Il est bon de remarquer qufe l'on a , pour une force

quelconque , xY — j^X = -r^? 0 désignant Tangledes axes.

En effet, une force P pifeut être remplacée par une force égale et parallèle appliquée à l'origine , plus le couple l?fj.] et elle peut aussi être remplacée par les deux forces X, Y appliquées à l'origine , plus deux couples dont les moments sont xY sin 9 et — ylL sinQ. Les deux forces X et Y se composent en la force. P , appliquée à l'origine : il est donc nécessaire que les deux couples se réduisent au premier 5 d'où l'on conclut

JF Y sih'p — rX sin G = P/? , ou

Vp sin 0

PAEMIÈRR ANNÉE. — STATIQUE. 67

et Ton voit clairement comment les équations

2(^Y — jX)=o et lVp = o

peuvent se remplacer F une l'autre.

Si les axes sont rectangulaires , Téquation précédonte devient

xY — /X = P(x CCS ê — X cos a ) = P/> ou

X cos 6 — jr COS OL = p.

Remarques sur la réduction d*un sjstème de forces.

65. Nous avons démontré qu'un système de forces appliquées à des points liés invariablement entre eux , mais libres dans l'espace, pouvait toujours être réduit à une force unique et un couple ; cette force est la résultante de toutes celles du système , transportées parallèlement à ellesmêmes en un point choisi arbitrairement, et que nous nommerons Vorigine. Elle est donc toujours la même en grandeur et en direction; son point d'application peut seul changer : il est .entièrement arbitraire. Quant au couple résultant , il dépend du point où Ton a transporté toutes les forces.* Si on le décompose en deux autres, dont l'un ait son axe dans une direction donnée et l'autre dans une direction quelconque perpendiculaire , le premier est égal , comme nous Tavons démontré n^ 57, à la somme des moments de toutes les forces par rapport à la droite menéepar l'origine suivant la direction donnée. Nous' allons faire quelques remarques importantes sur les moments relatifs aux droites qui passent par un même point , et sur les changements qu'ils éprouvent quand ce point se déplace. Nous les avons reportés à la fin de la Statique , afin de ne pas entraver la marche du cours. Ce que nous allons dire est

extrait de Fancien Mémoire de M. Poiusot, sur la composition des moments.

66. Moments par rapport aux différents axes guipassent par un même point. — La somme des moments de forces quelconques par rapport à un axe s'obtient , comme nous l'avons vu, en projetant sur cet axe les trois sonimes relatives aux axes coordonnés rectangulaires qui passent en ce point, oïl plus simplement, en projetant le moment résultant ou celui du couple résultant sur ce même axe. Ainsi, quand on aura déterminé en direction et en grandeur l'axe du couple résultant relatif à une certaine origine y il suffira de le projeter sur une droite quelconque passant par ce point , pour obtenir la somme des moments des -forces par rapport à cette droite. D'où résultent les propositions suivantes :

Si Von considère les sommes des moments d'un système quelconque de forces par rapport à toutes les droites, qui' passent par un même point, la somme maximum sera celle qui correspondra à Vaxe du couple résultant relatif à ce point pn's pour origine.

La somme des moments sera la même pour toutes les droites qui fêtant le même angle ay^ec Vaxe du couple résultant. Elle sera nulle pour toutes les droites perpendiculaires à cet axe.

67. Comparaison des moments maxima relatifs à différents points^ — Soient A [fig* 20) une origine quel- ^ conque , AR la résultante des forces transportées eu ce ' point, et AM la direction et la grandeur de Taxe du couple résultant correspondant. Pour obtenir le couple résultant relatif à une autre origine quelconque, il suffirait de composer avec le premier un nouveau couple formé de la. force R et d'une force R' parallèle et contraire menée par A'; d'où l'on conclut d'abord que si A' est sur la droite AR , oc dernier couple est nul ^ et le couple résiJtant

PREMIÈRE ANNÉE. — StATlQlJE. 5.Q

est le même qu^au point A. On a donc celte première proposition : '

Le couple résultant est le même en grandeur et en direction pour tous les points d'une même droite quelconque parallèle à la résultante.

En d'autres termes ; Pour tous les points d'une même droite parallèle à la résultante, les axes de moment maximum sont parallèles^ et ce moment a la même valeur.

