A chaque élément d'une surface fermée, da, on applique
une force normale égale à ch, ou à ( =r -f- r— ) r/o- ; on a t-tt- da,
' \R Ri/ ' KRi
R et R, étant les rayons de courbure principaux de la surface sur
l'élément d(7 -. montrer que dans les trois cas toutes les forces se
font équilibre. PJ.
11. Position d'équilibre d'une droite pesante et homogène qui repose sur deux plans inchnés polis. SG.
12. Positions d'équihbre d'une planche elliptique, d'épaisseur constante, située dans un plan vertical et reposant sur deux chevilles à la môme hauteur. SG.
13. Déterminer quatre forces agissant aux sommets d'un tétraèdre perpendiculairement aux faces opposées, de manière qu'elles se fassent équilibre. SG.
14. Déterminer les positions d'équilibre de deux poids égaux assujettis à rester sur une parabole dont l'axe est vertical et se repoussant avec une intensité inversement proportionnelle à leur distance. SG.
45. Entre deux plans inclinés on place deux sphères homogènes de manière qu'elles s'appuient l'une contre l'autre et que chacune touche un des plans : déterminer les conditions d'équilibre. PJ.
16. Deux fils flexibles partent d'un même point : l'un soutient une sphère pesante, l'autre un petit poids qui pend au-dessous de la sphère sans la toucher : figure d'équilibre. PJ.
17. Dans un cylindre mince, ouvert aux deux bouts, reposant par une de ses bases sur un plan horizontal, on introduit deux sphères égales dont le diamètre surpasse le rayon du cylindre : quel doit être au moins le poids du cylindre pour qu'il ne soit pas renversé? PJ.
18. Une enveloppe sphérique mince repose sur un plan incliné et contient à son intérieur un très petit poids qui est attiré vers un point du plan incliné avec une force proportionnelle à la distance : positions d'équilibre de la sphère et du point intérieur. SG.
19. Une tige pesante est mobile autour de son extrémité A et soutenue à l'autre extrémité par un fil sans masse qui passe sur une poulie située verticalement au-dessus de A, puis sur une seconde poulie C, pour se terminer par un anneau qui soutient une chaîne pesante; celle-ci, parfaitement flexible, a sa seconde extrémité fixée au-dessous de C : figure d'équilibre. SG.
20. D'un point partent trois fils de même longueur portant trois sphères dont les poids et les volumes sont égaux; sur ces trois sphères on en place une quatrième, et l'on demande les figures d'équilibre possibles en supposant les centres des trois premières dans un même plan horizontal. SG.
21. Un segment de paraboloïde de révolution est placé en équilibre sur deux plans également inclinés à l'horizon : quelle peut être la hauteur maximum du segment pour qu'en le supposant divisé en deux parties par le plan vertical de l'intersection des deux plans fixes les moitiés ne se séparent pas ? SG.
22. Une tige pesante et homogène s'appuie par une extrémité sur un plan horizontal dépoh, tandis que fautre extrémité est soutenue par .un fil qui passe sur une petite poulie et se termine par un poids : position du système quand la barre est près de glisser. PJ.
23. Une barre pesante repose sur une cheville dépolie et est sollicitée à son extrémité inférieure par une force de grandeur et de
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direction données : position de la tige quand elle est près de glisser. PJ.
24. Une échelle s'appuie sur un plan horizontal et sur un mur vertical dont les coefficients de frottement sont connus ; elle est perpendiculaire à l'intersection des deux plans : dans quelle position est-elle près de glisser? PJ.
25. Une planche rectangulaire située dans un plan vertical repose sur un plan dépoli perpendiculaire au premier et dont on augmente graduellement l'inclinaison : déterminer dans quelles conditions la planche se mettra à glisser ou à basculer autour de son sommet inférieur. PJ.
