DEUXIEME PARTIE. — HYDRODYNAMIQUE. SgS

gaz par un petit orifice, lorsque les pressions P, P', à la partie supérieure et à l'orifice, sont constantes.

Notions sur la résistance des fluides.

193. Lorsqu'un corps solide se meut dans un fluide, il. éprouve une résistance qui dépend de sa forme , de sa vitesse et de la nature du fluide. Les pressions exercées sur les diflérents points de la surface sont très-différentes de ce qu elles seraient dans l'état d'équilibre , et le calcul n'a pu encore y être appliqué avec succès. Les expériences n'ont même pas donné de lois empiriques assez générales pour être susceptibles d'applications utiles dans le cas de corps de forme quelconque. On a cependapt quelques résultats assez généraux relativement à la résistance des liquides en mouvement contre des plans qui se meuvent parallèlement à eux-mêmes. Ces résultats et les expériences d'où on les a déduits se rapportant au Cours de machines , nous ne nousepL occuperons pas ici, et nous nous bornerons à un cas qui peut être traité par le calcul , et qui a pour objet la pression exercée par une veine liquide contre un plan.

194. Pression d'une veine liquide sur un plan. — Supposons un liquide dont la densité soit p , qui s'écoule par un orifice dont l'aire soit «, de telle sorte que les vitesses de toutes les molécules qui passent par l'orifice soient égales, parallèles et indépendantes du temps, et faisons abstraction de la pesainteur, pour ne considérer que l'effet dû à la vitesse du liquide. Le mouvement de cette veine est modifié par un plan fixe, ou mobile en restant parallèle à lui-même 5 et l'on suppose que le liquide s'écoule le long du plan , et que celui-ci soit assez prolongé pour que toutes les molécules aient acquis , avant de le quitter, des vitesses parallèles à ce plan. On demande quel effort sera nécessaire pour

2g6 COURS DE MÉCANIQUE.

maintenir le plan en repos , ou dans un état donné de mouvement unitorme.

Considérons d'abord le' cas où le plan serait en repos et perpendiculaire à la direction de la veine fluide, et, pour nous représenter plus commodément le système des points en mouvement , supposons que la veine fluide ait une longueur indéfinie jet une vitesse constante (^. Les choses se passent comme sHl en était ainsi ,. et nous pourrons plus far cilement appliquer les principes généraux du mouvement. Les molécules du liquide , tant avant qu'après la rencontre du plan, forment un système de points libres, soumis à leurs actions mutuelles et aux forces normales exercées sur une partie d'entre elles par le plan.

On aura donc , en supposant Taxe des x positifs dans le sens du mouvement du liquide ,

en désignant parX la force produite par l'élément d\ delà surface du plan, et qui est égale et contraire à la pression que le fluide exerce sur lui. Désignant par R la somme de toutes ces pressions élémentaires, ou la résistance totale du plan , on aura

dt'

L'état du système étant devenu invariable, intégrons les deux membres de cette équation par t*apport au temps, entre deux époques éloignées l'une de l'autre d'une unité de temps, nous obtiendrons

dx l dx\

dt \dt /o

le second membre étant la différence entre les composantes, perpendiculaires au plan, des quantités de mouvement de

DEUXIÈME PAttTrE. — HYDKOD.YNAMK^UE. 2g7

tous les points du liquide à ces deux époques. Or, tous les points ou les vitesses perpendiculaires au:plàn sont varia*, blés , formant à chaque instant un système identité , il s'ensuil; que la valeur de ce second membre n'est auÇre cbose que la différence entre les composantes des quantitésde mouvemeiitde la partie du liquide x[ui a quitté le plan et de celle dont la veine indéfinie a été diminuée. Or la première quantité est nulle ^ puisque le liquida quitte le plan avec une vitesse dont la composante normale au plan est nulle ^ il ne reste donc que la seconde quantité , dont la va«leur est le jJroduit de la (quantité de liquide écoulée dans l'unité de temps ^ ou ptùi^ par la vitesse p» qu'elle avait, ce qui donne pwp'*.

L'équation précédente devient ainsi .

La pression égale et contraire qu'éprouve le plan est donc

195. Supposons maintenant que le plan se transporte parallèlement à lui-même, et qu'il ne produise en chaque point que des forces normales , il sera inutile d'avoir égard à la composante de sa vitesse dans le sens du plan même, et l'on se bornera à considérer la vitesse normale u , que l'on regardera comme positive quand elle sera dans le mèm^ sens que p», et comme négative dans le cas contraire. Or, on ne changera rien aux pressions en donnant un mouve* ment commun à tous les points du système , et , par conséquent , on pourra réduire la plan au repos , ce qui ramènera au cas précédent. Il suffira pour cela d'ajouter — u à la vitesse de chaque point , et l'on se trouve dans le même cas que si , le plan étant en repos , la vitesse du liquide à l'orifice était (f^ — m); on aura donc, pour l'expression de la résistance opposée au plan , poi (f^ — m)*.

298 CSOUaS.DB niCAHIQUE.

196. Supposons enfin que le plan fasse avec la direcdc» de la veine un angle quelconque 0, et se Ineuve parallàlement à lui-même. Décompoëons sa vitesse eu deux autres: l'une dans le sens même de ce plan , et que Ton peut n^liger ; Fautre parallèle à la direction de la veine. Désignons cette dernière par u et donnons au système entier une vitesse égale et contraire. Le plan deviendra immobile , et la vitesse du liquide sera réduite k{u — u).

Cela posé, si nous prenons l'axe des x perpendiculaire au plan fixe , nous aurons toujours l'équation

eix { dx\

2Xrf>= 2iw- 2/iî I -7-) !

et l'état du liquide étant devenu invariable, le second membre se réduira encore à la masse écoulée pendant l'unité de temps, ou jocd ((^ — u), multipliée par la composante de la vitesse ((^ — u) perpendiculairement au plan, ou (p* — u) sin 0. La pression exercée sur le plan mobile est donc p(ù (if — u)' sin Q. On peut donner une .autre forme a cette expression en désignant par a la vitesse du plan estimée suivant la normale. On a alors u = -; — ri et la pres-

sm 0 *

sion devient alors ptù . . ; si le plan est en repos,

on a â = o, et la pression se réduit k ptùif* sin 0.

Ces formules sont démontrées , par d'autres considérations, dans le Mémoire de M. Coriolis ('*') sur le principe des forces vwes dans les tnow^ements relatifs des machines.

(*) Journal de l'École Polytechnique, xxi* cahier.

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