Supposons maintenant que le point A' ne soit pas sur la direction AR de la résultante relative au point A, le couple qu'il faudra composer avec AM aura son axe perpendiculaire au plan RAA', et, par conséquent , à la droite AR. Si l'on fait mouvoir le point A', cet axe pourra prendre toutes les directions dans le plan perpendiculaire à AR •, aucune ne sera celle de AM si l'angle Q n'est pas droit, c'est-à-dire si le système des forces n'a pas de résultante unique : ainsi, en exceptant ce cas particulier, la direction de l'axe du couple résultant sera différente de AM si A' n'est pas sur AR. Les directions diverses de Taxe du couple RR' feront avec AM, les unes un angle aigu , les autres un angle obtus , si AM et AR n'ont pas la même direction. Les axes qui feront un angle aigu avec AM donneront un couple résultant plus grand que AM ; ceux qui feront un angle obtus pourront donner uû couple résultant plus grand ou plus petit que AM,

suivant la grandeur du moment du couple R, R' qui peut varier de zéro à l'infini , en changeant la distance de A' à AR. D'où Ton voit que le moment maximum relatif au |>oint A , comparé à ceux qui correspondent aux divers axes passant par A', sera plus petit que les uns et plus grand que les autres, si les directions AM, AR sont différentes 5 mai« si. elles se confondent, les deux cpuples à composer auront toujours leurs axes perpendiculaires entre eux , et, par con-

6o COURS DE MÉCANIQUE.

séqucnt, donneront un couple résultant plus grand que AM. D'où résulte cette proposition :

Le point de V espace pour lequel le moment du couple résultant est le plus petit y est celui pour lequel la direction de l'axe de ce couple se confond ay^ec celle de la résultante.

Et, d'après ce qui vient d'être établi tout à l'heure, si l'on trouve un point jouissant de cette propriété , tous les points de la parallèle à la résultante^menée par ce point en jouiront de même; et tous les axes des couples résultants, ou , en d'autres termes , les axes pour lesquels la somme des moments des forces est maximum , considérés pour tous les points de cette droite, se confondent, puisqu'ils sont parallèles à cette droite même \ de sorte qu'il n'existe dans Tespace quVn seul axe tel , que la somme des moments des forces par rapport à lui soit plus grande que par rapport à toute autre droite menée par un de ses points , et en même temps soit moindre que la somme maximum , relative à tout point situé en dehors de lui. C'est à cet axe que M. Poinsot donne le nom à^axe central des moments,

68. Détermination de l'axe central, — Pour obtenir l'axe central, il faut choisir le point A', de telle sorte que la perpendiculaire au plan RAA', ou l'axe du couple RR', soit dans le plan MAR. Il suffira , pour cela , de prendre A' dans le plan mené par AR perpendiculairement au plan MAR , et du côté de AR , pour lequel le sens du couple donnera à l'axe la direction AN et non la direction opposée, parce qu'il faut que AR soit dans l'angle des directions des deux axes composants. Cela posé, il suffira de prendre le point A' à une distance de AR telle, que le moment du couple soit égal au côté MB du parallélogramme MB AN. Si jdonc on désigue par G le moment du premier couple résultant AMj par K celui du nouveau couple résultant^ par/?

PREMIÈHE ANNÉK. — STATIQUK. 6l

la dislauce de A' à AR5 par 9 l'angle MAR , le momenl du couple RR' sera R/>, et Ton aura

LX 4- MY -h NZ ^"^ ' = GR '

K = Gcosô.:î^^^^^t^, R;, = GsinO.

Le poînt A' est ainsi déterminé autant qu'il doit Têtre; ce sera l'un quelconque de ceux de la parallèle à AR menée à

la distance — - — de AR, dans le plan perpendiculaire au

plan MAR conduit suivant AR, et du côté de AR que nous avons indiqué. Si Ton veut prendre en particulier le point situé sur la perpendiculaire au plan MAR mené par A, ses coordonnées û, fc, c se détermineront par les équations suivantes , en prenant le poînt A pour origine : .

. aX-i-bY -hcZ=zo, rtL + 6M-hcN=:o.

