DEUXIÈME PARTIE. — HYDRODYNAMIQUE

la direclion MS de la tangente ; les composantes de la force qui agît en M sur Télément MN seront

— T ces > , — T CCS f* , — T cos V ,

cl les composantes de celle qui agit en N seront

Tcos> -H r/.Tcos\, Tco8f*H- rf.Tcosf*, Tcosv -f- r/.Tcosv.

Or, soît que Ton considèi^e l'élément MN comme rigide ou comme variable, le mouvement de son centre de gravite sera toujours le même que si toute sa masse y était réunie, et que toutes les forces qui le sollicitent y fussent appliquées. D'ailleurs, le mouvement de ce centré de gravité diffère aussi peu qu'on voudra de celui du point M^ les équations du mouvement de ce dernier peuvent donc être considérées comme ne différant pas des suivantes :

rf.TcoSf* 4- are Y = a« -779 rt .T cos V -4- as Z = ae -—--•

Si l'on divise tou§ les termes de ces équations par ol et

qu'on passe à la limite, les premiers termes deviendront

respectivement les dérivées, par rapport à x^ des trois

quantités

TcosX, T cos pi, Tcosv.

Or, on pourra d'abord remplacer cos X par i , en négligeant les quantités très-petites du second ordre •, ce qui donnera

d,Tco%\ I rf'M

dx S dx^

Quant à cos \k et cos v , leurs valeurs sont très-petites du premier ordre, et comme il en est de même de li et -j-j on

344 COUES DE MECANIQUE*

pourra réduire T cos jui , T cos v à t cqs jx , r co» v. Si maintenant on désigne par dy^ dz les différences des coordonnées y^ z des deux points infiniment voisins M, N, et par dx la différence PQ de leurs x , oti aura

dy dz

cospi = ----? cosv=^~---5

et comme MN ne diffère de PQ ou dx que d'une quantité infiniment petite par rapport à dx , on pourra poser

dy dz

COSfA=--- 5 COSV-— î

tlx dx

d'où il résultera

€/.Tcosa d^Y <i.Tcosv d^z

dx dx"* dx dx^

çt les équations du mouvement du fil seront

£ dx"^

Les équations d'équilibre du fil , sous l'action des forces X , Y , Z , seront donc

1 d^u ^ $g dx^

6 dx^

Si les forces X, Y, Z sont nulles, ou fonctions de t eix seulement, les équations (i) montrent que les fonctions i/, y, z peuvent être calculées indépendamment les unes des

DEUXIÈME PAÏITIE, — HYDRODYNAMIQUE. 345

autres,. Ainsi le mouvement longitudinal, déterminé par u, sera indépendant du mouvement transversal , déterminé

par j- et .z:. ^

Si les forces X, Y, Z sont nulles, les équations (i) se réduisent à - '

'dF'^Sê'dx^^

d'^jr T d^y d^z T d^z

dt^ s dx""

Elles sont toutes les trois de même forme que celles qui déterminent le mouvement d'un gaz dans un tuyau cylindrique, et elles donneraient lieu à des questions analogues à celles que nous avons résolues avec détail dans la théorie du mouvement des gaz. On trouverait ainsi que la vitesse

de propagation dans le sens longitudinal est W ^? et qu'elle

est l/- dans le sens perpendiculaire. On trouverait encore

que la durée des vibrations longitudinales du fil ayant la

longueur / est 2 / v/cîe , et Von voit qu elle est indépendante de la tension du. fil ; la durée des vibrations transversales

sera 2/ l/— Elle est indépendante de ^. *

Vibrations longitudinales des verges.

215. On peut remarquer que l'équation qui détermine u a été obteiiue sans supposer que le fil fût flexible et d'une petite épaisseur ..Elle aurait lieu , par conséquent , pour une verge élastique dans laquelle on ne considérerai-t que des mouvements longitudinaux, qui seraient les mêmes pour

tous les points d'une même section transversale. L'allongement d que subit Tunité de longueur, sous raction d'une force égale à l'unité , variera en raison inverse de Faire de la section transversale; mais la masse e de l'unité de longueur variera proportionnellement à cette même aire 5 de sorte que le produit de sera indépendant de l'épaisseur de la verge.

