Troisième exemple. — Prenons maintenant pour

68 cons DC MÈCA^nQuc.

exemjde un polygone formé par des droites rigides dont les angles peuvent Tarier sans opposer de résistance , et dont les extrémités sont assujetties à rester sur des courbes don-

Soient ABCDE {fig. q4) ce polygone, P, Q, R, S, T les résultantes des forces appliquées respectiTement aux points

Chacun de ces points doit être en équilibre au moyen des forces qui agissent immédiatement sur lui et de la résistance de la courbe ; et , par conséquent , la résultante de ces forces, abstraction faite de cette résistance , doit être normale à la coitrbe.

De même , chaque <:6té doit être en équilibre au moyen des forces de tout genre qui y sont appliquées \ ce qui exige que les deux réstiltantes de toutes celles qui agissent séparément en A et en B sur cette tige soient égales et directe* ment opposées , et , par suite , que cette directicm soit celle du côté lui-même.

n suit de là que la résistance de ce côté consiste en deux forces appliquées en A et B , et détruisant chacune des deux précédentes. De sorte qu'ime tige rigide peut être (x>nsidérée comme produisant deux forces égales et contraires , agissant dans la direction de cette tige.

Cela posé , désignons par X , Y, Z , U les forces que produisent ainsi les divers côtés du polygone. Soient a, i, Cy d^ e les angles que font les directions des forces P, Q, R, S, T avec les tangentes aux courbes données, considérées dans des sens déterminés; a^a' les angles que les directions des deux forces X font avec les tangentes en A et B ; 6, 6' les angles des forces Y avec les tangentes en B et C; et ainsi de suite.

L'équilibre du point A donnera la condition

P cos rt -f- X cos a = o.

PREMlÈaK ANINÉE. STATIQUE. 69

L'équilibre du point B donnera

X ces a' -h Q CCS ^ + Y ces 6 = 0, et Ton trouvera de même pour les autres points ,

Y CCS 6' -f- R cos r 4- Z ces 7=0, Z cos 7' -f- S cos rf -h U cos ^ = o , U cos^' -h T cos e =r o.

Éliminant X, Y, Z, U entre toutes ces équations, il en reste une seule entre. les forces données, qui sera la condition d'équilibre du système. Les autres feront connaître les intensités des forces X, Y, Z, U.

Quant au sens dans lequel elles agissent, et qui n'est pas connu d'avance, il sera déterminé par les signes que devront avoir les cosinus des angles a, a', ê, S', etc. Ainsi, la première équation faisant connaître le signe de cos oc , détermine le sens de la force X provenant de la tige AB et agissant en A ] d'où résulte le sens de la seconde force X appliquée en B, et, par suite, le signe de cos a\ La seconde équation fera connaître ensuite le signe de cos 6 , d'où résultera le sens de la force Y agissant en B ^ et ainsi de suite jusqu'au dernier côté.

76. Si l'une des tiges était normale à Tune des courbes, il en résulterait des conséquences particulières qu'il est ton de remarquer. Supposons , par exemple, que BC soit donnée normale à la courbe en B ; on aura

cos € = o ,

et les deux premières équations donneront, par l'élimination de X , une équation de condition qui ne sera autre que la condition d'équilibre des deux forces P et Q qui seraient appliquées à la tige unique AB, dont les extrémités seraient liées aux deux premières courbes. En effet, cela devait <^trc, puisque la force Y étant détruite par la résistance dq

70 COURS UE HfËCANIQUE.

la courbe en B, doit être considérée comme n'existant pf^s pour les points situés du côté de B que Ton considère.

Les trois autres équations donneront , par Félimination de Z et U, une équation qui sera celle de l'équilibre du système C, D, E considéré isolément, et dans lequel il y au-^ rait une force indéterminée Y agissant en G suivant la ligne BC, dans l'un quelconque des deux sens. En efiet, cette lige BC peut être sollicitée par une force quelconque en c dans le sens de sa longueur, sans qu'il en puisse résultei^ aucun déplacement , vu quVUe sera détruite par la résis<tance de la courbe à laquelle elle sera normale en B.

77. Quatrième exemple. — Considérons maintenant un système de points liés entre eux par des fils flexibles et inextensibles, et formant ce que l'on appelle un polygone funi^ culaire. Dans ce cas, les systèmes rigides partiels se réduisent à de§ points. Soient A, B, C, D (Jig- aS) ces points; U, P, Q, R, S, V les forces qui y sont appliquées, et4ont les deux extrêmes U, V agissent par l'intermédiaire des fils pu cordons AU, DV.

