QO COURS DE MÉCANIQUE

on trouve, en désignant par a une constante arbitraire, d'où Ton tire

qmm

oic^ -f- I

Si Ton désigne par q^ la valeur initiale de q^ on aura

iw(a— l) m-\- q.

a-jr l m — q^

Au moyen de cette valeur dey, on connaîtra^ etren fonction de f.

Les équations ( 25 ) feront donc connaître d et f au moyen de t. L'équation (26) donnera, en remettant pour r s? valeur en fonction de y,

ce qui s'intégrera sans peine en substituant la valeur de f en t. A mesure que t croit indéfiniment, q tend vers là li-

mite m ou -9 et par conséquent p et r vers zéro. L'axe instantané de rotation tend donc alors vers le prolongement de l'axe moyen de l'ellipsoïde , sur lequel sont comptés les ji positifs. On a donc ici, comme l'a annoncé M. Poinsot, le cas remarquable, où l'axe instantané étant pris d'abord très-près de l'axe du moment moyen , ne s'en écarterait jamais que très-peu, et même s'en rapprocherait indéfiniment.

DFUXIÈME PARTIE. -:~ DYNAMIQUE. igi

Mais il faut faire une observa lion importante. La valeur

limite de <7 est + - lorsque le signe de dq est positif comme

nous l'avons supposé ] cela exigeait que p et r eussent des valeurs initiales dje même signe , et alors ces signes se con-« servaient parce que p o\ir ne peuvent devenir nuls que si (j^ devient égal à m', ce qui n'arrivera que pour f =00 . Si , au contraire , p et r avaient été donnés de signes contraires dans l'état initial, on aurait pris pour la valeur de dq le signe contraire à celui qu'on a pris, ce qui revient à changer [X en — |x dans le résultat. On trouverait aloi's — m pour limite de ^^ de sorte que Taxe instantané tendra vers l'un ou l'autre des deux sens opposés de l'axe moyen de l'ellipsoïde, suivant que/7 et r seront donnés de mêmes signes ou de signes contraires dans la position initiale, ou, en d'autres termes, suivant que l'axe instantané , dans sa position initiale, fera, avec les axes des Xi et des Zi positifs, des angles à la fois aigus ou obtus, ou bien l'un aigu et l'autre obtus.

Du double mouvement d'un corps solide libre.

123. Lorsqu'un corps solide se meut dans l'espace, en vertu d'impulsions primitives et de forces continues quelconques, on peut considérer son mouvement, pendant chaque intervalle de temps infiniment petit, comme composé d'un mouvement de translation et d'un mouvenient de rotation.

Pour cela, t)n prendra l'un quelconque des points de ce corps, et à chaque instant on donnera au système un mou* vement, par lequel chaque point décrira une droite infiniment petite, égale et parallèle à celle que doit décrire, peudant cet intervalle de temps, le point particulier que Ton. considère ^ puis on supposera ce point imnu)bile, et

192 COfJBS DK MÉ^AMIQUE.'

Ton fera tourner le corps , jusqu'à ce que chaque point ait pris la position qu'il devait occuper à la fin dé ce même intervalle.

Le point dont le mouvement règle à chaque instant le mouvement de translation du système, peut être prisari^itrairement, pourvu qu'il y soit lié invariablement; mais il y a beaucoup d'avantage, comme nous allons le voir, à choisir le centre de gravité du corps.

En effet , nous avons démontré que ce point se meut delà même manière que si toute la masse du corps s'y trouvait réunie et que toutes les forces qui agissent y fussent appliquées. On connaîtra donc immédiatement là direction et la grandeur de la vitesse initiale qu'il prendra en vertu des impulsions données.

Pour achever de connaître le mouvement initial , concevons toutes les forces données réduites à une force appliquée au centre de gravité et un couple. Nous pourrons, comme nous l'avons démontré n^ 44, déterminer les deux mouvements qui auraient lieu séparément par l'action de cette force, puis du couple; en composant ces deux mouvements pour chaque point , ou aura le mouvement résultant de l'action simultanée de toutes les forces.

Or la force résultante appliquée au centre de gravité peut être décomposée en forces égales appliquées à tous les éléments égaux de la masse du corps, et, par conséquent, elle donne une vitesse égale et parallèle à tous les points ; il en résulte donc un mouvement commun de translation.

Quant au couple, il ne peut produire aucun déplacement du centre de gravité, puisque ses deux forces transportées à ce point se détruisent : le mouvement qu'il produit ne sera donc pas altéré en fixant invariablement le centre de gravité. Mais alors on peut introduire la force résultante, qui sera détruite par le point fixe, et Ton aura ainsi le sysr lème de toutes les forces données. D'où l'on voit que le mou-

DF.UXliHE J»ARTIE. — OVifAMIQUE. îqS

vcnient de rptalion que nous considérons , peut lêtre regardé comme produit par les forces d'impulsion , agissant en leurs points d'application respectifs sur le corps dont nous auronft fixé fë centre de gravité.

