DEUXIÈME PARTIE.- — HYDROSTATIQUE

née positive j^, ou , en d'autres termes, la plus grande racine positive de Téquatiofi (3) étant substituée dans (2) , donne pour y une valeur négative. Car alors la courbe coupera une première fois l'axe des x, avant d'arriver à ce point , et le recoupera une seconde fois au delà , puisque l'ordonnée finit par être positive et indéfiniment croissante. Si le minimum de j^ était nul, les deux racines de l'équation (i) seraient égales, et s'il était positif, elles n'existeraient pas. On voit par là que, pour que la question proposée soit possible , il faut que Ton ait l'équation (3) conjointement avec l'inégalité y <^ o correspondante à la plus grande racine de cette équation. Il en résulte , par l'élimination de e ,

arc tapg x — ,—7-^ — tt^ ^ ><>•

Le premier membre de cette inégalité est nul pour a: = p. Sa dérivée est aussi nulle pour cette même valeur, puis elle devient négative quand x croît 5 elle redevient nulle pour la

seule valeur x = ^, à partir de laquelle elle reste constamment positive. Le premier membre de l'inégalité commence donc par être négatif, devient nul pour une seule valeur

de X qui est plus grande que v/3, puis reste constanunent positif. On satisftîra donc à l'inégalité par toute valeur de x plus grande que la racine positive de l'équation

arc tang x — — |^ r-^-^^ : = o.

On trouve facilement, pour valeur approchée de cette racine,

La valeur correspondante de e donnée par l'équation (3) est

228 COURS DE MÉCANIQUI!:.

et Ton reconnaît facilement que la valeur trouvée de x est la plus grande des deux qui , substituée dans Féquation (3), donneraient cette valeur de s; mais cela n'était pas nécessaire à vérifier, parce que le maximum de j^ est nécessairement plus grand que zéro, puisque la courbç s'élève d'abord au-dessus de Taxe des x\ d'où il suit que si une valeur de X tirée de Péquatiou (3) donne y^=o ou j^ <^ o , cette valeur correspond au minimum dey^ et ne peut être que la plus grande des deux racines de l'équation (3).

Toute valeur x' de x^ plus grande que a, 5 293, fournit donc deux valeurs positives pour X, entre lesquelles x^sera compris. Mais , en considérant la plus grande valeur de x^ tirée de l'équation (3), on voit qu'elle varie en sens contraire de e ^ ainsi le problème aura deux solutions quand

on aura

x>2,52g3 et f<^ 0,11 23;

et il en aura une seule pour

a: = 2,5293 et 6 =0,1 123;

X croissant indéfiniment, e tend vers zéro; si l'on remplace e par sa valeur, on a

Cette inégalité fait connaître la plus grande vitesse angulaire qui soit compatible avec la figure d'un ellipsoïde de révolution.

A cette limite de w, il n'y a qu'une seule figure possible. Si l'on fait décroître w à partir de cette limite jusqu'à zéro, l'une des valeurs de X augmente indéfiniment, l'autre tend vers zéro. L'un des ellipsoïdes tend donc indéfiniment vers une sphère, et l'autre vers un plan; de sorte que pour 0) = o on n'a plus réellement qu'une solution, qui est la sphère.

DEUXIÈME P.%RTIE. — HYDROSTATIQUE. 220

De r équilibre des fluides pesants.

145. Lorsque la pesanteur est la seule force qui sollicite les molécules d'un fluidehomogène, on a

fip = ^ pgciz, d'où pz=: —pgz-hc; et si P désigne la pression correspondante à z = /i , on aùi a

Les surfaces de niveau sont des plans horizontaux , et la pression en chaque point ne dépend que dé la hauteur.

Si la densité p était variable d'une manière continue ou discontinue, il faudrait qu'elle fut une fonction de z-t et Ton aurait

146. Lorsque nous avons calculé les accroissements de la pression, en passant d'un point à un autre d'un fluide, nous avons supposé ce fluide décomposé en parallélipipèdes contigus, et nous avons cherché de combien croissait la pression en passant d'une face à la face parallèle. Mais il est clair que, s'il existait dans le fluide des cloisons qui empêchassent la communication des parties, ces raisonnements ne subsisteraient plus, ainsi que leurs conséquences. Et , en général', lorsqu'il existe dans un fluide des cloisons qui n'interceptent pas entièrement la communication , mais qui la modifient, il est nécessaire d'examiner à quel point la théorie précédemment établie se trouve elle-même modifiée par leur présence.

^ Ainsi , lorsque la pesanteur est la seule force qui agit sur le fluide , nous avons vu que l'accroissement de la pression est nul en passant d une face verticale d'un parallélipipède à la face parallèle, mais en supposant que ce parallélipi-

23o COURS DE MECANIQUE.

pède soit formé du fluide sans interruption. D'où il résulte que Ton ne pourra affirmer que la pression est la même en deux points situés sur un même plan horizontal, que dans le cas où Ton pourra passer de Tun à l'autre par Tintennédiaire du fluide non interrompu, et en restant dans ce même plan horizontal.

147. Cela posé, considérons divers liquides en équilibre dans deux vases qui communiquent Tun à l'autre par un canal que nous supposerons horizontal, pour fixer les idées. Menons un plan horizontal par le point le plus bas de ce canal , les liquides qui sont au-dessous de ce plan dans les deux vases pourront être soumis à des pressions très-différentes en des points situés sur un même plan horizontal. Si maili tenant nous menons un plan horizontal par le point le plus élevé du canal , la pression sera la même en tous les points d'un plan horizontal intermédiaire quelconque ; et, pour les plans supérieurs, elle pourra être différente dans les deux vases. Mais dans chacun d'eux les parties supérieures au canal seront soumises aux lois démontrées précédemment, et elles ne seront assujetties Tuné par rapport à l'autre qu'à la condition de produire une même pression sur le plan horizontal mené par le point le plus élevé du canal. Et de même, les parties situées en dessous du canal seront soumises à Taction d'une pression égale , à leur partie supérieure, et satisferont, indépendamment l'une de l'autre, aux conditions générales de l'équilibre.

Ces considérations s'appliquent à la théorie des siphons , des baromètres , des niveaux , de la presse hydraulique, etc. "^

148. Pression sur les parois. — Considérons d'abord une paroi plane , et partageons-la en éléments infiniment petits dl. Désignons par z la distance d'un quelconque d'entre eux à la surface extérieure du liquide, que nous