DEUXIÈME PARTIE. — HYDROSTATIQUE
et^ par Suite,
ce qui prouve que la somme des moments virtuel^ des forc^ est égale à zéro.
Equations générâtes de V équilibre des fluides.
137. Soient X, Y, Z les composantes de la force, rapportée à l'unité de masse, qui agit au point dont les coordonnées ^ont a: , y , z ^ désignons par p la densité du liquide , et par p la pression en ce point, rapportée à l'unité de sur* face : p et p sont des fonctions de x^y^ Zj que Ton se propose de déterminer quand l'équilibre est établi.
Si au point dont les coordonnées sont x, y^ z , on con-*çoit un parallélipipède dont les arêtes soient parallèles aux axes et respectivement égales aux diâerentielles dx^ dy^ dz^ sa masse dm sera égale k pdxdydz et sera soUicitécTpar les trois forces
pTLdxcfydZy pY dxdjrdz^ pZdxdjrdz-,
ses six faces seront sollicitées par des forces parallèles aux axes , et dirigées vers ^intérieur de son volume. Si l'on considère d'abord les deux faces parallèles au plan des x et jr, dont l'un passe au point dont les coordonnées sont x^y^ ^, et l'autre au point qui a pour coordonnées x^y^ z-^-dz^ la pression exercée sur la première est p dx dy \ et sur la seconde elle est
— dxdf
hP-)
-^ étant la dérivée partielle de p par rapport à z. Chacune
dz
d'elles peut être regardée comme constante dans toute l'éien.due de la face correspondante, sans qu'il eu résulte d'erreur
at4 COUBS DE MÉCIANIQUE.
dans les équations, considérées à la limite. Les deux forces auxquelles se réduisent les actions exercées respectivement sur ces deux faces sont donc des forces directement opposées , et elles se composent en une seule , parallèle à Taxe des z et égale à
dp
De même , les pressions parallèles à Taxe des j^ et à Taxe des X se réduisent aux forces
— dx dydz -i-i — dxdydz -/- • dy -^ dx
Ces trois forces peuvent être considérées comme agissant au centre du parallélipipède , ainsi que la résultante des forces appliquées à tous les points de sa masse , puisque ces forces doivent être regardées comme constantes de grandenr et de direction , et que la densifté peut être supposée la même en tous les points du parallélipipède. Il est donc nécessaire et suffisant , pour son équilibre , que les forces parallèles i chacun des axes soient en équilibre entre elles ^ ce qui donne les trois équations
^'^ di^-^^^ Ty-^^^ Tz^^^'
Multipliant ces équations respectivement par dx^ dy^ dzy et les ajoutant , il vient
(2) dp = p{Xdx -hYdy-hZdz);
ce qui apprend que si le fluide est en équilibre , l'expression
p{XdX'hYdy'hZdz)
est la différentielle totale d'une fonction de x, y, 2 , et que cette fonction donne nécessairement Texpression de la pression, à une constante arbitraire près.
