintenue d'abord en repos. Un animal peut se mouvoir le long de la perche, qui lui fournit une réaction longitudinale pour accélérer au besoin son mouvement : déterminer la loi de ce mouvement de telle sorte que si l'on cesse de maintenir la perche elle reste néanmoins en repos. SG.
76. Une tige homogène de masse y. peut tourner autour de son milieu 0 dans un plan horizontal ; sur cette tige peut glisser un anneau de masse m attiré vers 0 proportionnellement à la distance : mouvement du système et réactions. Cas où fi= 3i7i etoù l'anneau se trouve d'abord à un bout de la tige, avec une vitesse de glissement égale à zéro. SG.
77. Un point est lié à deux autres par deux fils inextensibles et sans masse qui passent dans un même anneau très petit ; les trois points restent sur un plan horizontal poli ; on leur donne des vitesses connues et l'on demande la loi de leurs mouvements ultérieurs. PJ.
78. Un point M est assujetti à rester sur un cône droit dont Taxe est vertical et la pointe dirigée vers le haut; M est attaché à un fil sans masse qui passe dans un très petit trou au sommet du cône.
va s'enrouler sur une poulie et se termine par un poids M'. Déterminer le mouvement du système en supposant que M' soit d'abord immobile et M animé d'une vitesse horizontale. SG.
?9. Mouvement d'une droite homogène et pesante assujettie à rester sur un hyperboloïde de révolution dont l'axe est vertical et qui ne donne lieu à aucun frottement. SG.
80. Mouvement d'une barre pesante et homogène dont une extrémité reste sur un plan horizontal et l'autre sur une droite verticale ; la vitesse initiale de la seconde extrémité est nulle : réactions ; discussion. SG.
81 . Deux masses /w, m\ posées sur un plan horizontal, sont reliées par un fil sans masse qui passe dans un très petit anneau sur le plan donné ; cet anneau attire m en raison inverse du carré de la distance ; on imprime des vitesses connues aux deux masses, et l'on demande le mouvement qui en résulte. SG.
82. Loi des petites oscillations d'une balance légèrement écartée de sa position d'équilibre, en supposant les plateaux réduits à de simples fils sans masse attachés aux extrémités du fléau. PJ.
83. Un fil élastique de masse négligeable est tendu verticalement entre deux points fixes et porte deux petites masses qui partageraient le fil en trois segments égaux s'il n'était pas allongé; on écarte les masses de leurs positions d'équilibre tout en laissant le fil vertical : loi des oscillations du système. PJ.
84. Une barre pesante et homogène suspendue par un fil à un point fixe est écartée de sa position d'équilibre: déterminer son mouvement en supposant qu'elle reste dans un même plan vertical.
PJ.
85. Mouvement d'un cylindre droit non homogène placé sur un plan horizontal poli, en supposant la vitesse de chaque point du cylindre toujours perpendiculaire aux arêtes. SG.
86. Pertes de travail occasionnées dans les machines par les résistances passives ; frottements dans les engrenages cylindriques et coniques, dans la vis à filets carrés, dans la vis sans fin; pertes de travail dues à la raideur des cordes. PJ.
87. Un tube circulaire assujetti à rester dans un plan vertical ne peut que rouler sans glisser sur une horizontale fixe et contient dans son intérieur une petite bille : mouvement du système, en le
supposant abandonné à lui-môme sans que ses points aient de vitesse initiale. SG.
88. Un fil inextensible et sans masse, attaché en un point Hxe, porte deux poids à des hauteurs différentes : déterminer le mouvement du système, en supposant qu'il reste dans le même plan vertical. SG. PJ.
89. Étudier dans un plan le mouvement d'un point matériel non pesant attiré vers deux centres fixes avec des intensités inversement proportionnelles au carré de la distance. SG.
90. Application des équations de Lagrange et d'Hamilton à plusieurs des problèmes précédents. SG.
91 . Moment d'inertie d'un arc 'de cercle homogène par rapport à son axe, à une perpendiculaire à son plan menée par le centre.
SG
92. Moment d'inertie de l'aire d'une ellipse par rapport aux deux axes, à la normale au plan menée par le centre. SG.
93. Moment d'inertie d'un ellipsoïde homogène par rapport aux axes, à une diagonale du parallélépipède rectangle circonscrit.
SG
9i. Moment d'inertie de l'aire d'un triangle par rapport à une médiane, à un côté, à la normale au plan menée par un sommet.
SG
9o. Moment d'inertie d'un tore par rapport à l'axe, à un diamètre équatorial. S. G.
96. Moment d'inertie d'une lentille biconvexe, dont les deux calottes ont môme rayon, par rapport à l'axe, à un diamètre de Téquateur. PJ.
97. Condition pour qu'une droite soit axe principal d'inertie en l'un de ses points; application à une des arêtes d'un tétraèdre homogène. SG.
98. Les plans conjugués d'une droite par rapport aux ellipsoïdes centraux relatifs aux divers points de cette droite passent tous par une droite fixe. PJ.