26. Une barre pesante est parfaitement libre de se mouvoirautour d'une de ses extrémités, qui est fixe ; l'autre bout appuie contre un mur vertical dépoli : position où la barre est près de glisser. PJ. SG.
27. Une barre homogène AB peut tourner autour de son milieu C et porte un poids à son extrémité A ; une barre pesante mobile autour d'une de ses extrémités 0 appuie sur l'extrémité B de la première, où se produit un frottement ; la droite CO est verticale et égale à CA : quelle est l'inclinaison de AB quand le glissement est près de se produire? SG.
28. Une tige pesante et homogène AB repose en A sur une horizontale fixe OX et touche une courbe située dans le plan vertical qui contient OX ; le coefficient de frottement est le même sur OX et sur la courbe : déterminer la nature de celle-ci de telle sorte que, dans toutes les positions que peut prendre AB, elle soit sur le point de glisser. SG.
29. Déterminer le coefficient du frottement du fer sur lui-même et sur lé so. de manière qu'en disposant quatre boulets égaux en fornïe de pile triangulaire ils soient en équilibre, mais tout près de glisser. SG.
30. Deux roues égales dont les axes sont réunis par une barre homogène et pesante sont situées dans le même plan vertical et reposent sur une droite inclinée dépolie ; l'une des rôties est libre de rouler, mais l'autre est enrayée : calculer l'inclinaison du rail d'appui quand le chariot est près de glisser. PJ.
31. Figure d'équilibre d'un polygone plan dont les côtés- sont articulés à charnières et pressés normalement, chacun en son milieli,
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par une force proportionnelle à sa longueur et comprise dans le plan du polygone. PJ. SG.
32. On donne un quadrilatère articulé dont les côtés ne sont pas pesants ; les sommets opposés sont réunis par deux fils : quel est le rapport des tensions des deux fils pour une figure d'équilibredonnée ? PJ.
33. Appliquer la théorie du polygone funiculaire à la figure d'équilibre de quatre barres pesantes, homogènes et égales, formant une ligne brisée ABCDE dans un plan vertical ; les extrémités A et E sont articulées en deux points fixes d'une même horizontale et les barres successives sont articulées entre elles; il n'y a pas de frottement. SG.
3-i. Déterminer la forme d'un fil pesant, parfaitement flexible et inextensible, dont les deux bouts sont fixes, et où la densité en chaque point est inversement proportionnelle à la racine carrée de l'arc compris entre ce point et le point le plus bas. PJ.
3b. Un fil pesant prend la forme d'une demi-circonférence : comment varie la densité sur ce fil? PJ.
36. Un fil homogène et pesant repose sur deux chevilles horizontales placées à la môme hauteur ; les deux bouts, qui pendent librement de chaque côté, sont égaux : quelle est la longueur minimum du fil compatible avec l'équilibre, et quelle est alors la pression supportée par les chevilles ? PJ.
37. Un fil homogène non pesant est sollicité en chacun de ses points par une force répulsive, émanant d'une droite fixe à laquelle elle est perpendiculaire, et proportionnelle à la distance du point repoussé à la droite; les extrémités du fil sont fixées en des points donnés, et l'on demande la figure d'équilibre. Cas où le fil s'écarte peu de l'axe répulsif. SG.
38. Relation générale entre la forme d'équilibre d'un fil pesant et la loi de la densité suivant ce fil. SG.
39. Calculer en chaque point l'épaisseur d'un câble de fer dont le poids spécifique est 7,7 et dont les extrémités sont fixées sur une même horizontale à 100 mètres l'une de l'autre; chaque élément du câble doit supporter, outre son poids, une charge proportionnelle à sa projection horizontale, et égale à 3oo kilogrammes pour une projection d'un mètre : on veut que la flèche de l'arc formé par le câble soit de 10 mètres et que la tension en chaque
Sturji. — Méc. ii. jr
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point du câble soit de 1 1 kilogrammes par millimètre carré de section. SG.
