Voyons maintenant comment au moyen de la relation

on obtiendra, dans chaque cas, les équations du mouvement. Les conditions

devant être satisfaites par le système dans sa position actuelle et dans celle qui correspond à un déplacement quelconque, il faudra diiTérentier les équations (2) par rapport à x^j^ z, x' , . . . , sans faire varier le temps. On aura ainsi entre les variations dx, dj-, §z, §x' , . . . ,

(*) Les déplacements Sx-, S}',.., satisfont aux équations (?L=o. ^ M = 0, ..., c'est-à-dire

dL ^ dL ,

dx dy

tandis que l'on a

dL ^ dL , rfL ,

di dx dy '

On ne pourra donc pas prendre en général èx^^dx, on ne pourra le

. ^L dm

faire que si — = 0, — = o, . . . , c'est-à-dire que si les liaisons L == o,

M = 0, . . . sont indépendantes du temps.

lOO COUnS DE MÉCANIQUE.

les i équations suivantes :

dl. , r/L , dL , dL , ,

S.r ^ Sy-l- Sz + - -, Sx' + ...-„-= o,

dx dy dz d.i'

du ^ rfM , r/M, ,n\ ^ ,

[3) \7rJ-^-'--dy^^^^'''^d?^''-^---'''-''^

r/N ^ dN\ dN , ^/N , ,

-— (î,r H- ~— Sy -Ir- -— ÙZ-h -—: 3.1-' -{-... -z o,

dx dy dz dx

Si n est le nombre des points du système, il y aura donc 3 7i — i variations arbitraires et i variations fonctions de celles-là déterminées par les i équations précédentes. On portera les valeurs de ces / variations dans l'équation (i), et égalant à o les coefficients des 3« — i variations restantes, on aura Zn — i équations différentielles entre le temps, les forces et les coordonnées des points du système. En y joignant les i relations (a), on aura 3/i é([uations pour déterminer les Zn variables x, y, z, x',j', z' , ... ^ en fonction du temps t. Il restera à intégrer ces équations pour connaître la position de chaque point du système à une époque quelconque du mouvement.

490. On peut, comme on l'a fait dans une autre occasion (160), employer la méthode des multiplicateurs. En multipliant les équations (3) par des coefficients indéterminés X, p, V, . . . , les ajoutant avec Téquation (i), puis égalant à o les coefficients des dn variations, on a les 3 « équations suivantes :

"" dt^

, dh dU JN dx dx dx

dC'

,^ dl. dU r/N

= Y + X— -+ f.—- -hv— -

dy dy dy

(4) { d^z ^ clL dU dN

dt^ dz ^ dz dz

,^P^ clL du r/N

dt^ dx' ' dx' dx'

TRENTE-SIXIÈME LEÇON. 10 t

L'élimination des / indéterminées 1, u, v, . . . entre ces équations donnera 3/? — /équations : en y joignant les /équations (2), on aura 3 « équations pour déterminer les valeurs des 3« coordonnées x^j, z, x' , . . . en fonction du temps.

491. Les facteurs ^, /tx, v, . . . représentent les forces perdues et font connaître les tensions et pressioîis qui s'exercent dans les liens physiques du système. Pour le bien comprendre, décomposons, comme nous l'avons fait plus liaut (486), la force P dans les deux forces — Q et R,

et opérons la même décomposition pourles forces P', P",

On sait que si l'on supprime les forces R, R', R''', . . . , chaque point conservera encore son mouvement. On sait, déplus, que sous l'action des forces Q,Q',Q'', . . . chaque point aurait encore le même mouvement, quand bien même il deviendrait entièrement libre*, de sorte que les points assujettis aux liaisons données se meuvent alors sans exercer aucune action les itns sur les autres^, et par conséquent les liens physiques du système n'éprouvent ni tensions ni pressions lorsqu'on a supprimé les composantes R, R', . . . .

Si l'on rétablit ces composantes, elles se font équilibre à l'aide des liaisons du système, et le mouvement demeure le même. On voit donc que ces dernières forces produisent seules les tensions et pressions dans les liens du système. Par conséquent, lorsqu'on connaîtra R, R', R", ...» on pourra déterminer les actions que les liaisons produisent sur les points du système, et par suite les tensions et pressions que les liens éprouvent, comme on l'a vu, dans un système de points assujettis à des conditions quelconques et soumis à des forces données qui se font équilibre.

492, On a d'ailleurs les expressions des forces perdues R, R', R", — Les composantes de R, parallèles aux axes.

I02 COURS DE MÉGAKIQUE.

sont

d^x X — tn ——- ?

dl'

celles de R' sont

dt^

dW'

Or les équations (4) donnent

d'.T ( ^ dh dM dt^ \ dx dx

dx ]

d'y / dL dM dt' \ df ^ dy

dN \

d^z ( ^ dL dM df \ dz ^ dz

dz -^ ■')-'

d\x' 1 dL dM

"%. ■ — m • — — 1 A -t— IL

^ dL' \ dx ^ dx'

dx' ^■■■)

expressions dans lesquelles il faut remplacer ^, ^, v, . . . par leurs valeurs déterminées au moyen des équations (4).

TRENTE-SEPTIÈME LEÇON. Io3