Si le point était assujetti à rester sur une courbe

20 COURS DE MÉGANIQUE.

donnée, il faudrait, pour qu'il fût en équilibre , que la résultante fût perpendiculaire à la tangente. Or cette dernière ligne fait avec les axes des angles a , & , c dont les cosinus sont déterminés en fonction de x, y , z par les équations de la courbe. La condition d ^équilibre sera donc exprimée par l'équation

X CCS a -h Y ces ^ 4- Z cos c = o.

Si cette équation n'était pas satisfaite pour le point donné, il n'y aurait pas équilibre. On déterminerait le point de la courbe où les forces données seraient détruites, en cherchant les valeurs de jc, j^, z , qui satisferaient à cette équation et aux deux équations de la courbe.

Autre manière d'avoir égard à la résistance des surfaces

ou des lignes,

26. La résistance d'une surface ou d'une courbe produisant toujours une force normale, on pourrait substituer cette dernière à la surface ou à la courbe, et considérer alors le point comme entièrement libre. La grandeur do celte force sera une des inconnues de la question; sa direction sera dans l'un ou l'autre sens de la normale, s'il s'agît d'une surface, et ne sera assujettie qu'à être perpendiculaire à la tangente, s'il s'agit d'une courbe.

27. Considérons d'abord le cas d'une surface dont l'équation soit F(j:, y^ z) = o\ soient N l'intensité de la force normale qui la remplace , et a , £ , c les angles qu'un des deux sens de la normale fait avec les axes *, les composantes de N seront

dt N cos a, ± N cos b , zt N cos c ,

les signes supérieurs correspondant à l'un des sens de la normale, et les signes inférieurs à l'autre. Maintenant, le

PïlEMli&£ ANNEE. — STATIQUE. 21

point devant être considéré comme libre, les deux forces qui le sollicitent doivent être égales et opposées , ainsi que leurs composantes respectives ; les équations d'équilibre seront donc

XzbNcosfl = o, Y±Ncos^ = o, Z±Ncosc=o, d'où , en éliminant N ,

CCS a CCS b ces c

Ces deux équations sont nécessaires et suffisantes pour l'équilibre , parce qu'elles en remplacent deux des précédentes, et que la troisième sera toujours satisfaite en prenant une valeur convenable de N et un signe convenable pour le second terme.

Mais on calculera plus facilement N en observant que, puisqu'elle est égale et opposée à la force donnée , sa valeur sera

28. Considérons maintenant un point assujetti à rester sur une courbe dont les équations soient

La force N , qui remplace la résistance delà courbe, peut avoir une direction normale arbitraire. Les angles a , £ , c ^ que la tangente à la courbe fait avec les axes, sont des fonctions de j: , y, z données par les deux équations précé-dentés. Si l'on désigne par a , S , y les angles que fait av€o les axes la direction de la force N, on aura

cos a ces a -h cos b cos € -+- cos c cos 7 r= o , et les équations de l'équilibre seroni

X 4- N cosa =±: o, Y-hNcos6 = o, Z -h N C0S7 ==: o;

22 COUBS DE MECANIQUE*

On éliminera les inconnues a, 6, y, N en multipliant ces équations , respectivement par cos a , cos b , cos c , et les ajoutant; on trouve ainsi , en vertu de la précédente ,

X cos rt -f- Y cos ^ + Z cos f = o ,

équation nécessaire et suffisante pour que les quatre équations puissent avoir lieu en même temps. Les trois précédentes détermineront la grandeur et le signe des composantes N cos a 5 N cos 6 , Ncos y, qui sont égales et de signes contraires à X , Y, Z, et donneront pour la résistance de la courbe une force égale et opposée à la résultante des forces données, comme cela devait être évidemment.