DEUXIEME PARTIE. — PYNAMIQUjK. 5l

dans laquelle e est supposé plus grand que Tunité, e( qui représçute une branche d'hyperbole, dans l'intérieur de laquelle est le foyer pris pour pôle : les angles «t> sont comptés à partir de la droite menée du foyer au sommet de cette branche. Il suflSra, pour établir l'identité des deux équations , de poser

bc'' , , c^

Ces équations déterminent e et a, et, par conséquent, dans le cas de 6 ]> o, la trajectoire est une branche d'hyperbole dont Torigine occupe le foyer, et dont l'axe fait un angle Ôi avec l'axe des x.

On voit par ce qui précède que, quelle que soit la section conique décrite en vertu de la force centrale, on a toujours

p z=z "j p désignant son demi- paramétre. Ainsi la constante c , ou le double de l'aire décrite dans l'unité de temps par le rayon vecteur du mobile, est toujours proportionnelle à la racine carrée du paramètre de sa trajectoire : elle

est égale à cette racine multipliée par }/[i,

27. On peut facilement obtenir l'équation de la trajec^ toire en cordonnées rectangles , et l'on retrouvera les résultats que nous venons de déduire de l'équation polaire. On prendra pour axe des x la droite menée de l'origine sous l'angle Q avec l'axe des 0:5 ce qui donnera

j?= rco8(9~-ô,), j = rsin (Ô — 0,), x^-hj»=:r^.

Eliminant cos (9 — : 9^) entr« la première de ces équations et l'équation (6), on obtient

=P ^ i/ iH

d'où l'oia déduit

ëquaiiou qui représente une ellipse si i est négatif, une - parabole s'il est nul^ et une hyperbole s'il €St positif* Dans les trois cas , l'axe sur lequel sont comptés les ,r est un axe de la courbe, et l'origine est un foyer, puisque la valeur de r en fonction de x est rationnelle.

On peut observer que la nature de la trajectoire ne dé-

pendant que de i, dont la valeur^ est p] -j ne dépend

que de la distance initiale et de la grandeur de la vitesse initiale, mais nullement de la direction de cette vitesse. Ce résultat coïncide avec celui que nous avions déjà obtenu par une autre voie.

L'équation de la trajectoire étant coii^ue , il ne reste plus qu'à déterminer les coordonnées du mobile en fonction de t : c^est là ce que l'on appelle ordinairement le problème de Kepler.

Nous ferons le calcul dans le cas où la courbe est une ellipse , comme cela a lieu pour toutes les planètes : nous la rapporterons à des coordonnées polaires r, 6, et nous compterons les angles à partir de la direction de la droite qui va du foyer au sommet le plus voisin. Cela revient à supposer 0, = o, ou o) = 65 nous aurons alors