DEUXIÈME PARTIE. — nTDBOâTATIQUE

151: Considérons, en particulier, les pressîonô exercées sur la surface d'un torps plongé, soit en totalité, soit en partie, dans un liquide pesant en équilibre. Dans ce cas , il est facile de démontrer que les composantes horizontales des pressions se détruisent, et qu'il ne reste que les comporsantés verticales, qui ont toujours une résultante.

En effet, considérons la portion de surface comprise, entre deux plans horizontaux infiniment voisins , et occupons-nous d'abord des composantes des pressions qu'elle supporte parallèlement à l'axe des x. Nous pouvons faire la décomposition de la surface d'une manière quelconque; et, dans ce premier cas, nous la partageronis en éléments par des plans parallèles au plan des a: et r , et infiniment rapprochés; ils se projetteront deux à deux suivant le même rectangle dydz sur le plan des y et z. Or, si l'on désigne par p la pression qui correspond à la distance de la tranche à la surface libre du liquide, et par cr, ë, y les angles que la normale en un point quelconque de la tranche fait avec ks axes des a:, des^ et des z, les composantes de la pression p (ù qui s'exerce sur un élément ci) de cette tranche seront

/7b)Cosa, /9gi>cos6, /7gi>cos7, ou

pdjrdzf pdxdZy pdxdy^

c'eslrà-dire qu'elles sont respectivement égales aux pressions que supporteraient au même point les projections de l'élément a) sur trois plans parallèles aux plans coordonnés. Mais pour les deux éléments qui ont la mènie projection dydz sur le plan des j^ et z^ les composantes parallèles à Taxe des x, ayant ainsi des valeurs égales pdyzy et dan& des directions contraires , se détruiront ; et tous les éléments de la tranche pouvant être considérés ainsi deux à deux , il s'ensuit que toutes les composantes parallèles à Taxe des x,

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des pressions qu'elle supporte , se détruisent mutuellement. Il en serait de même des composantes parallèles à Taxed&y pour lesquelles on ferait la décompositioù en éléments qiii se projetteraient deux à deux suivant la même surface dxdz\ et il résulte de là qu'il ne reste que les composantes verticales des pressions supportées par la tranche. U n'y a donc plus qu'à composer ces dernières dans toute Tëtendue de la surface plongée. .

Concevons cette surface décomposée en éléments qui se projettent sur le plan des a: et / suivant les rectangles dxdy\ dans ces éléments, certaines parties de la surface pourront avoir deux à deux la même projection , et donne* ront lieu à des composantes de sens contraire , qui se réduiront à une force dirigée de bas en baut , «t égale au poids du liquide qui remplacerait la partie du coi*ps ayant la même projection dxdy. Le même résultat aura lieu po.ui^ les éléments de la surface qui seront placés de telle sorte que la verticale qui y passe ne rencontre pas une seconde fois la surface du corps avant de percer le plan horizontal qui termine le liquide.

. Il suit de là que le corps est poussé en sens contraire de la pesanteur, comme le serait, dans le sens de cette force, la partie du liquide dont il tient la place. Toutes les pressions qu'il supporte ont dpnc une résultante égale au poids du liquide déplacé et appliquée au centre de gravité de cette portion du liquide, en sens contraire de la pesanteur. Ce corps est sollicité, en outré, par son poids appliqué en son propre centre de gravi lé 5 de sorte qu'il ne sera en équilibre que si son poids est égal au poids du liquide qu'il déplace, et que le centre de gravité de ce dernier soit sur la verticale menée par le centre de gravité du cprps.

Ce principe d'hydrostatique, qui a été découvert par Archimède , et qui s'applique également aux liquides et aux gaz, s'énonce ordinairement en disant qu'tt» corps plongé