DEUXIEME PARTIE. — HYDRODYNAMIQUE
le même temps par la face inférieure 5 l'excès de la première quantité sur la seconde , divisé par le volume (ùdz^ donnera l'accroissement partiel de la densité par rapport au temps On trouvera ainsi
Enfin, en supposant la température constante, on aura
k étant une constante donnée.
Ces trois équations déterminent /? , p et u en fonction de t cl X.
Si l'on élimine p , on aura
h dp du du dp d.pt^u
^ -| \- a — = o, tù— — h — = Oi
p dx dt dx dt dx
Ces équations aux diflTérentielles partielles ne sont pas intégrables sous forme finie. Mais ce quJil est surtout important de connaître, c'est la vitesse de l'écoulement, lorsque la pression et la vitesse sont devenues constantes en chaque point ; ce qui arrive assez promptemént , en supposant que le vase communique avec un réservoir qui renouvelle le gaz et détermine à la partie supérieure une pression constante.
On a alors — = o , ^ = o , et les équations précédentes
deviennent
kdp du d,p(ùu
pdx dx ' dx
Les intégrales <le ces deux équations sont
p(ùu=zc^ ^log^H — = c'i c et c' désignant des constantes arbitraires.
204 COUaS DE MlÊGAiriQUB.
Soient P, U, O la pression 5 la vitesse et Taire de la section, relatives à la partie supérieure du vase^ P', U', O' leurs valeurs à Torifice , on aura
P'U'O' = c , 2 iH<^ P' + U'»=r 2 c'.
Ces quatre équations détermineront les constantes c, </, ainsi que les vitesses du fluide à Torifice et au sommet. En éliminant c et c', on obtient
et ëliminant U', ou trouve
/ailog- V P'»0'* '
p/lQ/
L'orifice O' étant plus petit que O , et la pression P' étant aussi moindre que P, sans quoi Técoulement n^aurait pas lieu, les deux termes de la fraction sous le radical sont positifs, et U est nécessairement réel. La valeur de U'se déduit de celle de U, et l'on trouve
Les valeurs de c, c' s'en déduisent facilement, et par conséquent les valeurs de p et u seront déterminées en fonction de w et, par suite, de x.
Si Ton suppose— très -petit, on aura U très -petit, et
U' = i/2Alogjr7. Telle est la vitesse d'écoulement d'
un