40. Courbe d'équilibre d'un fil pesant et homogène posé sur la surface concave d'un cône droit à axe vertical dont le sommet est en bas; tension en chaque point. SG.
41. Figure d'équihbre d'un fil non pesant dont chaque élément est sollicité par une force normale, proportionnelle à la distance de l'élément à une horizontale donnée. SG.
42. Figure d'équilibre d'un fil non pesant dont les extrémités sont fixes, et dont chaque élément est attiré vers un point fixe par une force réciproque au carré de la distance. PJ.
43. Un fil inextensible et sans poids passe sur une courbe dépolie située dans un plan vertical et se termine à ses deux extrémités par deux poids : quelle relation doit-il y avoir entre ces poids et la courbure totale de l'arc embrassé par le fil pour que le glissement reproduise? PJ.
44. Un fil élastique pesant, homogène à l'état naturel, repose sur une cycloïde dont l'axe est vertical ; une extrémité est attachée au sommet de la cycloïde, et l'autre arrive au point le plus bas : calculer la longueur naturelle du filet sa tension quand il s'est allongé le long de la cycloïde. SG.
45. Figure d'équilibre d'un fil élastique, pesant, homogène à l'état naturel, et dont les extrémités sont fixes. PJ.
46. Déterminer à l'aide du principe des vitesses virtuelles la position d'équilibre d'un point pesant posé sur un plan incliné et attiré vers un centre fixe proportionnellement à la distance ; pression sur le plan. SG.
47. Position d'équihbre d'une tige pesante reposant sur une cheville horizontale et appuyant par son extrémité inférieure contre un mur vertical ; charge des appuis. SG.
48. Positions d'équilibre de trois points assujettis à rester sur un cercle horizontal poli et exerçant les uns sur les autres des répuisions proportionnelles à leurs distances. SG.
49. Trois points A, B, C peuvent se mouvoir dans un plan, de manière toutefois que les angles du triangle ABC restent constants : déterminer les conditions d'équilibre de trois forces constantes appliquées aux trois points. PJ.
50. Une barre mobile dans un plan vertical autour de son extrémité inférieure porte à l'autre bout un poids et est soutenue par un ressort dont la force varie en raison inverse de la pente de la barre : figure d'équilibre. PJ.
51 . Une barre pesante et tiomogène peut se déplacer tout en restant tangente à une courbe située dans un plan vertical, et vient buter contre un mur vertical ; quelle doit être la nature de la courbe pour que la barre soit en équilibre dans toutes ses positions sans qu'il y ait de frottements? PJ.
52. Une barre pesante peut tourner dans un plan vertical autour de son extrémité mférieure, tandis que l'autre extrémité est soutenue par un fil qui passe sur une petite poulie et se termine par un poids assujetti à glisser sur une courbe : déterminer la nature de la courbe de manière qu'il y ait équilibre quelle que soit la position du poids. PJ.
53. Une pile triangulaire de boulets sphériques parfaitement polis a sa base retenue entre trois murs verticaux formant un prisme équilatéral : calculer la pression supportée par chacun de ces murs. SG.
54. Position d'équilibre d'un poids attiré proportionnellement à la distance vers deux points fixes A, B qui sont à la même hauteur et obligé de rester à une distance constante du milieu de AB ; distinguer si l'équilibre est stable ou instable. SG.
55. Un point non pesant est en équilibre au centre d'un octaèdre régulier dont les sommets l'attirent proportionnellement à la n^ème puissance de la distance : quelles sont les valeurs de « pour lesquelles l'équilibre est stable? SG.
56. Un fil de masse négligeable passe dans un anneau et a ses extrémités attachées en deux points pris sur un côté d'une planche carrée à égale distance du milieu de ce côté : déterminer les positions de la lame qui correspondent à l'équilibre et rechercher si celui-ci est stable ou instable. PJ.
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DYNAMIQUE (IP Partie).
