DEUXIÈME PARTIE. — HYDROSTATIQUE

génératrice rencontre le cylindre , valeur qui est égale à

On aura donc , pour déterminer c , l'équation

d'où l'on tire

L^équation de la surface qui termine le liquide est donc

11 reste, maintenant à déterminer la pression en un point quelconque. Or^ en intégrant la valeur de dp^ on trouve, en désignant par c une constante arbitraire ,

/? = — g'p2-j-p-(x'-f-jr2) ^ç,^

et Ton déterminera c' en exprimant qu'à la surface on a ^ =: P • on trouve ainsi «

d'où ^

ce qui donne la solution complète de la question.

On peut observer que, k)rsque le liquide part du reposée parvient à sa position d'équilibre dans le mouvement de rotation , le point de la surface libre qui était sur l'axe s'est abaissé autant que les points en contact avec le cylindre se soire élevés. En effet ,1^ hauteur c du sommet du par^bo^

222 COUHS DE MECAVIQUE.

loïde qui termine le liquide est égale k h y — > et la hauteur des points du paraboloïde qui sont sur la surface du cylindre, est

c H y ou A H — 7— •

Or, ces deux hauteurs diflerent de la hauteur primitive i, de la même quantité -r--

143. Proposons-nous maintenant le cas où les molécules du liquide renfermé dans le vase seraient sollicitées par une force dirigée vers un point fixe et proportionnelle à la distance à ce point.

Si nous désignons par ^f. la valeur de cette force à Puni té de distance 9 et que nous prenions pour origine le point fixe vers lequel elle est dirigée, ses composantes se^ ront

Les composantes de la force centrifuge seront, en désignant par 0) la vitesse angulaire,

l'équation différentielle des surfaces de niveau sera donc

(w* — pi) [xdx -{- jrdjr) — \i-zdz = o ,

d'où

pi — w*

£ désignant une constante arbitraire.

Les surfaces de niveau sont donc des surfaces du second degré, de révolution autour de l'axe de rotation.

Elles seront des ellipsoïdes tant qu'on aura co' <^ ^.

Elles deviendront des plans perpendiculaires à l'axe lors-