DEUXIÈME PARTIE. HYDRODYNAMIQUE

nous à Taxe des x la direction AB. Désignons par X , Y, Z les composantes de la force appliquée à tous les points du fil ) et rapportée à Tunilé de masse : la question est de déterminer, pour un poînt quelconque du fil , les valeurs de ses trois coordonnées, qui seront constantes dans le cas de l'équilibre , et fonctions du temps t dans le cas du mouvement.

Considérons un point quelconque P du fil, dans l'état primitif où il ne s'exerce sur lui aucune action extérieure. Sous l'influence des forces X , Y, Z qui agissent sur tous ses • points, il y aura un déplacement général : soit M la position, à un instant quelconque , du point matériel situé primitivement en P ; nous allons commencer par chercher l'expression générale de la tension du fil à ce point M. Pour cela, considérons de même un second point Q, situé dans l'état primitif à une distance infiniment petite a de P, et qui se trouve en N à Tintant où P est en M^ Texcès de la longueur MN sur PQ, étant divisé par PQ ou a, donne^ra l'allongement, rapporté à l'unité de longueur, qu'a subi le fil dans le voisinage du point P ; et il sera facile d'en déduire l'accroissement de la tension.

Désignons par x l'abscisse AP du point P dans l'état primitif, et par j? -h m, ^, z les coordonnées de M^ les trois quantités infiniment petites u^ y^ z seront les inconnues de la question 5 elles seront des fonctions de x dans le cas de l'équilibre, et des fonctions de a: et f dans le cas du mouvement 5 X est constant dans le mouvement du même point matériel , et change, quand o'u passe d'une molécule à une autre.

La diilërence iVIjN — PQ étant très-petite par rapport à PQ , on ne pourra négliger dans son expression que les quantités très-petites du second ordre par rapport à PQ. Or, en ne considérant que les cas où les angles des divers éléments du fil avec l'axe des x restent, très-petits, on pourra

34^ COUKS DE MÉCANIQUE.

négliger la différence entre MN et sa projeciion sur Taxe des X-, et, par conséquent, si Ton désigne par u' ce que devient u au point Q , on pourra écrire

MN — PQ = u'— u.

Mais u' n^étant autre chose que u dans lequel onxemplacc X par X -^ oc ^ on aura

, du

ax

en négligeant les termes infiniment petits par rapport au premier. En divisant cet accroissement par a, on aura, d'après ce qui a été dit, rallongement positif où négatif, rapporté k l'unité de longueur, qu'a subi le fil au point dont l'abscisse est x dans l'état primitif 5 l'expression de cet allon-

gement est ^» Or, l'accroissement de longueur étant pro-

portionnel à l'accroissement de tension, ce dernier aura

pour valeur t ;i-î et, par conséquent^ si nous désignons par

T la tension qui a lieu au point M à un instant quelconque,

on aura

1 du ï = T H •

Connaissant maintenant l'expression générale de la tension, xm suivra la même marche que dans le cas des fils non élastiques. On considérera un élément infiniment petit MN, et l'on cherchera d'abord toutes les forces extérieures qui agissent sur lui. Ces forces sont les tensions en M et N, dirigées en dehors de l'élément, et les forces X, Y, Z dont la valeur n'a pas changé sensiblement par le déplacement infiniment petit des points; ces dernières donneront pour l'élément PQ, et, par conséquent, pour MN, les trois composantes

«sX, asY, aeZ.

Soient maintenant >, w, v les angles que fait avec les axes