Pour que ce système soit en équilibre , il faut que chacun des points A, B, C, D soit en équilibre au moyen des forces qui y sont appliquées. Ainsi , par exemple , le point B est sollicité par trois forces qui sont les efforts exercés par les cordons BA, BC, et la force Q •, ces trois forces diront donc être dans un même plan , et chacune d'elles propôrr tionnelle au sinus de l'angle des deux autres. Mais Téquilibre de chacun des cordons exige encore qu'il soit tiré par des forces égales et contraires , et dont l'intensité se nomme la tension du cordon. Au moyen de ces conditions , on pourra déterminer les tensions de tous les cordons ^ et le^ rapports des forces entre elles lorsque l'on connaîtra la figure du polygone en équilibre.

78. On peut déterminer très-simplement la tension T d'un cordon quelconque CD, en observant qu'il y a équi-

PREMIÈRE ANNÉE. STATIQUE. Hf

libre entre cette force T et la partie du système qui est située d'un côté quelconque de CD. Considérons par exemple les forces U, P, Q , R et T ^ elles ne cesseront pas d'être en équilibre si Ton rend inflexible le polygone ABC ] et , par conséquent, la force T est égale et opposée à la résultante des forces U, P, Q, R. Et comme ou peut transporter des forces en un point quelconque de leur résultante sans changer leur effet , on obtient le théorème suivant :

La tension d^un cordon quelconque est la résultante de toutes les forces situées d'un même côté de ce cordon, et transportées parallèlement à elles-mêmes en un quelconque de ses points.

79. Si l'une des forces était appliquée à un point mobile sur le fil, par exemple à un anneau qui pût glisser librement sur ce fil , l'équilibre exigerait une condition particulière.

Soit P la force appliquée à Tanneau M, et supposons l'équilibre établi ; il ne sera pas troublé si l'on rend fixes les deux points A et B. Mais alors le point M [fig* 26) ne pourrait se mouvoir que sur la surface d'un ellipsoïde de révolution dont A et 6 seraient les foyers \ on peut donc faire abstraction du fil et supposer que le point est assujetti à rester sur cette surface fixe. U est donc nécessaire, pour son équilibre, que la force P qui le sollicite soit normale à rellipsoïde, et, par conséquent, partage l'angle AMB en deux parties ^ales. Ainsi , quand un des points d'application des forces sera mobile sur le fil , la direction de la force devra diviser en deux parties égales l'angle des deux cordons correspondants, et leur tension sera la même.

Il en serait de même si l'anneau étant fixe, le fil pouvait glisser sur lui sans résistance^ car l'équilibre aurait évidemment lieu, en supposant égales les tensions suivant MA, MB 5 et, par conséquent, il y aurait mouvement si l'on augmentait l'une des deux.

^a COURS DK MFCANIQUE.

80. Lorsqux^ le polygone est en équilibre, il y sera encore si l'on rend sa figure invariable; et, par conséquent, toutes les forces extérieures qui y sont appliquées doivent satisfaire aux conditions d équilibre d'un système rigide. Si donc on les transporte parallèlement à elles-mêmes en un même point, elles doivent donner une ré3ultante nulle, ce qui donne trois équations.

Réciproquement, si ces conditions sont satisfaites, on pourra donner au polygone une figure telle , que les forces données de grandeur et de direction s'y fassent équilibre.

En effet, plaçons arbitrairement le point A {fig> 25), et donnons au cordon AB la direction opposée à la résultante de U et P, et une tension égale à cette résultante. Donnons ensuite au cordon BC une direction contraire à la résultante de la force Q et de la tension du cordon AB, et une tension égale à cette résultante; et continuons ainsi jusqu'au dernier sommet D : la direction et l'intensité qu'il faudra donner à la force qui tiendra ce point en équilibre, seront telles que le polygone entier y sera lui-même *, elle sera donc égale et opposée à la résultante des forces U , P, Q, R, S transportées en D, et, par conséquent, sera la force donnée V. On peut donc toujours donner au polygone une fornae telle , que des forces données de grandeur et de direction s'y fassent équilibre, pourvu que, transportées en un même point, elles s'y détruisent. Cette conséquence étant indépendante du nombre des côtés du polygone , aura lieu encore à la limite lorsque les côtés tendant vers zéro, il s -approchera indéfiniment de se confondras avec une courbe.