Les deux dernières expriment que la droite A A' est perpendiculaire sur la résultante , dont les composantes sont X, Y, Z, et sur l'axe du couple résultant, dont les axes composants sont L, M, N. La première exprime que la longueur AA' est égale à p. Ces trois équations donnent deux points dont les coordonnées sont égales et de signes contraires \ mais un seul devra être choisi : c'est celui qui donne au couple RR' le sens que nous avons indiqué précédemment.

Le point A' étant ainsi déterminé , la parallèle à la résultante menée par ce point sera Vaxe central y et, nous le répétons , la direction de cet axe est, pour un quelconque de ses points, celle de l'axe du moment maximum; et ce moment est moindre que le maximum correspondant à tout autre point de l'espace.

62 COURS UE MÉt'ANlQXrE.

69. Disposition de tous les axes autour de l'axe cerhtral, , — Concevons un plan quelconque perpendiculaire à l'axe central; ce que nous dirons de tous les points de ce plan s'appliquerait identiquement à ceux de tout autre plan parallèle, et, par conséquent, à tous ceux de l'espace.

Soient AR {Jïg- 21) cet axe, et A' un point quelconque du plan perpendiculaire mené par A. En prenant ce nouveau point pour origine , il faudra composer le couple résultant dont l'axe est AM en direction et en grandeur, avec le couple situé dans le plan RAA', ayant pour moment Rp, p désignant la longueur A A'. L'axe du couple résultant sera , en direction et en grandeur, la diagonale AB du rectangle construit sur AM et la ligne AN égale à R/; et perpendiculaire au plan RA A'. Désignons par ç Tangle de Taxe résultant avec Taxe central, et par H le moment résultant; on aura

Rz?

tang (p = -f , K- =. R>' + G^

(jr

Les valeurs de K et (p ne dépendant que de ^, il s'ensuit que pour tous les points d'une même circonférence décrite du centre A dans le plan perpendiculaire à AR, les momfents maxima sont égaux et leurs axes forment un hyperboloïde de révolution autour de l'axe central, dont la circonférence que l'on considère forme le cercle de gorge, et le demi-axe imaginaire de l'hyperbole génératrice a pour

valeur -• Si Ton prend p comme abscisse, et le moment

correspondant K comme ordonnée , on construira, d'après Téquation ci-dessus, une hyperbole dont l'axe réel sera dirigé suivant AR et aura pour valeur 2 G. Son demi-axe ima-

^inaire sera - comme pour l'autre hyperbole.

Ainsi , l'axe central jouit de la propriété, que pour tous les points d'une surface cylindrique quelconque dont il est

PREMIÈRE AîfNÉK. — STATIi^ÙK. 63

Taxe , le ihomcDl maximum a la même valeur j l'axe de ce moment a la même direction pour tous les points d'une même arête de ce cylindre , il change de direction en passant d'une arête à une autre, en conservant la même inclinaison sur l'axe et la même distance. La valeur du moment maximum augmente indéfiniment avec la distance de l'origine à Taxe central -, et l'angle de son axe avec Taxe central a pour limite l'angle droit.

70. Cas où le système des forces a une résultante. — Si Tpn prend pour origine un point quelconque de celte résultante , le couple correspondant sera nul , et , par conséquent, cette d-roite sera Tai&e central lui-même. Les formules précédentes donnent , en effet , /? = o quand on suppose G = o. Si maintenant on prend une origine quelconque en dehors de la résultante unique, on aura un couple résultant dont le plan sera celui qui passera par l'axe central et la nouvelle origine. Ainsi, dans ce cas particulier, tous les points d^un même plan quelconque passant par la résultante unique donnent des couples résultants ^ dont les axes sont parallèles.

Mais les moments dé ces couples ne sont pas égaux ; ils sont proportionnels à la distance de l'origine qui leur correspond à la résultante générale. Us n'ont donc la même valeur que pour les points situés sur deux parallèles équidistantes de cette résultante, et, de plus, le sens de ces couples n'est le même que pour les points d'une même parallèle.

Cas où la résultante est nulle. — Si la résultante est nulle, le changement d'origine n'introduit aucun nouveau couple, et, par conséquent, le couple résultant a toujours le même moment , et son plan la même direction , quelle que soit l'origine où l'on transporte les forces.