DEUXIÈME PARTIE. -^ HYDROSTATIQUE, ^S
daus un fluide quelconqiia en équdibre, perd une quantité de son poids égale au poids dujluide quil déplace.
152. Dans la démonsU'ation que nous venons d'en donner,^ nous avons analysé toutes les pressio;DS qui ont lieu sur la surface du corps plongé^ maïs on pourrait s'en dîspensei» et en déterminer directement l'effet total. En effet, le corps éprouve les mêmes pressions qu'éprouvait le liquide qu'il déplace, et qu'on pouvait supposer solidifié, sans troubler l'équilibre. Or, cette portion de liquide ne prenant aucun mouvement, il faut que les pressions qu'elle éprouve détruisent exactement l'effet de la pesanteur, etj par conséquent^ aient pour résultante une force verticale égale à son poids et passant par son c^tre de gravité. Donc tout corps plongé dans un fluide se trouve soumis àj'àc* liop de deux forces verticales contraire^ : l'une égale à son poids, et appliquée à son centre de gravité^ TaUtre égale au poîds du liquide déplacé , et passant par le centre de gravité de ce liquide.
Il résulte de là que, pour connaître le poids d'un cSorps, il faut lé peser dans le vide. Si Ton savait combien il pèse dans l'air ou dans tout autre fluide , il faudrait ajouter à ce poids celui d'un volume égal de ce fluide \ pour avoir le véritable poids du corps.
C'est sur les principes précédents qu'est fondée la théorie des aréomètres et de lai>alançe hydrostatique. -
De r équilibre des corps flottants,
153.. Pour qu'un corps solide, en partie plongé dans Un liquide, soit en équilibre, il est nécessaire , comme nous l'avons dit , que son poids soit égal à celui du liquide déplacé, et que son centre de gravité soit sur la même verticale que celui de cette portipn du liquide. Si nous suppo-
sons ce liquide homogène , ainjsi que le corps qui flotte à sa surface , le centre de gravité du liquide déplacé coïncide avec celui de la partie plongée du corps solide. Ainsi , pour déterminer les positions suivant lesquelles ce corps peut rester en équilibre à la surface du liquide , il faut le couper par un plan tel, que le volume de l'une des parties soit an volume entier, comme la densité du corps est à celle du liquide , et que les centres de gravité de cette partie et du corps entier soient sur une même perpendiculaire au plan sécant. Il suffit alors de placer le corps, de manière que ce plan coïncide avec la surface du liquide, pour que Tâjuilibre ait lieu.
Pour donner un exemple de cette détermination, considérons un prisme triangulaire droit, ayant ses arêtes horizontales. Dans sa position d'équilibre, il pourra avoir deux de ces trois arêtes, ou une seule au-dessous du niveau du liquide 5 nous examinerons* d'abord ce dernier cas. Il est facile de voir que la longueur du prisme n'a aucuné*înfluence sur la position cherchée, et, déplus, que tout plan parallèle aux arêtes partage le volume dans le même rapport que la base. Nous pouvons donc nous borner à considérer cette dernière.
Soient ABC cette base, a, &, c ses trois côtés, C lesommet plongé, DE la ligne de flottaison on rintersection avec la surface du liquide, F et I les milieux de ABet DE , r le rapport de la densité du corps à celle du liquide. Posons
CF=/, CD=j:, CE=^,
et désignons par a, iS les angles ACF, BCF.
La question consiste à mener la droite DE (Jig. 8) de telle sorte que le rapport des triangles CDE , CAB soit r, et que la ligne FI, qui est parallèle à celle qui joindra les centres de gravité de ces triangles, soit, perpendiculaire
tnmXIKME PARTIE. HYDROSTATIQUE. 289
à DE , condition qui revient à celle de réalité des lignes DF,FE.
Les deux équations qui doivent déterminer x et y sont donc
(ij xyrrirab^ ar^ *— ayâ: cos a = 7* — 2^ ces 6,
d'où, en éliminant j^,
(a) X* — 2^cosa + :)ra^/xcos6 — r'a'6'=o.
Cette équation a nécessairement deux racines réelles, l'une positive, et l'autre négative qui ne se rapporte pas à la question. Si les deux autres racines sont réelles, la règle des signes de Descartes montre qu'elles sont positives; il peut donc y avoir au plus trois positions d'équilibre , pour lesquelles le sommet C serait immergé \ et cela aura lieu si les trois valeurs réelles de x sont plus petites que a, et donnent poury des valeurs plus petites que b.
Si les deux sommets  et B étaient plongés dans le liquide, le rapport des surfaces BDEA et ABC serait r, et, par conséquent, celui des triangles CDE, ÂBC serait i — r; d'ailleurs, les centres de gravité de ces derniers et de BDEA étant en ligne droite, il est clair qu'il suffit de changer r en I — r dans les équations (i) , et Féquation en x relative au nouveau cas sera
x^ — «/r^cosa 4- 2 (i — r)abfx co%^ — (1 — r)-rt'^'= o.
154, Si le triangle ABC est isocèle, on a
hrrza. cos 6 = cos oL^z-y f'^z=.n^ — -7 >
les équations (i) deviennent
xy"=zrà^y 3^ — y'^'^—. — \x — j)=ro.
a4o cou AS DE MÉCANIQUE.
On a d'abord pour solution
Cl, supprimant le facteur x — y dans la seconde équadon^ il reste à trouver les solutions des deux suivantes :
xy =: rfl% or 4- j^ = •
Les valeurs de X ^\y seront donc données , comme on pouvait le prévoir, par une même équation du second degré, qui sera
(3) a:'— -:^x-H^rt =ô, ou x^ — ^-^ ^j;-f-m' = o;
ses racines feront imaginaires* si Ton a
elles seront égales si /• = ( 1 — t— ; | ? et Ton aura encore a:=j^, de sorte que cette solution doit coïncider avec la première. En effet, on trouve a: == — 5 et comme on a
il en résulte
conmie dans le premier cas.
Si l'on a /• <; ( 1 — -r-; ) > les deux racines sont réelles et
positives; elles donnent donc des positions d'équilibre, si elles sont moindres que a.
L'équation relative au cas où les deux sommets A, 6 seraient immergés, s'obtiendra en changeant r en i ^ — /'
HKUXliltE PÀHTIK. — HY'DftOStATIQUK.
dans la précédente, et sera
et donnerait lieu à une discussion analogue.
Si le triangle est équilatéral, on a c = ^, et les équa* lions (3) et (4) deviennent
X* a: 4- rw = o ,
Les racines de la première sont
Elles seront réelles si Ton a r <] ^j, et elles seront toutes les deux plus petites que a si l'on a
v/9— i6/'<i, ou r>^.
Il y aura donc trois positions d'équilibre pour lesquelles le sommet C sera immergé , si r est compris entre -^ et ~. L'équation relative aux deux sommets immergés
a pour racines
3ft- ,a* ,—-r
ses racines seront réelles si Ton a z'^t^» et elles seront plus petites que a si l'on a
V'ï6r—7<i, ou r<f;
il y aura donc trois positions d'équilibre poiir lesquelles.
les deux sommets A , B seront immergés^ si r est compris