99. Lieu des droites menées par un point donné d'un solide connu et qqi sont principales en l'un do leurs points. PJ.
dOO. Lieu des points d'un solide donné où les axes principaux sont parallèles à ceux d'un point connu. PJ.
401. Connaissant la grandeur et la direction des rayons principaux de gyration relatifs au centre de gravité d'un solide, calculer le moment d'inertie autour des diverses droites qui passent par un point : les axes principaux en ce point sont les normales de trois surfaces du second degré homofocales à un ellipsoïde déterminé. Lieu des points où deux moments principaux sont égaux, où l'un des moments principaux a une valeur donnée. SG.
402. Un parallélépipède homogène et pesant est fixé par les deux extrémités d'une de ses arêtes, qui est verticale : quelle vitesse de rotation faudrait-il lui imprimer pour que la charge de l'appui inférieur fût nulle ? SG.
403. Un pendule est formé d'une sphère homogène suspendue à l'aide d'une tige rigide de masse négligeable : en quel point do cette tige faudrait-il fixer le centre d'une autre sphère donnée pour diminuer le plus possible la durée des oscillations ? PJ.
dOI. Une tige pesante, homogène et rigide oscille autour d'une de ses extrémités dans un plan vertical : chercher en quel point de cette tige la force qui tend à la courber exerce le plus grand effort.
PJ.
405. Avec quelle vitesse une voiture pent-elle tourner sur un plan incliné sans qu'elle cesse de s'appuyer sur ses quatre roues?
PJ.
106. Lieu des droites passant par un point donné dans un solide et autour desquelles ce solide oscillerait dans un temps déterminé.
PJ.
407. Un cylindre de volume et d'épaisseur donnés oscille autour d'une parallèle à ses génératrices : quelle forme doit-on donner à sa base pour rendre minimum la longueur du pendule simple synchrone ? Déterminer au même point de vue la méridienne d'une surface de révolution de volume donné oscillant autour d'une droite qui coupe son axe à angle droit. SG.
408. Une planche rectangulaire homogène est fixée par les deux extrémités d'une de ses arêtes, laquelle fait un angle avec la verticale : mouvement de la planche quand on l'écarté de sa position d'équilibre; charges supportées par les gonds. SG.
409. Oscillations d'une aiguille aimantée autour d'un axe horizontal passant au centre de gravité; influence du frottement qui s'exerce sur l'axe dans le cas où l'aiguille oscille dans le plan du méridien magnétique. SG.
4gO ÉNONCÉS DE PÏÏOBLÈMES.
ilO. Considérons un solide tournant autour d'un point fixe snns être sollicité par des forces extérieures ; on propose de démontrer les théorèmes suivants :
1° La somme des carrés des projections des trois axes de Fellipsoîde central relatif au point fixe, sur le plan du couple résultant des quantités de mouvement, est constante.
a"* Le plan tangent à Fellipsoïde à l'extrémité de Vaxe instantané mtercepte sur les axes de l'ellipsoïde des longueurs telles, que la somme des inverses de leurs carrés ou de ces carrés multipliés par les moments d'inertie autour des droites considérées est constante. SG.
111. En revenant au problème précédent, trouver les courbes directrices des cônes lieux des axes instantanés de rotation dans Tespace ou relativement au solide. SG.
112. Mouvement d'un solide de révolution pesant fixé en Ton des points de son axe de figure. SG. PJ.
Ii3. Mouvement d'une toupie dont la pointe repose sur un plan horizontal parfaitement poli. PJ.
114. Un petit anneau homogène, parfaitement mobile, a son centre au centre d'un très grand anneau fixe dont les molécules attirent colles du premier en raison inverse du carré de la distance ; on laisse immobile le centre du petit anneau, mais on donne à ce solide un mouvement connu autour de ce point: dire comment il se mouvra sous l'influence du grand anneau. SG.
115. Mouvement d'un solide pesant libre dans l'espace et dont les molécules sont attirées vers un point fixe proporticonellemenl à la distance. SG.
116. Mouvement d'une sphère homogène lancée sur un plan horizontal dépoli. PJ.
117. Une tige homogène est soutenue à ses extrémités par deux fils verticaux d'égale longueur et attachés tous deux à une horizontale fixe : mouvement de la barre quand on l'écarté légèrement de sa position d'équilibre, tout en la laissant horizontale. PJ.
118. Mouvement d'un cylindre pesant et homogène abandonné sans vitesse sur un plan incliné de manière que ses arêtes resteni horizontales : on tient compte du frottem^t et de la résistance au roulement. SG.
ÉnOKCÉS DE PnOBLÊMES. 49 <
110. On lance une sphère homogène le long d*un plan incliné dans une direction perpendiculaire à l'horizontale du plan, en môme temps qu'on lui imprime une rotation de même sens que si la sphère roulait sans glisser, mais plus rapide : déterminer le mouvement en tenant compte du frottement de glissement. PJ.
