DEUXIÈME PARTIE. — HYDRODYNAMIQUE. 28q

Si l'on élimine entre elles dt^ow obtient

OU, en posant U*= ag'-z:,

équation linéaire du premier ordre par rapport à z, et que Fon pourra toujours intégrer dans chaque cas , puisque O et m seront des fonctions connues de A. ,

Lorsque z sera connu en fonction de A, on connaîtra U, et par suite/ d'après l'équation [e)\ et réciproquement h et U seront connus en fonction de t. La valeur de m sera donnée par l'équation (i), et celle de p par l'équation (c). La quantité de liquide écoulé se déterminera en calculant le volume du vase , compris entre le niveau initial et le niveau variable, et la durée de l'écoulement total s'obtiendra en faisant h=za dans la valeur de t.

190. Si l'on suppose fl extrêmement petit par rapport aux sections horizontales du vase, l'équation [d) se simplifie beaucoup. En effet, on peut négliger -- et wfî, taut dans l'hypothèse d'un niveau variable que d'un niveau constant, à moins toutefois que — ne soit très-grand, ce

qui a lieu au commencemetit du mouvement. On obtient ainsi

ce qui donne pour U la vitesse limite que nous avions trouvée pour t infini , dans le premier cas.

Dans la même hypothèse d'un orifice très-petit, les résultats sont sensiblement les mêmes, quelle que soit la direction de son plan .

2g0 COIJES DE MÉCANIQUE.

Mais, daQs tous les cas, la vitesse donnée par Fexpérienee, et que Ton calcule d'après l'aire de Torificeetla quantité d'eau écoulée, est moindre que celle que donne cette théorie dans le rapport de 0,62 à Funité. Ce rapport étant sensiblement constant, les vitesses réelles sont tonjours entre elles comme les racines carrées des hauteurs de pression.

Du mouvement permanent dun liquide.

i91. Lorsque l'on entretient le niveau d'un liquide a une hauteur constante , on obtient, au bout d'un certiiiii temps, un état permanent dans lequel toutes lès circonstances restent les mêmes au même point , et ne varient que d'un point à un autre. Ainsi , en un point quelconque, la vitesse du liquide sera constante en grandeur et en direction, et par conséquent deux molécules qui à des époques différentes auront occupé une même position , parcourront la même trajectoire et d'une manière identique.

En prenant Taxe des x dans le sens de la pesanteur, les équations fournies par le principe de d'Alembert seront

u\ f^', iv' étant les dérivées , par rapport au temps , des composantes de la vitesse d'une molécule en un point quelconque. Désignons par dx^ dy, dz les accroissements qu ont pris, après le temps dt^ les coordonnées de la molécule qui était située en ce point; multiplions respectivement les équations précédentes par r/r, dy^ dz^ et ajoutons-les. nous obtiendrons

dp=i gpdx — p [u' dx '\- v' djr -\- w' dz) j

ou, en désignant par V la vitesse de ceitc molécule en un