IK> = — MI

équation d*uue parabole, si Ton considère MI et IK comme les coordonnées du point M par rapport aux axes MP et MT.

232. Pendant que le mobile parcourt Tare de parabole MK, sa projection sur Ox parcourt Tespace M' K' égal à M' H' -h H'K', c^est^à-dire à la somme des projections des droites MH et HK. Or on a

dx WW = MH cosa = rô cosa = -— 0,

dt

n'K'=UKcosX=:-©Ô»cosX = - -ô«cosX,

en appelant X l'angle que la direction constante de la force P fait avec l'axe des x. On a donc

M'K' = ~7-eH COSX-« ,

dt m 2.

D^un autre côté, Tespace M'K^ étant Taccroissement que prend la variable Xj qui est une certaine fonction de f, quand t prend Taccroissement 6, on a, par la formule de Taylor,

|u désignant une quantité qui tend vers zéro, avec 0. En égalant ces deux valeurs de M'K', supprimant le

d'jr

terme commun. ^9^ et divisant ensuite par le facteur

commun —9 on aura

-— -h f* = - cos>.

dt^ ^ m

Si 0 diminue jusqu'à zéro, [k tend vers zéro; mais les autres quantités indépendantes de 0 ne changent pas. Oi aura donc, en passant à la limite,

— -z=-cosX,

di^ m

ou

DlX-HUITlèME LEÇON.

m -- — = P cos>.

Ainsi, dans le cas où la force est constante, m —r- a une

valeur constante égale à P cosX, c'est-à-dire à la projection de la force sur Taxe des x.

233. Quand Tintensilé et la direction de la force motrice varient à chaque instant, on a encore la formule

dt

- =z P cosX,

en désignant par P Fintensité de cette force à Tinstant considéré, et par X Tangle qu'elle fait à cet instant avec Taxe des x.

En eOet, pendant le temps 6 qui succède au temps f , le mobile parcourt une portion MK de sa trajectoire (qui n'est plus une parabole), dont la projection sur Taxe des X est

M' K' = -7- ô 4- ( —rr H- «* ) dt \ fU^ ' / 2

"îî 5/1-

Mf

Désignons par P^ la plus grande intensité de la force mo- I ig. 79. tricequi sollicite le point M

pendant le temps 9 et par ?/ le plus petit angle que fait la direction variable de cette force avec l'axe des x. Si le

oj L !, ' ' mobile arrivé en M avec la

vitesse V était sollicité par une force constante P' et faisant toujours avec Taxe des x l'angle X', ce mobile serait transporté, après le temps d, en un point L au delà du plan KK' parallèle au plan zOy mené par le point K. Eln d'autres termes, l'espace M'U parcouru par sa projection sur Taxe Qx serait plus grand que l'espace M'K'

parcouru par la projection du mobile qui décrit réellement la courbe MK. On a donc

trf

M'K'<M'L' ou

^ ' dt \cU^ ^ J a di m 2

SI la force motrice agissait sur le mobile, animé au point M de la vitesse (^, avec sa plus faible intensité P'' et sous une inclinaison constante V' égale au plus grand angle qu'elle fasse pendant le temps 0 avec Taxe des x, le mobile m arriverait en un point N situé en deçà du plan KR', en sorle que l'espace M'N' décrit par sa projection sur Ox serait moindre que M'K'. On aurait donc

ou

(^) dF'^['dF^n''->dF

Oh cosX'^— •

Des deux inégalités précédentes on déduit

— cosX' > -— - 4- ;* 1> — cosX , m di* ^'^ m

et en passant à la limite

(4) -77- = — co*^»

^^' dt* m

ou, en posant P cosX = X,

Le même raisonnement s'applique aux autres axes : on aura donc, en désignant par Y et Z les composantes de la force P suivant les axes des j^ et des z.

DIX-HUITlkME LBÇ09. 171

Ces* formules montrent que les projections du point mobile sur chaque axe se meuvent comme des points matëriels de même masse sollicités uniquement par la composante de la force motrice suivant cet axe. Elles ne supposent pas les axes rectangulaires.

234. Si X, Y, Z, au lieu de représenter les composantes de la force motrice, représentdent celles de la force accélératrice, on aurait plus simplement

HF^^' 'dfi'^^' W^^'

235. Si Ton connaît la courbe décrite par un mobile et la loi de son mouvement, c'est-à-dire si les coordonnées a: y jTy z sont données en fonction du temps par les trois équations

une première différentiation fera connaître les composantes de la vitesse parallèles aux axes

d,T dy dz Vt' Tt' di^

et une seconde différentiation fera connaître les composantes de la force accélératrice, savoir :

j — rr-5 -7T-»

dt^ dt^ fii*

et, par suite, les composantes de la force motrice.

236. Ordinairement on doit résoudre le problème inverse, c'esl-à-dire que la force motrice est donnée à chaque instant de grandeur et de direction. Alors X, Y, Z sont des fonctions connues de t, et Ton a, pour connaître complètement le mouvement du mobile, à intégrer trois équations simultanées.

17^1 COURS DE MÉGANIQOB.

DIX-NEUVIÈME LEÇON