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nation; et si Ton multiplie les valeurs de a, 6, y,... par une constante arbitraire R, on aura encore une solution des équations (6), et il entrera dans chaque inconnue les deux constantes arbitraires R et s. En ajoutant les solutions obtenues ainsi pour chacune des n valeurs de r, on aura la solution générale des équations (6) , puisqu'il y entrera 2/i constantes arbitraires R, R',..'., J, s\.... Elle sera donnée par les formules suivantes :

a = R sin (rr 4- f ) -h R' sin (r'^ -+- j') H- . . . ,

, , . 6 = RR,sin(/-r-h.ç)-hR'R' sinfr'f-f-/)-!-...,

(il) \ \ / 1 \ /

7 = RR,sin(rf 4-f)-l- R'R', sîn(r'r-f.5') + . . .,

Les aw constantes se détermineront par les valeurs ini-

• 11 r* f fia fi^

tiales de a , o , y , a^ . . . , — , —?••••

226. Décomposition du moui^enient en oscillations sim^ pies, — Les mouvements particuliers du système qui correspondent à chacune des n valeurs r, r',... jouissent de quelques propriétés remarquables. Considérons, par exemple, la première : nous aurons

a = R sin {rt H- a),

6 = RR, sin(rf-i- j),

Y = RRjsin (rr + j),

«' = RR3sin(rr-|- jr),

Or, les déplacements a, 6, y étant dans des rapports constants ^ quel que soit r, il s^ensuit que le mouvement du point m est rcctilîgne*, et il en est de même de tous les autres. On voit, de plus, que ce mouvement est périodique,

et que la durée de la période est — • Ainsi , tous les points

362 eOUM «E VÉCAMIQUK.

font dc6 oscillations reciilîgnes de même durée ^ ik commencent et finissent ces oscillations en même temps , et les espaces qu'ils parcourent sont dans des rapports constants. C'est là ce que nous appellerons un mouvement simple du système.

Maintenant la seule inspection des ^nations (ti) dé- Qiontre la proposition suivante :

Tout mouvement d'un système de points en nombre fini y qui ont été dérangés infiniment peu d'une position d^équilibre stable^ peut être considéré comme résultant de la composition des diverses oscillations simples dont il est susceptible.

Ces oscillations sont en nombre égal à celui des coordon^ nées indépendantes, à moins qu'il n'y en ait une infinité, comme nous l'avons remarqué précédemment : celles d'un même système sont synchrones^ ou de même période: leurs directions diverses et la durée de la période dépendent uni» quement de la nature du système, mais leurs amplitudes et les coedScients qui les affectent dans la solution générale, dépendent de l'état initial d'où l'on part.

227. Considérons comme exemple le cas très-simple d'un point unique, soumis à la seule action de la pesanteur, et assujetti à rester sur une surface quelconque. Si on l'écarte de sa position d'équilibre au point le plus bas de la surface, et qu'on lui imprime une très-petite vitesse, il peut décrire une infinité de courbes différentes, dépendantes de l'état initial*, mais, comme il n'y a que deux coordonnées indépendantes, il n'existe que deux systèmes di oscillations simples, et l'on prouvera facilement qu'elles ont lieu suivant les deux lignes de courbure de la surface au j)oint le plus bas. Tout autre mouvement résultera de la combinaison de ces deux-là dans des proportions convc*

DEUXIÈUF. ^AHTÏE. — HYDRODtNAMIQU*. 363

fiaUes. Dans le cas où tous les rayons de courbure seraient égaux en ce point, toutes les sections normales pourraient être le lieu d'oscillations simples; et il y eu aurait alor» nne infinité.

228. Si les différentes racines r, r',.«» sont commensurâbles entre elles, le système repassera périodiquement par les mêmes étals; car soit ^ leur plus grande commune mesure, on aura

/i, A',... étant des nombres entiers qui n'ont pas de facteur commun. Or, pour que le9\aleurs de a, 6,... se reproduisent périodiquement après un intervalfe de temps d, il faut que les produit» /t|:x0, h^ fiO^,,. soient des multiples de a /r, c'est-à-dire que l'on ait, en désignant par/ , A',... des nombres entiers ,

On voit facilement que les nombres A, A',,., ayant entre eux les mêmes rapports que A, /i',.*« qui sont premiers entre eux, les plus petites valeurs de fc, A',... seront A, A',.-? €tiFon aura

Telle sera la durée de la période; elle serait infinie si l'on avait [1 = 0^ c'est-à-dire s'il n'y avait pas de commune mesure entre r, /*',.... Dans ce cas, le mouvement ne serait donc pas périodique; et même le système ne passerait jamais par deux états identiques quant aux positions et aux vitesses; car, si cela était, tous les étals suivants se reproduiraient identiquement, et le mouvement serait périodique.

Le principe de la décomposition de tout mouvement in-

finiiueut petit d'un système de points, dans les iiioUvenients simples dont il est susceptible, étant indépendant du nombre des points, s'applique à un gaz ou à un liquide renfermé dans un vase fermé de tous côtés, ou à un corps solide élastique. Dans ces divers cas, le nombre des points est immense, mais nécessairement fini . Cependant, pour la facilité des calculs, il sera bon de considérer la matière comme continue, et, par conséquent, le nombre des points maté'^ riels comme infini. Les mouvements simples seront alors en nombre infini. Les déplacements de tous les points, correspondants à un quelconque de ces mouvements , seront toujours le produit d'une même fonction du temps représentée par un sinus et un cosinus, par une fonction des coordonnées de ces points. Et le mouvement le plus général du système pourra être représenté par une série composée d'un nombre infini de termes , correspondants chacun à l'un des mouvements simples dont le système est susceptible.

FIN DK I.A DEUXIEME PAETIE.

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