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dans laquelle a et e sont des quantités que nous avons déterminées d'après les données initiales.
Si Ton élimine une des deux quantités 0 et r entre les équations (i), (2), on en obtiendra une entre t et l'une des coordonnées 5 en l'intégrant, on connaîtra cette coordonnée en fonction de f , et l'autre coordonnée s'en déduira en fonction de ï, d'après l'équation de la trajectoire.
VEUX1£MK PARTIS. — l^NAMIQUE. 5'3
Elimiuaut aiusi dô ^on obtient
; de' r'^ r ' '
rdr
'dt=z±
Si Ton prend pour origine des temps Finstant où l'on a 0 == G, la planète est au sommet le plus voisin du foyer, qui correspond k r= a (i — e),et qu'on nomme le pénhélie. Le point diamiétralement opposé de l'ellipse se nomme Vaphélie^ le rayon vecteur est alors à sa plus grande valeur, dont l'expression est r = a (i -f-e). D'après cela, dr est positif depuis le périhélie jusqu'à Taphélie, et négatif depuis ce dernier point jusqu'au retour au périhélie. Ainsi , dans la première moitié de la trajectoire, on doit prendre
l'équation
rdr
de =
^br' 4- 2 f* /* — c^
et daûs Vautre moitié, on changera le signe du second membre. On intégrerait facilement celle expression, au. moyen d'un arc de cercle et d'un radical algébrique. Cette forme serait peu favorable au calcul de o en fonction de t ', et il est plus convenable d'infrôduire une nouvelle variable au lieu de r.
Si l'on observe que /• est toujours compris entre a (i — e) et a (i -H e), on voit qu'on peut poser
r = û[(i — ecosu).
Cet angle u passe en même temps que 9 par les valeurs 0, 71, 2 7r; on lui a donné le nom d anomalie excentrique ^ (il l'angle 0 s'appelle anomalie vraie de la planète.
L' équation de l'ellipse étant d'ailleurs
X étant l'abscisse comptée à partir da centre, on voit {Ji^* 4) que II n'est autre chose que Tangle AON, N étant le point du cercle décrit sur le grand axe, qui a la même abscisse que le point M de l'ellipse.
En faisant cette substitution dans la valeur de dt^^ et remettant, au lieu des constantes &, c, leurs valeurs tirées des équations (7), qui sont
, tt / .
6 = — -f c'=r^ûr(i — e'j,
il vient
= a \/-.(i — tf cos«) du, V f*
dt
Si l'on int^re cette équation, en observant qu'on a en même temps ^ = o, m = o, et si Ton fait, pour abréger,
Va n
on obtient p n
nt =z u — esmu\
celte équation détermine u en fonction de ^, et Tqd aura ensuite r au moyen de l'équation
rz=. a [\ — c cos u).
Enfin 0 sera connu d'après l'équation de la- trajectoire. On aura d'abord, en égalant les deux valeurs de r.
tf ces u =z
