POINTS

125. Lorsqu'un système do points est en équilibre, et quon le déplace infiniment peu, d'une manière quelconque, en l'abandonnant ensuite à l'action des mêmes forces, il arrive de deux choses l'une ; ou les déplacements successifs de chaque pOint par rapport à sa position d'équilibre

DËtXlÈUK PARTIE. — DYNÀttIQUE. \Çj^

reslent toujours irès-petîls^ ou ils peuvent acquérir', au bout d'un certain temps^ des valeurs finies. On dit , dans le premier cas, que l'équilibrée est stable^ et« dans le second ^ <]u'il est instable.

Cela posé, considérons Féquilibre d'un système de points assujettis à des liaisons quelconques indépendantes du temps, et telles que ^ (\dx -^Y efy -hTidz) soit la diffé^ rentiellc exacte d'une fonction (f (x^y^ z, x',...).

Nous savons que, dans la position d'équilibre, cette fonction sera , en général , maximum ou minimum relativement à toutes les variables indépendantes. Or nous al* k>BS démontrer que , quand elle est maximum , l'équilibre est stable.

Supposons, en efl'et, un système de points en équilibre , sous l'action de forces X, Y, Z, X',..., telles, que l'expression

2(Xr/x-hYrtr/4-Zr/z)

soit la diiléreutielle totale d'une certaine foi)£lioii 9 (^*, /, s, -t',...) en considérant les variables x, y, 5:, j;',. .. comme indépendantes. En vertu du principe des vitesses virtuelles, la ditTérentîelle de la fonction 9 sera nulle pour tous les déplacements infiniment petits du système, qui satisferont aux liaisons auxquelles il est assujetti. Supposons 'qu'alors cette fonction (f soit un maximum relativement à toutes les valeurs qu'elle prend dans ces divers déplacements. Désignons par a, i, c, a',.-- les valeurs de x^y^ z ^ a*',..., dans la position d'équilibre*, déplaçons chacun des points de quantités extrêmement petites^ et communiquonsleur des vitesses très-petites 5 il s'agît de démontrer que le dérangement du système restera toujours très-petit , et que, par conséquent, l'équilibre sera stable.

En effet, posons

4p=:tf-h*, J = ^4-^, 5=:c4-/, Ji:' = fl' 4" ^S etc.» .

igS COURS DE MÉCANIQUK.

et désignons "par ^09 ^'» v '^ vitesses très-petites que Ton a commnniquées aux différents points; Inéquation des forces vives deviendra

/i0, Ato 9 /«,.-' représentant les déplacements primitifs très» petits, estimés parallèlement anx axes.

Or, puisque la fonction 9 (x, /, Zy x',..,) est maximum, lorsque Xy y^ 2,... ont les valeurs a, &, ^)--^> les termes du premier degré en A, A, /,... disparaissent dans le déve^ loppement de y (a -f- A, i 4- Ar, c -f- /,...) 5 et les termes du second ordre, changés de signe, peuvent se mettre sous la forme d'une somme de carrés de quantités dont cliaque terme renferme, au premier degré, l'une des quf^ntitÀ A, Ar, /,..., et qui sont en nombre égal à celui des variaUes indépendantes. Si Ton désigne ces diverses quantités pari, 5^, 5'^,..., et par R TensemUe des termes de degrés supé^ Heurs au second , on aura

<p(fl-hA, h-y-h^ c-h/,...)

et, de même,

t^'équation (i) devient donc

4- ( 5 ; 4- *V -H /o ' H- . • • ) -H R — R . ; OU, en représentant ps^r c la quantité très-petite

j2///pj4-^;4-iV4-/;'4- ...— R«. .

(a) ;- ^tm' = c — (.V' 4- J('' H- ^"^ 4- ...)-+- I^^

BÊUXJJLME PARTIE. -^ DYNAMIQUE.. 1^

L^ quand lés h^k^l^ A',.«* ^^ ^^^^ P^^ toutes iuçlépcndautes, et Tou pourrait eu éliminer un certain nombre au moyen des équations qui expriment les liaisons du système. Celles qui resteraient entreraient au premier degré dans les divers termes des quantités s^ s\ s"^,,, dont le nombre est le même que celui de ces variables indépendantes. Il suit de là que si ces dernières ont des valeurs très-petites, il eai «era de même de 5, s\ s'\,,^^ et réciproquement. Il suffi! . donc de démontrer que 5, 5', 5^,. . resteront constamment très-petite» pour qu^il en résulte que les déplacements des points du système restent eux-mêmes très-petits, et que, par conséquent , l'équilibre est stable.

Or^ le premier membre de Téquation (2) étant essetttiellement positif, il en sera constamment de même du. second ^ et il est facile d'en conclure que chacune des quantités 5*, 5",... restera toujours inférieure à c. En eifeti d'après la valeur de c, cliacune des quantités j>', 5",... est d'abord moindre que c\ elles varient ensuite d'une manière continue. Supposons qu'il puisse arriver alors que Tune d'elles, par exemple ^*, devienne égale à e, et ce sera la plus grande de toutes, elle sera encore très-peUte, et il en sera de même, à plus forte raison, de toutes les autres. "Donc A, A, /,... seront aussi très-petits, et la quantité R sera incomparablement moindre que chacune des qUan-^

tités J*, 5", Donc l'hypothèse 5' = c conduirait à ce

résultat absurde, que le second membre de l'équation (2) serait négatif. Les quantités 5, 5', s'\,,. restant donc toujours inférieures à y/c, et, par conséquent, très-petites, il en sera de même des déplacements /i, A^, /,.--5 et l'é^mlibre sera stable.

Lorsque la fonction cp (jc, j-, ^, a:',.*-) est un mininlum , on ne peut faire des raisonnements analogues pour démontrer Tinstabilité de l'équilibre , et il faut cxamitier spécialement chaque cas particulier.

200 COUËS DE BiicAlUfQÛt.