II. i

Chacune de ses racines réelles ppsitives déternoLinera le rapport des deux axes dé l'ellipse génératrice , et leur giandeur se déduira du volume connu du liquide. Tout se réduit donc à la recherche du nombre et de la valeur des racines de Féquation (i), qui sont égales deux à deux et de signes contraires, mais dont il suffira de considérer les valeurs positives. Ces racines sont les abscisses des points de rencontre de l'axe des x et de la courbe dont Téquation est

(a) r = ^ L j;u arclang^.

Ou trouve, en la difTérentiant,

Cette expression est nulle pour x = o , et positive pour des valeurs de x très-petites; de sorte que la courbe est tangente à Taxe des x à l'origine, et commence par s'élever au-dessus de cet axe du côté des x positifs.

La tangente à cette courbe sera parallèle à l'axe des x, aux points dont les abscisses seront données par Téquation

(3) SX* -f- 2 (Se — i)a:*-f-gg = o.

Si cette équation n'avait pas de racines réelles, la courbe s'éloignerait toujours de l'axe des a:, et l'équation (i) n'aurait pas non plus de racines réelles. Ainsi , on reconnaît d'abord que l'on doit avoir

5s— I<0, ou 6<7,

car sans cela une valeur positive de x^ ne satisferait pas à l'équation (3), et la condition de réalité des valeurs de x* exigerait même que l'on eût e < ?• Mais cela ne suffit pas pour que l'équation (i) ait des racines réelles; il est nécessaire que la valeur de x qui donne le minimum de l'ordon-