X| , — II, — Z

d'où Ton tire, d'après les équations générales de l'éciuilibre, eu représentant par X, Y, Z les sommes des composantes suivant les trois axes ,

Z, j, — Y,3, = L, X,z, — Z, x, r= M, Yijc, — X, v,i= N ;

et réciproquement, si l'on satisfait à ces équations , il y aura ime résultante appliquée au point (:ri, yj , Zx) , et ayant pour composantes Xi, Yi, Zi* Les trois premières font connaître les composantes de la force cherchée, et, par suite, la direction de cette force et &on intensité. Les trois autres déterminent les coordonnées de son point d'application, et deviennent , en vertu des premières ,

Zj, — Yzi =r L, Xz, — Zx4 = M, Y Xi — X/, = N>

Or, si on les ajoute après avoir multiplié la première par X, la seconde par Y, et la troisième par Z, on trouve

LX 4-MY + JNZ = o, équation nécessaire pour qu'il n'y ait pas incompalibililé.

et par suite pour qu'il y ail une résultante. Les trois équations se réduisent donc à deux quelconques d'entre elles , et comme elles sont du premier degré par rapport à Xi , j^i, Tj , elles déterminent une ligne droite. Le système peut donc être remplacé par une force dont les composantes sont X^Y, Z, et appliquée en un point quelconque de cette droite qui, par conséquent, ne peut être autre chose que la direction même de la résultante. C'est ce qu'on reconnaît d'ailleurs d'après ses équations , qui montrent qu'elle est parallèle à la résultante des forces X , Y, Z.

61 . Lorsque l'équation précédente n'est pas satisfaite, le système n'a pas de résultante, mais il peut être réduit à deux forces non situées dans un même plan. En effet, il peut être remplacé par un couple et une force non parallèle au plan du couple ; et l'on peut toujours faire en sorte que cette force rencontre l'une de celles qui forment le couple : il suffit de transporter convenablement ce dernier. Or, si l!on compose ces deux forces appliquées au même point, et dont l'une n'est pas comprise dans le plan du couple, elles donneront une résultante qui ne sera pas située dans ce plan. Le système sera donc réduit à deux forces non situées dans un même plan.

Une construction inverse ferait voir réciproquement que deux forces non dans un même plan peuvent être remplacées par un couple et une force non parallèle à son plan , et que par conséquent elles n'ont pas de résultante. On peut encore démontrer très-simplement cette dernière proposition, sans s'appuyer sur la théorie des couples. En effet, si deux forces , non dans un même plan , avaient une résultante, ity aurait équilibre en introduisant une force égale et contraire. Cet équilibre ne serait pas dérangé en liant les points du système à une droite fixe, et choisie de manière qu'elle rencontrât la direction de la force introduite et de l'une des proposées , sans rencontrer Taufre , ce qui est pos-

sible d'une inanité de manières. Mais alors deux des forces étant détruites, il faudrait que la troisième le fut; ce qui n'est pas, puisqu'elle ne rencontre pas Taxe. Donc les deux forces n'avaient pas de résultante.

Résultante de forces dans un ^ même plan,

62. Si toutes les forces sont dans un même plan , on prendra les axes des x et des y dans ce plan ; les composantes et les coordonnées parallèles à l'axe des z seront nulles 5 on aura donc Z = o, L = 05 M = o, et la résultante sera déterminée par les équations

Les deux premières déterminent la grandeur et la direction (Je cette force 5 la troisième est celle d'une droite dont tout point peut être considéré comme Ic.point d'application de la résultante : c'est donc l'équation même de la résultante.' Elle deviendrait impossible si l'on avait X==o, ¥ = 0, sans avoir N == o •, ce qui s'accorde avec la remarque générale faite précédemment : les forces se réduisent alors à un couple. Toutes les fois que l'on n'a pas X ;= o , Y = o , la résultante existe sans autre condition, et l'on peut remarquer que la condition générale exprimée par l'équation

• LX + MY -I- NZ = o est satisfaite , puisque l'on a

Lnio,. M =^ o, Z = o.

63. La troisième équation , qui détermine la résultante, peut être mise sous une autre forme, en introduisant, comme précédemment, les moments des forces par rapport à l'origine.

Soient R Tintcnsitc dç la résultante, et Rr son moment

positif ou négatif 5 la force opposée à R aura pour moment— Rr, et l'équilibre sera exprimé par les trois équations

X, = X, Y,= Y, — Rr4-2P//=o;

d'où

Kr=zlPp.

La troisième apprend que le moment de la résultante par rapporta un point quelconque du plan est égal à la somme algébrique de ceux des composantes ; mais elle deviendrait impossible si R était iiuUe sans que Von eût ZPp = o : il n'y aurait donc pas alors de résultante. Et, en effet, on voit que ^ dans ce cas , les forces données se réduisent à un couple *, dans tout autre cas , on obtient une valeur de r qui satisfait à la troisième équation. Il existe donc une résultante dont t>n connaît la valeur, la direction , la distance à l'origine *, de plus, le sens dans lequel elle tend à faire tourner autour de ce point est connu par le signe du moment Rr; la résultante est donc entièrement déterminée.