Nous pouvons donc énoncer cette première proposition :

Les vitesses que prennent instantanément les différents points d*^un corps solide libre, peuv^ent être considérées comme les insultantes de celles qui se rapporteraient à deux mouvements distincts : Vun de translation^ produit par les forces d'impulsion transportées parallèlement à elles-mêmes au centre de gravita ^ Vautre de rotation^ produit par le système même des forces doîtnées agissant sur le coi'ps dont le centjx^ de gravite aurait été invariablementfixéu

Au moyen de cette proposition, le mouvement initial du corps est entièrement conr^u, puisque l'on sait déterminer celui d'un corps autour d'un point fixe. Quant à ce qu'il deviendra par la suite, nous savons que le centre de gravité se mouvra de la même manière que si toute la masse y était réunie, et que toutes les forces continues y fussent transportées, sans changer de grandeur et de direction. Maiâ ces forces, dépendant , en général , de la position des points, se trouvent, par cela même, dépendantes du mouvement de rotation; de sorte que Ton ne peut calculer séparément le mouvement du centre de gravité du corps, excepté dans le cas particulier où les forces auraient des directions et des intensités constantes, comme, par exemple dans* le cas de la pesanteur.

Au reste, on peut toujours établir la même proposition relativement aux forces continues, que relativement aux forces. instantanées. En effet, considérons le corps à un instant quelconque : on peut supposer qu'il part du repos et qu'il est sollicité, d'un coté, par des forces insfantanéesqui donneraient à chaque point la vitesse qu'il a 5 d'un autre II. i3

iq4 r.01!B» DE MKCANIQUE.

côté, par les forces continues qui ne peuvent ptodoire qne des vitesses infiniment petites dans un intervalle de temps infiniment petit, et que Ton peut regarder comme de» force& instantanées agissant au commencement de chaque intervalle de temps infiniment petit. Or, d'après le principe que nous avons rappelé, on peut déterminer séparément le» vitesses produites par ces. deux systèmes, et les composer ensuite. Le premier produira Teifet qui avait réellement lieu à l'instant considéré ; le second est identique avec celui que nous avons discuté d'abord, et , par conséquent , il produira une vitesse de translation infinimient petite,, due à tontes les forces continues transportées parallèlement à elles-mêmes au centre de gravité, et un mouvement de ith tation autour du cehtre de gravité rendu fixe, produit par toutes ces forces dans leur véritable position .

Ainsi donc , si Von conçoit par le centre de gratnié dit corps trois axes rectangulaires gui se meuvent parallèle^ ment, à enX'-mémeSy leur point de rencontre se mourra comme si toute la masse du corps y était réunie^ et que toutes les forces instantanées ou continues y Jussent ap^ . pliquées^ et le moui^ement du corps ^ par rapport à ce$ axes y serçL le même que si leur point de rencontre étaà in" îmriablement fixé et que toutes les forces qui sollicitent les diff^ents points dans le moui>emeni réel fussent ap' pliquées de la même manière à ces mêmes points,

124. application à r ellipsoïde pesant, — Supposons qu'un ellipsoïde homogène reçoive une impulsion dont la direction soit comprise dans le plan de deux de ses axes priacipanx relatifs à son centre de gravité, et scAt ensuite abandonné à Faction de la pesanteur. Désignons par fiu h quantité de mouvement qui mesure la force instantanée, par/ la distance de cette force au centre , pal* & et c les deux demi -axes qui sont dans le plan de la force , et par a le troi-

UEUXIKME PARTtE. — DVNAMIQYJK. ig5

sième; enfin par M la masse de l'ellipsoïde, et par V la vitesse initiale de son centre de gravité.

Le centre de gravité, qui est le centre de rellipsoïde, devant se mouvoir comme si la masse M y était concentrée, et fût sollicitée au premier instant par la force juii^, puis par son poids ) ce point prendra d'abord, dans une direction parallèle à celle de Timpulsion ^ une vitesse dont la valeur sera ,

et il décrira Une parabole tangente à cette direction initiale, et dont l'équation se calculera comme dans le cas d'un point libre. Pour connaître son mouvement par, rapport à trois axes passant par son centre et parallèles à des directions fixes , il faut supposer que le centre soit fixe et que la force d'impulsion ainsi que la pesanteur agissent sur l'ellipsoïde ainsi assujetti. Mais on peut faire abstraction de la pesanteur, puisque le centre de gravité est fixe, et i| suflBt de déterminer la rotation produite par l'impulsion. Cette force étant située dans un plan perpendiculaire à une droite, qui est un axe principal relativement au point où elle est coupée par ce plan , et de plus ce pojnt étant fixe , il s'ensuit que le mouvement aura lieu indéfiniment autour de cet axe. La vitesse angulaire oi> s'obtiendra en divisant le moment [luf àe la force par le moment d'inertie du corps par rapport à l'axe fîxe^ on aura donc

OU, en introduisant la vitesse initiale V du centre de gra*

vite,

ig/6 CToims pe. mécaiviqce.

On voit doue que l'axe de rotation sfe transporte parallèfement à lui-même , et que le corps tourne uniformémeut a1^ tour de cette droite, que Von pourra déterminer à. chaque instant, puisqn^on connaît le mouvement du centre de gravité qui en est le milieu. On déterminera donc facilement la position de tous les point» de Tellipâokie à un instant quelconque.

Dans le cas où il serait réduit à une sphère pleine on creuse, homogène ou seulement formée de couches homogènes , tout diamètre serait un axe principal ; le mouvement de rotation aurait lieu autour de. celui qui serait perpendiculaire au plan mené pai^ le centre et la direction de fa force d'impulsion , et la direction de cet axe serait constamment parallèle à elle-même.

Le mouvement de rotation de cette sphère ne serait pas altéré si tous les points étaient attirés vers d'antres points par des forces proportionnelles aux masses et à une fonction de la distance, parce que la résultante des actions exercées par un point quelconque sur la masse entière de la sphère passerait par son centre de gravité. Mais si le corps était tant soit peu différent d'une sphère, il n'en serait plus ainsi, et c'est ce qui arrive par exemple dans le cas de la terrc^