57. Mouvement d'un point pesant placé dans un tube rectiligne qui tourne uniformément autour d'une verticale qu'il rencontre. PJ.
58. Mouvement d'un point pesant assujetti à rester sur un plan qui tourne uniformément autour d'une de ses horizontales. PJ.
59. Un point matériel est enfermé dans un tube circulaire horizontal dont le centre est fixe, mais dont le rayon augmente proportionnellement au temps : le point ayant été mis en mouvement dans le tube, déterminer sa trajectoire et la pression qu'il exerce. SG.
60. Deux poids égaux A et B s'attirent proportionnellement à la distance et sont assujettis à rester, A sur un plan incliné P, B sur une verticale D ; il n'y a pas de frottement : déterminer le mouvement. Cas particulier : le sinus de l'angle de P avec l'horizon est | ;. les positions initiales de A et de B conviennent à l'équilibre, mais on leur donne des vitesses initiales telles, que la vitesse de B est égale à la vitesse de A estimée, soit suivant une horizontale, soit suivant une ligne de plus grande pente de P. SG.
61. Trois points assujettis à rester dans un plan s'attirent suivant la loi newtonienne : trouver tous les cas où le mouvement de deux des points autour du troisième est identique à celui d'un point attiré vers un centre fixe suivant la loi de Newton. PJ.
62. Un cylindre auquel est attaché un corps pesant, symétrique par rapport à un plan perpendiculaire à l'axe du cylindre, peut rouler sans glisser sur les deux parties d'un plan horizontal séparées par un intervalle destiné à laisser passer le corps attaché au cylindre ; mouvement de ce système. PJ.
63. Mouvement d'une tige pesante assujettie à glisser sur deux droites fixes dans un plan vertical ; pression sur les deux guides. PJ.
64. Mouvement d'une chaîne pesante, mince, mais nonhomogènc, enfermée dans un tube dont la forme est celle d'une cycloïde située dans un plan vertical a\ec sa base horizontale et son sommet en bas. PJ. SG.
es. Un fil est enroulé sur un cvlindre mobile autour d'un axo
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horizontal et porte à ses extrémités deux points auxquels on imprime une certaine vitesse tout en laisant les fils verticaux : déterminer le mouvement du système en supposant que l'air oppose aux poids une résistance proportionnelle au carré de leur vitesse. SG.
66. Un fil inextensible et sans masse repose surdeux petites poulies A et B situées à la même hauteur et porte à ses extrémités doux poids égaux à P; au milieu de AB on pose sur le fil un poids Q et on l'abandonne sans vitesse initiale : déterminer le mouvement du système. Cas où Q est beaucoup plus petit que P. SG.
67. Une plancl:e très mince de forme quelconque repose sur un cylindre horizontal sur lequel elle ne peut que rouler sans glisser: loi de ses oscillations quand elle est écartée de sa position d'équilibre. SG.
68. Une portion d'une chaîne homogène est pelotonnée, tandis que l'autre portion forme une ligne droite sur un plan horizontal et se termine par une masse ; on imprime à celle-ci une certaine vitesse suivant la direction de la portion de chaîne qui est déroulée, et l'on demande le mouvement du système en supposant que la chaîne se déroule sans effort. SG.
69. Une tige de masse négligeable porte à ses extrémités A et B deux poids égaux ; A est libre, et B assujetti à rester sur une droite inclinée et polie : mouvement du système en supposant que AB reste toujours dans le môme plan vertical ; tension de AB et pression qu'elle exerce sur son guide. SG.
70. Sur un plan horizontal poli repose un parallélépipède rectangle; dans sa section verticale médiane on a creusé un canal de forme connue dans lequel peut glisser une petite bille; le prisme est d'abord immobile et la bille abandonnée sans vitesse : mouvement du système. Cas où la forme du tube et celle d'une cycloïde convexe vers le bas, et où la bille part du point de rebroussemeni, de la cycloïde. SG.