Lorsque les extrémités de la verge seront fixes , la durée

des vibrations longitudinales sera toujours al \Jdz^ comme nous l'avons trouvée tout à Theure dans le cas du fil élastique. Mais on peut encore se proposer de déterminer le mouvement de ces difiérents points lorsque ses deux extrémités seront libres, ou lorsque l'une sera libre et l'autre fixe.

La tension de la verge sera invariable à l'extréniité libre,

et 1 on devra , par conséquent , avoir constaniment ;7- = <>

en ce point. Ces deux nouvelles questions n'ofifriront pas plus de difficulté que la première , où l'on a supposé les deux extrémités fixes. On trouvera que si les deux extrémités sont libres, la durée des vibrations longitudinales est la même que si elles sont toutes deux fixes ^ mais que, si l'une est fixe et l'autre libre , la durée des vibrations est double. Il y a donc une analogie complète entre les vibrations longitudinales des verges et celles des gaz renfermés dans des tuyaux cylindriques ; une extrémité fixe de la verge correspondant à une extrémité fermée dansle tuyau , et une extrémité libre à une extrémité ouverte.

Des petits mouvements dCun sjstèrtie quelconque de points.

216. Considérons un système quelconque de points assujettis à des liaisons exprimées par des équations entre leurs coordonnées , et dans un état d'équilibre stable , sous Fia-

DEUXIÈME PAETIE. — HYDRODYNAMIQUE. 347

fluencé de forcés qui dépendent d'une manière quelconque de ces mêmes coordonnées. Si l'on écarte très-peu ces points de leur position d'équilibre, en leur imprimant de trèspetites vitesses , et qu'on les abandonne ensuite à l'action des forces données , les accroissements des coordonnées resteront toujours très-petits, puisque l'équilibre était stable. Nous allons nous proposer de déterminer ces accroissements en fonction du temps , et de reconnaître quelques propriétés générales dont ils jouissent.

Soient x^ y, z les coordonnées d'un quelconque des points du système à un instant quelconque ^ a , J , c leurs valeurs dans la position d'équilibre , et m la masse de ce point ; posons

OL^ &^ y seront des quantités très-petites, variables avec le temps , et dont dépendra à chaque instant la position du point m.

Nous aurons de même , ]pour un second point m',

et ainsi de suite pour tous les autres.

Soient X , Y, Z les composantes de la force appliquée au point m\ X', Y', Z' celles de la force appliquée à m', et ainsi de suite. Enfin , soient

les équations données entre les coordoniiées .r, j^, z, a:',j"'v- On. demande les équations qui détermineront les quantités très-petites a, 6, y, a', 6',.*., en fonction du temps t.

Si l'on remplace a: , j^, . . . , par «-{-a, ^4-6).. .7 dans les équations précédentes , on pourra se borner dans les développements aux termes qui renferment les premières

puissances Je a, ê , y^ . . . , Ea observant d'aîUeiirs que les coordonnées a, 2», c, . . . , satisfont à ces mêmes équations,

on aura ainsi , en désignant par — > ;7t-v • • 5 les dérivées par

rapport à Xy j^,.,. dans lesquelles on remplace or, j^, .. par à, 6,... ,

é/L ^/L^ dL dlu ,

Désignons par A, B, C, A',... les valeurs des fonctions X, Y, Z, X',..« dans les positions d'équilibre de tous les points ^ on aura , dans une position voisine quelconque ,

/fX da""^

r/X dc-^

e/X da'

dX da""-^

dY .de '^

dZ da^-^

dZ.

dis!

L'équation générale qui détermine le mouvement du système sera , en observant que l'on a

Px d'^ot dy r/'6