DEUXIÈME PARTIE. r~ HYDEODYNAMIQUE

ment initial, le mouvement serait produit par les nouvelles forces seulement, et il serait le même que si Ton partait d'un état initial où les déplaccmenls seraient, au signe près, ceux qui correspondent au nouvel équilibre , et les vitesses nulles,

224. Superposition des effets. — La question étant ramenée ainsi à la première, dans laquelle il y a un simple dérangement du système, sans introduction de nouvelles forces, le principe de superposition déjà démontré s'y appliquera. Or, Télal initial peut être considéré comme la superposition de deux autres , dont l'un serait le proposé , et l'au- Ite consisterait uniquement dans les déplacements , changés de signe, qui font passer de la première position d^équili- (»re à la seconde, et qui sont, au signe près, les valeurs de «M Su 7i V tirées des équations (9).

D'où l'on voit que le mouvement cherché résultera de la superposition de deux autres : l'un correspondant à Pétat initial proposé, sans introduction de noui^elles forces^ l* autre correspondante l* introduction de ces forces , sans déplacement ni vitesse dans Vétat initial.

Quant au premier de ces deux mouvements, nous avons déjà démontré qu'il pouvait se décomposer d*une infinité de manières ; et il est facile de voir qu'il en est de m^me du second : car la forme des équations (9) montre que si Ton partage les quantités H, K, L,... en un même nombre de parties quelconques, qui pourront être nulles; que Ton ne prenne d'abord que les premières parties, puis les secondes seulement, et ainsi de suite, les valeurs de «i, 61,... qui satisferont à ces systèmes partiels étant respectivement ajoutés, formeront la solution des équatiotis (9). Or, si Ton partage les forces introduites en un nombre quelconque de groupes, les termes tout connus qu'ils donneront dans les équations d'équilibre étant ajoutés entre eux, formeront

36o COUAS DE MÉCANIQUE.

respectivement les quantités H, K, L,.*** Donc les valeurs de at, 61,... qui correspondront à chacun de ces groupes étant respectivement ajoute^, formeront les déplacements produits par les forces introduites. Or, les effets des déplacements s'ajouleiil \ donc ceux que les dii^ers groupes de forces produiront, se superposeront eux-mêmes,

2!25. Intégration des équations. — Intégrons maintenant les équations (6) auxquelles tous les cas se ramènent, et dont le nombre , que nous désignerons par n , est égal à celui des coordonnées indépendantes.

On aura une solution de ces équations en posant

at =: sin (rt -+• 5),

6 = R, sin (rt -h s)y

7 = R, sin(/if -h^),

a' r= R3 sin [rt -h 5),

Substituant ces expressions dans les équations (6), Ri, R, ,... n'entreront qu'au premier degré, et, si on les élimine, on reconnaîtra facilement que Téquatiôn finale en r sera du degré n par rapport à l'inconnue /*'; on aura ainsi n valeurs pour r, en ne considérant pas les valeurs négatives, parce que les solutions qu'elles donneraient rentreraient dans les autres. Ces valeurs seront toutes réelles et inégales, sans quoi les inconnues s'exprimeraient par des exponentielles ou des termes algébriques qui croîtraient avec le temps, ce qui est contraire à l'hypothèse d'un équilibre stable. 11 faut en excepter toutefois les cas particuliers où les coefficients de ces termes se trouveraient nuls d'après Tétat initial.

Chaque valeur de r déterminera un système unique dv. valeurs pour R,, R,,,.., à moins qu'il n'y ait indétermi*