81 . Si les extrémités du cordon sont fixes, les forces U et V ne sont plus données , et l'on peut encore se proposer de déterminer la forme du polygone en équilibre et les va-r leurs de ces deux farces.

Pour cela, on partira de la première extrémité fixeU, et l'on supposera connues les trois composantes de la teur

PREMIÈRE. ANNÏE. — SrATlQUE. «jS

sion U5 on dëlerminera , en conséquence, la position du point A , ainsi que les positions des autres points et les tensions de tous les cordons. Les coordonnées du point extrême du dernier cordon seront donc exprimées en fonction de celles du premier point que l'on peut supposer nulles , et des trois composantes de la force U. En égalant ces expressions aux valeurs données des coordonnées du second point, fixe, on aura trois équations qui détermineront ces compo-. santés , ainsi que toutes les tensions , et le^ positions de tous les sommets.

82. Si les directions des deux cordons extrêmes se rencontrent, les forces U, V ont une résultante : d'où il suit cpe les forc^ P, Q, R, S en ont une égale et opposée; et, par conséquent , lorsque le polygone est en équilibre et que les deux extrémités sont fixes, on connaîtra T effort exercé sur chacune d'elles en prolongeant les cordons qui y aboutissent, puis transportant à leur point de concours les forcés . données et les décomposant en deux forces dirigées suivant ces mêmes cordons. Chacune de ces composantes mesurera la tension du. cordon correspondant, et TefTort qui sera exercé sur le point fixe où il est attaché.

83. Lorsque toutes les forces P, Q, R, S [fig- 27) «ont parallèles , il est facile de voir que tout le système est compris dans un même plan. Supposons, de plus, que Tun des cordons ^ BC par exemple , soit perpendiculaire à la direction des forces ; remplaçonfr-le par une force égale à «a tension, et ne considérons que les forces situées d'un même côté de ce cordon. La tension d'un cordon quelconque DE est la résultante de toutes les forces situées d'un même côté et transportées au point D ; donc la composante per-r pendiculaire aux forces sera constante pour tous les cordons , et égale à la tension de BG •, et la composante parallèle aux forces sera la somme de toutes ces forces depuis B jus^ qu'en D.

74 jcours de mécanique.

84. Lorsqu'une force sollicite un point qui est retenu par plusieurs cordons, on aura la tension de chacun d'eux en décomposant cette force en d'autres qui soient dirigées suivant tous les cordo.ns. Il y aura indétermination si leur nombre est plus grand que trois ; et cela tient à l'hypothèse que Fon fait de l'inextensibilité des cordons. C^est àitisi que nous avons déjà vu que les pressions exercées par un corps qui repose sur un plan par plus de trois 'points ne sont pas déterminées individuellement. Dans la réalité, les pressions en chaque point du plan, et les tensions de chaque cordon sont déterminées , parce que Chaque cordon s'allonge , et chaque point de contact d'un corps sur le plan cède plus ou moins. Ces circonstances, jointes aux pror priétés physiques de la matière qui les forme, font connaître chaque force en particulier; mais ces recherches sont étrangères à notre cours , et nous ne nous en occuperons pas.

Equilibre d'un fil flexible et inextensible dont tous les points sont soumis à V action de forces quelconques.

85. Soient X , Y, Z les composantes de la force qui Sollicite un point quelconque du fil, et qui est rapportée. à l'unité de longueur, de sorte qu'un arc infiniment petit ds soit sollicité par une force dont les composantes soient ILds^Yds^Zds, Les extrémités du fil peuvent être fixes, ou sollicitées par des forces données de direction et d'intensité; il s'agit de trouver les conditions de l'équilibre du système , qui n'est autre chose qu'un polygone funiculaire d'un nombre infini de côtés.

Or, dans cet état, un élément infiniment petit quelconque du ifil doi t être en équilibre au moyen des forces qui y sont appliquées-, et réciproquement, si cela a lieu, le fil rentier sera en équilibre.

Soit donc ds un élément quelconque j îl ne cessera pas d'être en équilibre si l'on rend sa figure invariable. Or, les forces qui le sollicitent sont les tensions exercées à ses extrémités, qui sont dirigées respectivement suivant les tangentes en ces points et en sens inverse, et de plus les forces ILfiSyYds^Zids.

La tràsion T, variant d'une manière continue en même

temps que l'arc s de la courbe, en est une fonction conti-