120. Un cylindre homogène est couché sur un plan horizontal assez rugueux pour ne permettre que le roulement ; on fait tourner uniformément le plan autour de la droite suivant laquelle il était d'abord touché par le cylindre, et Ton demande le mouvement de celui-ci. PJ.
lâl. Une sphère homogène repose sur un plan horizontal sur lequel elle ne peut que rouler; ses molécules sont attirées vers un point du plan proportionnellement à la distance : mouvement de la sphère quand on néglige la résistance au roulement. SG.
122. Mouvement d*une sphère sur un plan horizontal qui tourne uniformément autour d'une verticale : la sphère ne peut que rouler, et l'on néglige la résistance au roulement. SG.
123. Une sphère dont le centre est fixe est animée d'une grande vitesse de rotation autour d'un diamètre qui peut tourner dans un plan horizontal : mouvement que prend la sphère sous l'influence de la rotation de la Terre. SG. ,
124. Mouvement d'un solide pesant sur un plan incliné poli, en tenant compte de la rotation de la Terre. PJ.
125. Les liaisons d'un système en mouvement viennent à être modifiées pendant un temps très court ; la perte de force vive est égale à la somme des produits des masses par le carré des vitesses perdues, c'est-à-dire des vitesses qu'il faut composer avec les vitesses après le choc pour avoir les vitesses avant le choc, PJ.
. 126. Déterminer la percussion qu*il faudrait appliquer à un cube libre et en repos pour le faire tourner d'abord autour d'une arête.
SG
127. Une barre OA est articulée en 0 à un point fixe et en A à une barre égale AB ; le système peut se mouvoir sans frottement sur un plan horizontal : déterminer le mouvement résultant d'une percussion appliquée perpendiculairement à AB en un de ses points; on suppose OAet AB primitivement en ligne droite. SG.
128. Une barre homogène est en mouvement sur un plan horizontal poli ; le centre instantané est en un point de la barre quand
elle vient à rencontrer un obstacle fixe : déterminer la grandeur du choc et le mouvement ultérieur. SG.
129. Une planche elliptique dont le plan est vertical est soutenue en ses deux foyers par deux chevilles ; on en retire brusquement une,efron demande la charge supportée par Tau tre immédiatement
après. SG.
d30. Une ellipse roule sans glisser sur une droite fixe : lieu décrit par un des foyers ; enveloppe de la directrice correspondante.
SG
d31. Dans un solide animé d'un mouvement quelconque, déterminer à un instant donné le Heu des points où raccéléralion est tout entière tangenticlle, centripète ou d'une grandeur déterminée.
SG
HYDROSTATIQUE ET HYDRODYNAMIQUE.
132. La pression moyenne exercée par un liquide pesant sur une surface courbe est mesurée par la hauteur du liquide au-dessus du centre de gravité do la surface. PJ.
133. Uiïc ta vite hémisphérique fermée par une paroi plane coïncidant avec sa base est exactement pleine d'eau : comment faul-il Forienter pour que la pression moyenne y soit maximum ou minimum ? PJ.
13 i. Une porte d'écluse est formée d'un rectangle dont un côté ÂBest vertical et d'un quart de cercle dont un des rayons extrêmes est AB ; la porte peut tourner autour de AB comme axe : déterminer la largeur du rectangle de manière que, l'eau atteignant d'un côté le niveau supérieur de l'écluàe et de l'autre côté le niveau inférieur, on puisse faire tourner la porte sans effort. PJ.
13^. Parmi tous les vases de révolution autour d'un axe vertical, de hauteur et de capacité données, quel est celui qui éprouve la p!u.s grande pression horizontale de la part du Hquide qui les remplit? PJ.
136. Déterminer le centre de pression pour une paroi circulaire plane dont le contour affleure le niveau du liquide, et pour l'aire elliptique comprise entre deux demi-diamètres conjugués dont l'un est à la surface libre. PJ.
ÉIÏONCÉS DE PROBLÈMES. 493
437. Un cylindre fermé à. ses deux extrémités par des surfaces planes est plein de gaz comprimé ; on le suppose formé par la réunion : 1** des deux moitiés que déterminerait un plan mené perpendiculairement à Taxe par son milieu ; a** des deux moitiés déterminées par un plan mené suivant Taxe : l'épaisseur étant constante, dans laquelle des deux hypothèses les deux parties ont-elles plus de chance de se séparer? PJ.
138. Ëquilibre d'un prisme droit homogène, à base carrée, flottant sur un liquide avec ses arêtes horizontales. PJ.
139. On considère une série de plans détachant d'un solide donné des segments dont le volume est constant ; le lieu des centres de gravité de ces segments s'appelle surface de carène; le plan tangent en un point de cette surface est parallèle au plan qui a déterminé le segment correspondant à ce point : démontrer ce théorème et en conclure que, pour l'équilibre d'un corps flottant, il suffit qu'une normale menée de son centre de gravité à la surface de carène soit verticale, PJ.
140. Appliquer le résultat précédent à l'équilibre d'un prisme triangulaire droit dont une base est immergée et la base opposée hors de l'eau. PJ.
